Cu patru trepte

În fizică , în special în teoria relativității speciale și în relativitatea generală , viteza patru a unui obiect este un vector cu patru , stabilit în spațiul-timp al lui Minkowski , care generalizează viteza tridimensională definită în mecanica clasică . Este o cantitate cinematică astfel încât viteza luminii să fie aceeași constantă în fiecare sistem de referință inerțial .

Definiție

În spațiul-timp Minkowski , evoluția coordonatelor spațiale ale unui obiect în timp este descrisă printr-o curbă, care este parametrizată de timpul adecvat . Viteza patru este vectorul ale cărui componente sunt variația coordonatelor spațiale și temporale în raport cu timpul adecvat. Mai mult, norma sa este de obicei setată egală cu viteza luminii $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , și schimbă doar direcția.

În mod explicit, viteza patru este definită ca vectorul: ^[1]

v^{\mu }=\gamma \left(c,\mathbf {v} \right)

{\ displaystyle v ^ {\ mu} = \ gamma \ left (c, \ mathbf {v} \ right)}

{\ displaystyle v ^ {\ mu} = \ gamma \ left (c, \ mathbf {v} \ right)}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este factorul Lorentz :

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\|\mathbf {v} \|^{2}}{c^{2}}}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {\ | \ mathbf {v} \ | ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {\ | \ mathbf {v} \ | ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}

cu $\|\mathbf {v} \|$ ${\ displaystyle \ | \ mathbf {v} \ |}$ $\ | {\ mathbf {v}} \ |$ norma euclidiană a vitezei clasice $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ .

Derivare

În mecanica clasică traiectoria unui obiect este descrisă în trei dimensiuni prin coordonatele sale $x_{i}(t)$ ${\ displaystyle x_ {i} (t)}$ ${\ displaystyle x_ {i} (t)}$ , cu $i\in \{1,2,3\}$ ${\ displaystyle i \ in \ {1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle i \ in \ {1,2,3 \}}$ , exprimată în funcție de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ :

\mathbf {x} =\left(x_{i}(t)\right)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ left (x_ {i} (t) \ right) = {\ begin {bmatrix} x_ {1} (t) \\ x_ {2} (t) \\ x_ {3 } (t) \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ left (x_ {i} (t) \ right) = {\ begin {bmatrix} x_ {1} (t) \\ x_ {2} (t) \\ x_ {3 } (t) \\\ end {bmatrix}}}

unde este $x_{i}(t)$ ${\ displaystyle x_ {i} (t)}$ ${\ displaystyle x_ {i} (t)}$ este a i-a componentă a poziției la timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Componentele vitezei ${\mathbf {v} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v}}}$ în sens $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ tangente la traiectorie sunt:

{\mathbf {v} }={\mathrm {d} \mathbf {x}  \over \mathrm {d} t}=\left({\mathrm {d} x_{i} \over \mathrm {d} t}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x_{3}}{\mathrm {d} t}}\right)

{\ displaystyle {\ mathbf {v}} = {\ mathrm {d} \ mathbf {x} \ over \ mathrm {d} t} = \ left ({\ mathrm {d} x_ {i} \ over \ mathrm { d} t} \ right) = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x_ {1}} {\ mathrm {d} t}} \;, {\ frac {\ mathrm {d} x_ {2} } {\ mathrm {d} t}} \;, {\ frac {\ mathrm {d} x_ {3}} {\ mathrm {d} t}} \ right)}

{\ displaystyle {\ mathbf {v}} = {\ mathrm {d} \ mathbf {x} \ over \ mathrm {d} t} = \ left ({\ mathrm {d} x_ {i} \ over \ mathrm { d} t} \ right) = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x_ {1}} {\ mathrm {d} t}} \;, {\ frac {\ mathrm {d} x_ {2} } {\ mathrm {d} t}} \;, {\ frac {\ mathrm {d} x_ {3}} {\ mathrm {d} t}} \ right)}

unde sunt evaluate instrumentele derivate $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

În spațiul-timp Minkowski coordonatele sunt $x^{\mu }(\tau )$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ tau)}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ tau)}$ , cu $\mu \in \{0,1,2,3\}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ {0,1,2,3 \}}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ {0,1,2,3 \}}$ , in care $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este componenta de timp înmulțită cu c . În plus, parametrizarea are loc în funcție de timpul adecvat $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ :

x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x_{0}(\tau )\\x_{1}(\tau )\\x_{2}(\tau )\\x_{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ tau) = {\ begin {bmatrix} x_ {0} (\ tau) \\ x_ {1} (\ tau) \\ x_ {2} (\ tau) \\ x_ {3} (\ tau) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} ct \\ x_ {1} (t) \\ x_ {2} (t) \\ x_ {3} (t ) \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ tau) = {\ begin {bmatrix} x_ {0} (\ tau) \\ x_ {1} (\ tau) \\ x_ {2} (\ tau) \\ x_ {3} (\ tau) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} ct \\ x_ {1} (t) \\ x_ {2} (t) \\ x_ {3} (t ) \\\ end {bmatrix}}}

Având în vedere fenomenul numit dilatare a timpului :

t=\gamma \tau \,

{\ displaystyle t = \ gamma \ tau \,}

{\ displaystyle t = \ gamma \ tau \,}

patru viteze relativ la $\mathbf {x} (\tau )$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (\ tau)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (\ tau)}$ este definit ca:

v^{\mu }={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }(\tau )}{\mathrm {d} \tau }}

{\ displaystyle v ^ {\ mu} = {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu} (\ tau)} {\ mathrm {d} \ tau}}}

{\ displaystyle v ^ {\ mu} = {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu} (\ tau)} {\ mathrm {d} \ tau}}}

Componente

Relația dintre $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ Și $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este dat de:

x_{0}=ct=c\gamma \tau \,

{\ displaystyle x_ {0} = ct = c \ gamma \ tau \,}

{\ displaystyle x_ {0} = ct = c \ gamma \ tau \,}

Prin realizarea derivatului cu privire la timpul potrivit $\tau \,$ ${\ displaystyle \ tau \,}$ ${\ displaystyle \ tau \,}$ obțineți componenta $v^{\mu }$ ${\ displaystyle v ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle v ^ {\ mu}}$ pentru $\mu =0$ ${\ displaystyle \ mu = 0}$ ${\ displaystyle \ mu = 0}$ :

v_{0}={\frac {\mathrm {d} x_{0}}{\mathrm {d} \tau \;}}=c\gamma

{\ displaystyle v_ {0} = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {0}} {\ mathrm {d} \ tau \;}} = c \ gamma}

{\ displaystyle v_ {0} = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {0}} {\ mathrm {d} \ tau \;}} = c \ gamma}

Folosind regula lanțului , pentru $\mu =i=1,2,3$ ${\ displaystyle \ mu = i = 1,2,3}$ ${\ displaystyle \ mu = i = 1,2,3}$ avem:

v_{i}={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}{\frac {\mathrm {d} x_{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}c\gamma ={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} (ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}c\gamma =\gamma {\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}=\gamma v_{i}

{\ displaystyle v_ {i} = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} x_ {0}}} {\ frac {\ mathrm {d} x_ {0}} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} x_ {0}}} c \ gamma = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} (ct)}} c \ gamma = {1 \ over c} { \ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} t}} c \ gamma = \ gamma {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} t} } = \ gamma v_ {i}}

{\ displaystyle v_ {i} = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} x_ {0}}} {\ frac {\ mathrm {d} x_ {0}} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} x_ {0}}} c \ gamma = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} (ct)}} c \ gamma = {1 \ over c} { \ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} t}} c \ gamma = \ gamma {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} t} } = \ gamma v_ {i}}

unde s-a exploatat faptul că în mecanica clasică:

v_{i}={dx_{i} \over dt}

{\ displaystyle v_ {i} = {dx_ {i} \ over dt}}

{\ displaystyle v_ {i} = {dx_ {i} \ over dt}}

Prin urmare, patru viteze sunt:

v^{\mu }=\gamma \left(c,\mathbf {v} \right)

{\ displaystyle v ^ {\ mu} = \ gamma \ left (c, \ mathbf {v} \ right)}

{\ displaystyle v ^ {\ mu} = \ gamma \ left (c, \ mathbf {v} \ right)}

Normă

Într-un sistem în repaus $\gamma =1$ ${\ displaystyle \ gamma = 1}$ ${\ displaystyle \ gamma = 1}$ Și $\mathbf {v} =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = 0}$ , prin urmare $v^{\mu }=(c,0,0,0)$ ${\ displaystyle v ^ {\ mu} = (c, 0,0,0)}$ ${\ displaystyle v ^ {\ mu} = (c, 0,0,0)}$ iar direcția vectorului este axa timpului.