Quadrigradient

În fizică , quadrigradientul este un operator diferențial care generalizează conceptul de gradient la patru - vector . Este un operator vector care aplicat unei funcții scalare generează un patru-vector ale cărui componente sunt derivatele parțiale ale funcției în raport cu cele patru coordonate.

Definiție

Cadrigradientul este patru-vectori definit ca:

\partial _{\alpha }\ =\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}={}_{,\alpha }

{\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} \ = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \ nabla \ right) = {\ dfrac {\ partial} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = {} _ {, \ alpha}}

{\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} \ = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \ nabla \ right) = {\ dfrac {\ partial} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = {} _ {, \ alpha}}

Spus $g^{\alpha \beta }$ ${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta}}$ ${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta}}$ tensorul metric , în spațiu - timp plat este $(+,-,-,-)$ ${\ displaystyle (+, -, -, -)}$ ${\ displaystyle (+, -, -, -)}$ , și avem:

\partial ^{\alpha }\ =g^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\nabla \right)

{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} \ = g ^ {\ alpha \ beta} \ partial _ {\ beta} = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ parțial t}}, - \ nabla \ right)}

{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} \ = g ^ {\ alpha \ beta} \ partial _ {\ beta} = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ parțial t}}, - \ nabla \ right)}

Pătratul quadrigradient este pătratul Laplacian , numit și operatorul d'Alembert :

\Box =\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}

{\ displaystyle \ Box = \ partial _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}}

{\ displaystyle \ Box = \ partial _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}}

.

și este produsul scalar al celor doi patru-vectori. Operatorul d'Alembert este un operator scalar Lorentz invariant .

Bibliografie

Richard Feynman , The physics of Feynman , Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8 . :
- Vol II, alin. 25-3: Gradientul cu patru dimensiuni
( EN ) Lawrence C. Evans, Ecuații diferențiale parțiale , American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .
( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .

Elemente conexe