Patru potențiale

Potențialul cu patru este potențialul asociat cu câmpul electromagnetic în relativitatea specială: este o funcție cu valoare vectorială invariantă în raport cu transformări particulare, numite transformări Lorentz .

Cvadrupotențialul este un vector cu patru componente, dintre care prima este potențialul electric, iar restul sunt cele trei componente ale vectorului potențial magnetic și este un câmp de măsurare , adică are grade de libertate redundante (din care rezultă că diferite câmpuri pot descrie aceeași situație fizică). În gauge Lorenz , în special, este un patru-vector , ^[1] deoarece în transformările coordonatelor dintre două referințe inerțiale respectă transformările Lorentz .

Definiție

Cvadripotențialul electromagnetic este definit ca: ^[2]

A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)

{\ displaystyle A ^ {\ alpha} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {A} \ right)}

A ^ {{\ alpha}} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, {\ mathbf A} \ right)

in care $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este potențialul electric și $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf A$ potențialul magnetic .

Unitatea de măsură a $A^{\alpha }$ ${\ displaystyle A ^ {\ alpha}}$ $A ^ {\ alpha}$ este volt · secundă / metru în SI și Maxwell / centimetru în sistemul Gauss. Câmpul electric și câmpul magnetic asociate cu cele patru potențiale sunt:

\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}

\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A}}

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A}}

Pentru a satisface condițiile impuse de relativitatea specială, câmpurile trebuie scrise în formă tensorială , astfel încât în transformările de coordonate dintre două referințe inerțiale să respecte transformările Lorentz .

Tensorul electromagnetic este definit pornind de la cvadripotențial în felul următor: ^[3]

F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu}}

F ^ {{\ mu \ nu}} = \ partial ^ {{\ mu}} A ^ {{\ nu}} - \ partial ^ {{\ nu}} A ^ {{\ mu}}

Este un tensor antisimetric a cărui urmă este zero.

Lorenz Gauge

Același subiect în detaliu: Lorenz Gauge .

În gabaritul Lorenz $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} = 0}$ $\ partial _ {{\ alpha}} A ^ {{\ alpha}} = 0$ într-un sistem de referință inerțial , ecuația undei pentru câmpuri este dată de:

\Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }\qquad \left(\Box A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}J^{\alpha }\right)

{\ displaystyle \ Box A ^ {\ alpha} = \ mu _ {0} J ^ {\ alpha} \ qquad \ left (\ Box A ^ {\ alpha} = {\ frac {4 \ pi} {c}} J ^ {\ alpha} \ right)}

{\ displaystyle \ Box A ^ {\ alpha} = \ mu _ {0} J ^ {\ alpha} \ qquad \ left (\ Box A ^ {\ alpha} = {\ frac {4 \ pi} {c}} J ^ {\ alpha} \ right)}

unde este $J^{\alpha }$ ${\ displaystyle J ^ {\ alpha}}$ $J ^ {{\ alpha}}$ sunt componentele curentului cvadruplu și:

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}

{\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}}

\ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}

este operatorul d'Alembert . ^[2] În mod explicit:

\Box \phi ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad \left(\Box \phi =4\pi \rho \right)

{\ displaystyle \ Box \ phi = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ qquad \ left (\ Box \ phi = 4 \ pi \ rho \ right)}

{\ displaystyle \ Box \ phi = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ qquad \ left (\ Box \ phi = 4 \ pi \ rho \ right)}

\Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} \qquad \left(\Box \mathbf {A} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} \right)

{\ displaystyle \ Box \ mathbf {A} = \ mu _ {0} \ mathbf {j} \ qquad \ left (\ Box \ mathbf {A} = {\ frac {4 \ pi} {c}} \ mathbf { j} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ Box \ mathbf {A} = \ mu _ {0} \ mathbf {j} \ qquad \ left (\ Box \ mathbf {A} = {\ frac {4 \ pi} {c}} \ mathbf { j} \ dreapta)}

Ecuațiile lui Maxwell exprimate în termeni de potențial scalar și vectorial iau în consecință forma:

\nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - {\ frac { \ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - {\ frac { \ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

\left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J}

{\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) - \ mathbf {\ nabla} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} { \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

{\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) - \ mathbf {\ nabla} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} { \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

Pentru o distribuție de taxe dată $\rho (\mathbf {x} ,t)$ ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}, t)}$ $\ rho ({\ mathbf {x}}, t)$ și curent $\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} (\ mathbf {x}, t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} (\ mathbf {x}, t)}$ soluțiile din SI ale ecuațiilor anterioare sunt potențialele întârziate :