Cuantificator

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În logică , cuantificatorii sunt expresii precum „ceva” ( cuantificator existențial ) și „totul” ( cuantificator universal ) și omologii lor simbolici:

  • (există cel puțin unul)
  • (pentru fiecare)

denumirea de „cuantificatori” este legată de faptul că oferă informații despre cât de mare este extensia în care este valid un predicat.

La acestea se adaugă un caz particular al cuantificatorului existențial, care este cuantificatorul unic (citim: „ există și este unic ”, ceea ce echivalează cu a spune „este unul și unul singur”).

Istorie

De la început, logica s-a preocupat întotdeauna de mecanismul cuantificării [1] , iar lipsa unei analize complete a acestuia a făcut ca aceasta să stagneze de-a lungul întregului mileniu, până în anul 1879, când celebrul matematician al secolului al XIX-lea Frege a expus-o ca fiind o funcție de nivel superior (adică având ca argument o funcție de nivel inferior). Frege a fost tatăl logicii formale și logicii matematice; și a câștigat provocarea de a exprima în limbaj formal cuvinte precum toată lumea și există (prezentă în propoziții precum „ Toți oamenii sunt muritori ” sau „ Există cel puțin un filosof grec ”) care părea imposibil de exprimat.

Deși ideea cuantificatorului trebuie așadar atribuită lui Frege, Peano și Gentzen au conceput simbolurile (1897, Peano) și (1935, Gentzen), astăzi cu siguranță mai utilizate decât vechiul semn bidimensional introdus de inventator al secolului al XIX-lea pentru cuantificatorul universal (de la care cuantificatorul existențial se obține prin negarea acestuia; motiv pentru care și astăzi multe limbaje formale sunt construite folosind un singur cuantificator și negația pentru a-l exprima pe celălalt) și nu mai sunt folosite ulterior pentru greul evident.

Relațiile cu conectivitățile logice

Cuantificatorii universali și existențiali combinați în mod adecvat cu conectivitatea logică a negației pot îndeplini funcția reciprocă. Afirmația „este fals că fiecare număr este par” poate fi exprimată și spunând că „există un număr care nu este par”. În limbajul formal, acest lucru poate fi tradus spunând că

este echivalent cu

iar acest lucru se aplică oricărei alegeri de .

În mod similar, afirmația „nu există un număr par” este echivalentă cu afirmația „fiecare număr nu este par”, putem spune formal că

este echivalent cu

.

Existența și unicitatea

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: unicitate .

În matematică se folosește expresia simbolică

pentru a abrevia expresia „există doar un x ...”.

Formal expresia poate fi exprimat (astfel încât să nu fie nevoie să introduceți o nouă notație între simbolurile sintaxei limbajului) folosind doar conectivele standard, cuantificatoarele și relația de egalitate în felul următor:

.

Poate fi, de asemenea, exprimat mai pe scurt folosind o conexiune bicondițională (prezentă printre cele cinci conectivități standard):

Cuantificatoare imbricate

Prin combinarea cuantificatorilor de diferite tipuri este posibil să se obțină propoziții de complexitate crescândă pentru care este necesară o mare prudență. O expresie de genul

nu este echivalent cu

pentru a realiza acest lucru, gândiți-vă doar la fraze de genul

"pentru fiecare număr x există un număr y mai mare decât x"

Și

"există un număr y mai mare decât orice număr x"

primul afirmă că pentru orice număr puteți găsi întotdeauna unul mai mare, al doilea afirmă că există un număr mai mare decât oricare altul.

Formula bine formată

De sine este o formulă și o variabilă individuală (numele propriu al lucrului sau al persoanei), apoi, în logică, susține că:

de sine este bine format ∃x este bine format
de sine este bine format ∀x este bine format

Același lucru este valabil pentru toate conectivitățile logice cu privire la două formule Și bine format:

de sine Și ea este bine formată atunci este bine format;
de sine Și ea este bine formată atunci este bine format;
de sine Și ea este bine formată atunci este bine format.

Cuantificare goală

Se spune că o variabilă este liberă dacă cel puțin una dintre aparițiile sale într-o formulă nu are cuantificatori. Se spune că este legat (de un cuantificator) dacă de fiecare dată când îl găsim în formulă, acesta apare cu cuantificatorul existențial sau universal. Exemplu:

∀y (M (y, x)), x este o variabilă liberă, y este constrânsă.

Se spune că o formulă bine formată este deschisă dacă conține cel puțin o apariție a unei variabile fără restricții. Dacă (toate aparițiile) tuturor variabilelor au un cuantificator, se spune că wff este închis .

Se spune că cuantificarea este vacuă (sau prostă sau „funcționează în gol”) dacă variabila din formulă nu este necesară sau nu este necesară liberă. Ex.:

∀y (M (y, x)) (1)

echivalentă cu

∀z ∃y (∀y (M (y, x))

unde z nu are apariții în (1) și (aparițiile lui) y au fost deja constrânse de cuantificator.

Notă

  1. ^ Astfel Aristotel definește închiderea universală: „Spunem„ se predică din fiecare ”când nu este posibil să găsim ceva care face parte din substratul căruia nu se spune celălalt termen. Același lucru este valabil și pentru „cineva nu predică despre nimeni” [adică atunci când nu este posibil să se găsească ceva care face parte din substratul despre care se spune celălalt] »[24b28-30]. După aceea, Aristotel nu definește închiderea existențială, dar poate fi considerată drept validitatea negării închiderii universale (care împreună constituie cele două elemente ale unui cuplu anti-oboseală, adică al unor propoziții contradictorii), de aceea „spunem” se prezice unele „dacă este posibil. Este posibil să găsim ceva care face parte din substratul căruia se spune celălalt termen și spunem„ despre cineva nu se predică ”dacă este posibil ceva care face parte din substratul căruia cealaltă nu se spune ".

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 60482 · LCCN (EN) sh85056323 · GND (DE) 4128275-9 · BNF (FR) cb11931538s (data)
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică