Quadric

În matematică și în special în geometrie , o suprafață cvadrică (sau cvadrică ) este o suprafață (hiper-) a unui spațiu n- dimensional pe complexe sau reali reprezentate de o ecuație polinomială de ordinul doi în variabilele spațiale (coordonate). Dacă coordonatele spațiale sunt $\{x_{1},\ \dots ,\ x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, \ \ dots, \ x_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, \ \ dots, \ x_ {n} \}}$ , apoi quadricul general în spațiu $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ (sau $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ) este definit de o ecuație a formei

\sum _{i,j=1}^{n}B_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}E_{i}x_{i}+F=0,

{\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} B_ {ij} x_ {i} x_ {j} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} E_ {i} x_ {i} + F = 0,}

{\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} B_ {ij} x_ {i} x_ {j} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} E_ {i} x_ {i} + F = 0,}

unde este $B_{ij}$ ${\ displaystyle B_ {ij}}$ ${\ displaystyle B_ {ij}}$ este o matrice (nu nulă), $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ un vector și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ o constantă.

Orice punct de pe o suprafață cvadrică este definit hiperbolic , parabolic sau eliptic, în funcție de faptul dacă planul tangent la suprafață în acel punct taie cvadricul în două linii reale și distincte, imaginare coincidente sau conjugate. Punctele unui quadric sunt toate de același tip, adică fie hiperbolice, fie parabolice, fie toate eliptice. Această caracteristică depinde doar de semnul determinantului cvadricului (invariant în sistemele ortezice de referință cartesiană) și este adesea evidențiată ca adjectiv al cvadricului (de exemplu, hiperboloid hiperbolic).

Prin traduceri și rotații fiecare cvadric poate fi transformat într-o formă „normalizată”, semnificativ mai simplă decât cea generală. De exemplu, ecuația normalizată a multor quadricuri în spațiul tridimensional ( $n=3$ ${\ displaystyle n = 3}$ $n = 3$ ) Și:

\pm {x^{2} \over a^{2}}\pm {y^{2} \over b^{2}}\pm {z^{2} \over c^{2}}\,=\,1

{\ displaystyle \ pm {x ^ {2} \ over a ^ {2}} \ pm {y ^ {2} \ over b ^ {2}} \ pm {z ^ {2} \ over c ^ {2} } \, = \, 1}

\ pm {x ^ {2} \ over a ^ {2}} \ pm {y ^ {2} \ over b ^ {2}} \ pm {z ^ {2} \ over c ^ {2}} \, = \, 1

În spațiul euclidian tridimensional , fiecare cvadric poate fi scris într-una din următoarele 9 forme normalizate:

Cadrice nedegenerate
Elipsoid	Elipsoid scalen	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1$
	Sferoid prelat	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1}$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1}$
	Sferoid oblat	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} + {z ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} + {z ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1$
	Minge	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} + {z ^ {2} \ over a ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} + {z ^ {2} \ over a ^ {2}} = 1$
Paraboloid	Paraboloid eliptic	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z \over c}=0$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z \ over c} = 0}$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z \ over c} = 0}$
	Paraboloid circular	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z \over c}=0$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} - {z \ over c} = 0}$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} - {z \ over c} = 0}$
	Paraboloid hiperbolic	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-{z \over c}=0$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z \ over c} = 0}$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z \ over c} = 0}$
Hiperboloid	Hiperboloid cu un singur strat (hiperboloid hiperbolic)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1$
Hiperboloid	Hiperboloid cu două clape (hiperboloid eliptic)	$-{x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$ ${\ displaystyle - {x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1 }$ $- {x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1$
Cadrice degenerate
Con (gable)		${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 0}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 0$
Cilindru	Cilindru eliptic	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1$
	Cilindru circular	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} = 1$
	Cilindru parabolic	${x^{2} \over 2a}+y=0$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over 2a} + y = 0}$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over 2a} + y = 0}$
	Cilindru hiperbolic	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1$

În spațiul proiectiv real, cu excepția unei transformări proiective, există trei clase de echivalență a cvadricelor:

conul, cilindrul și celelalte cvadrici „degenerate”, adică cu curbură gaussiană zero, sunt echivalente între ele;
cele două paraboloide hiperbolice și suprafețele reglate sunt echivalente una cu cealaltă;
elipsoidul, paraboloidul eliptic, hiperboloidul cu două pasuri și cvadricele rămase sunt echivalente unul cu celălalt.

În spațiul proiectiv complex , toate cvadricele nedegenerate sunt echivalente una cu cealaltă, cu excepția transformărilor proiective.

Bibliografie

Giuseppe Vaccaro , Lecții de geometrie, vol. Eu , Roma , Veschi, 1975.
Edoardo Sernesi, Geometrie 2, Torino , Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « quadric »

linkuri externe

http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html , 16 Quadrics in Geometry Formulas and Facts de Silvio Levy, extras din a treizecea ediție a tabelelor și formulelor matematice standard CRC (CRC Press ).

Controlul autorității	Tezaur BNCF 25756 · LCCN (EN) sh85109415 · BNF (FR) cb11981286v (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică