V postulatul lui Euclid

Al cincilea postulat al lui Euclid este cel mai cunoscut postulat dintre cele pe care matematicianul Euclid le enunță în Elementele sale. Matematicienii și- au încercat mâna peste două mii de ani încercând să o deducă din primele patru postulate, până când în secolul al XIX-lea și- au dovedit de fapt nedeductibilitatea. Prin modificarea acestui postulat, sunt create geometrii diferite, numite non-euclidiene .

Postulatele lui Euclid

În elaborarea Elementelor , opera formidabilei sistematizări a matematicii elenistice, realizată în termeni riguros ipotetic-deductivi, Euclid enunță cinci postulate. Primele patru sunt:

o singură linie dreaptă trece prin două puncte distincte ale unui plan;
este posibil să se extindă linia dincolo de cele două puncte la nesfârșit;
având în vedere un punct și o lungime, este posibil să se descrie un cerc ;
toate unghiurile drepte sunt congruente.

Postulanța V

Declaratia:

Dacă o linie dreaptă taie alte două linii drepte care determină unghiuri interne pe aceeași parte a căror sumă este mai mică decât cea a două unghiuri drepte, prin extinderea celor două unghiuri drepte la infinit, ele se vor întâlni pe latura în care suma celor două unghiuri este mai mică decât două unghiuri drepte.

Animația celui de-al cincilea postulat al lui Euclid

Formulările celui de-al cincilea postulat au fost diverse în istoria matematicii, de exemplu următoarele:

date două linii drepte paralele tăiate de una transversală, suma celor două unghiuri conjugate interne este egală cu un unghi plat;

În tradiția didactică modernă, postul 5 este în general înlocuit de axioma Playfair :

dat orice linie $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ nu aparținând acestuia, puteți urmări $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ o singură linie paralelă cu linia $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Data.

În geometria euclidiană, axioma Playfair și postulatul V sunt echivalente.

Alte formulări echivalente ale axiomei Playfair sunt:

într-un patrulater $LA B. C. D.$ ${\ displaystyle ABCD}$ $ABCD$ având colțurile ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat {A}}$ Și ${\hat {B}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ hat {B}}$ drept și lateral ${\overline {AD}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AD}}}$ $\ overline {AD}$ Și ${\overline {BC}}$ ${\ displaystyle {\ overline {BC}}}$ $\ overline {BC}$ egale, apoi și celelalte două unghiuri sunt drepte ( formulare adoptată de Saccheri ^{[ fără sursă ]);}
în orice triunghi suma unghiurilor interne este egală cu un unghi plat.

Al cincilea postulat este independent de primele patru?

Probabil că nu este o coincidență faptul că în Elemente postulatul V este utilizat numai după demonstrarea a până la 28 de „propoziții” care nu depind de acesta, formând un corpus de teoreme care va fi numit apoi geometrie absolută . Cu toate acestea, din acest corpus trebuie să excludem propozițiile deduse din propoziția 16 ( Un unghi extern al unui triunghi este mai mare decât fiecare dintre cele două unghiuri interne neadiacente ), a cărui dovadă, deși nu folosește postulatul V, folosește II (nedefinit extensia unui segment), care exclude geometriile eliptice.

Încercările de a demonstra cel de-al cincilea postulat i-au angajat pe matematicieni greci, arabi și renascențiali timp de secole. Căile urmate pentru a înțelege natura reală a celui de-al cincilea postulat al lui Euclid pot fi grupate în trei direcții:

propuneri de modificare a definiției liniilor paralele;
propuneri pentru înlocuirea celui de-al cincilea postulat cu un postulat alternativ;
încercări de probă.

În prima direcție, trebuie amintită definiția paralelelor propuse de Posidonius (secolul I î.Hr.):

două drepte coplanare sunt paralele dacă sunt echidistante .

Cu toate acestea, definiția anterioară a ridicat problema existenței liniilor coplanare și echidistante. Unii matematicieni au încercat să demonstreze existența unor astfel de linii deducându-l din postulatele introduse în acest scop. Ne amintim următoarele:

două linii drepte coplanare care nu sunt echidistante, converg într-o direcție și diverg la nesfârșit în cealaltă ( Cataldi 1548-1626);
locusul punctelor planului echidistant de o linie dreaptă și așezat pe aceeași bandă cu aceasta, este o linie dreaptă ( Borelli , 1608-1679).

Alți autori l-au înlocuit cu alte postulate similare cu cele ale Elementelor . Printre postulatele propuse s-au numărat următoarele:

unghiurile interne, pe aceeași parte, formate din două linii paralele cu o transversală sunt suplimentare ( Ptolemeu sec. II d.Hr.);
dacă o linie întâlnește una dintre cele două linii paralele, se întâlnește și cu cealaltă (Proclus 412-485);
două linii drepte paralele cu a treia sunt paralele între ele (Proclus, 412-485 d.Hr.);
dacă două linii $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt perpendiculare și oblic o transversală, respectiv în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ si in $B.,$ ${\ displaystyle B,}$ ${\ displaystyle B,}$ segmentele perpendiculare coborâte din punctele de $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ pe $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sunt mai mici de $LA B.,$ ${\ displaystyle AB,}$ ${\ displaystyle AB,}$ din partea $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ de aici această formă cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ un unghi acut ( Nasir - Eddin , 1201 - 1274 );
având în vedere orice triunghi, se poate construi oricând altul similar (adică cu aceleași unghiuri) cu acesta, de mărime arbitrară ( Wallis 1616 - 1703 );
pentru un punct din interiorul unui triunghi trece întotdeauna o linie secantă pe ambele părți ale unghiului ( Legendre 1752 - 1833 );
o singură circumferință trece întotdeauna prin trei puncte neliniate ( Bolyai 1775 - 1856 ).

În sfârșit, să ne amintim câteva încercări de a demonstra cel de-al cincilea postulat.

Clavius ( 1537 - 1612 ), în traducerea sa latină a lui Euclid adaugă o dovadă, dar implicit preia noțiunea de linii paralele ca locus al punctelor echidistante. Ulterior, Vitale Giordano ( 1633 - 1711 ) încearcă să arate că locusul punctelor echidistant de o linie dreaptă este în sine o linie dreaptă.

Printre încercările de a demonstra cel de-al cincilea postulat al lui Euclid, un loc proeminent îl ocupă cel al matematicianului iezuit Părintele Giovanni Girolamo Saccheri ( 1667 - 1733 ), care a încercat să obțină o dovadă absurdă a acestuia în lucrarea „ Euclides ab omni naevo vindicatus ” ( „Euclid modificat de fiecare aluniță”), pe care a publicat-o cu puțin timp înainte de moartea sa, în 1733. Alunita inestetică care, în opinia lui Saccheri, a tulburat armonia Elementelor, a fost, desigur, dată prin asumarea ca postulat a unei propuneri care ar fi avut în schimb a trebuit să demonstreze.

Saccheri a început observând, în mod corect, că al cincilea postulat era deductibil din următoarea propoziție:

„Într-un patrulater $LA B. C. D.$ ${\ displaystyle ABCD}$ $ABCD$ având colțurile ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat {A}}$ Și ${\hat {B}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ hat {B}}$ drept și lateral ${\overline {AD}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AD}}}$ $\ overline {AD}$ Și ${\overline {BC}}$ ${\ displaystyle {\ overline {BC}}}$ $\ overline {BC}$ celelalte două unghiuri sunt, de asemenea, egale ".

El declară că dorește să demonstreze această propunere ca fiind absurdă (o tehnică demonstrativă contrară).

A priori pot fi formulate, pe colțuri ${\hat {C}}$ ${\ displaystyle {\ hat {C}}}$ ${\ hat {C}}$ Și ${\hat {D}}$ ${\ displaystyle {\ hat {D}}}$ ${\ hat {D}}$ (care, așa cum este ușor de demonstrat, sunt aceleași) următoarele ipoteze:

ipoteza 1: amândoi au dreptate;
ipoteza 2: ambii sunt obtusi;
ipoteza 3: ambele sunt acute.

Saccheri demonstrează corect că, dacă una dintre ipoteze este valabilă pentru un anumit patrulater, este valabilă și pentru toate celelalte. Apoi propunem să arătăm că pornind de la ipotezele 2 și 3 ajungem la câteva propoziții care contrazic primele 28 de propoziții ale Elementelor (cele independente de postulatul 5). În acest fel, el ar fi dovedit că aceste ipoteze sunt false, dovedind validitatea primei ipoteze.

Eliminarea ipotezei 2 este mai simplă și mai corectă: Saccheri demonstrează, de fapt, că contrazice propoziția 16 a lui Euclid. El nu-și dă seama, totuși, că această propoziție, folosind al doilea postulat, neagă de fapt însăși ipoteza 2. Saccheri luptă apoi mult timp cu ipoteza 3 (pe care o numește „ipoteza inimică a unghiului acut”), înainte crezi că ai câștigat jocul. În realitate, presupusa sa dovadă se bazează pe o utilizare incorectă a conceptului de infinit.

Cele trei ipoteze ar putea, conform unui limbaj mai familiar pentru noi, să fie formulate după cum urmează:

Având o linie dreaptă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ din ea însă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ trece

Ipoteza 1: una și o singură paralelă cu linia dată;
Ipoteza 2: nici una paralelă cu linia dată;
Ipoteza 3: paralele infinite cu linia dreaptă dată.

Deși lucrarea lui Saccheri nu și-a atins scopul propus, este de o mare importanță în istoria matematicii, deoarece prin deducerea corectă a diferitelor propoziții din ipotezele 2 și 3, ea dezvoltă de fapt, fără să știe autorul, un prim embrion al celor două geometrii, nu euclidian care sunt obținute tocmai prin asumarea unor ipoteze precum postulatul: geometria eliptică care acceptă ipoteza 2 și va fi dezvoltată de Riemann și geometria hiperbolică , care își asumă ipoteza 3 și va fi dezvoltată de Bolyai și Lobachevsky .

Abia în ultimii ani ai secolului al XIX-lea a fost demonstrată independența celui de-al cincilea postulat al lui Euclid față de primele patru. Această demonstrație are loc imaginând o geometrie având suprafața unei pseudosfere ca plan și verificând că în acest model geometric primele patru postulate sunt valabile, dar nu și al cincilea. Acest lucru este echivalent cu a spune că primele patru postulate nu implică al cincilea.

Bibliografie

Euclide, Toate lucrările , editat de Fabio Acerbi, Milano, Bompiani, 2007.
Gerolamo Saccheri, Euclid eliberat de toate petele , text latin vizavi, editat de Pierangelo Frigerio, Milano, Bompiani, 2001.
Roberto Bonola, Geometrie non-euclidiană. Expoziție istorico-critică a dezvoltării sale , Bologna, Zanichelli, 1906.
BA Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry. Evoluția conceptului de spațiu geometric (tradus din rusă), New York, Springer, 1988.
GS Klügel, Încercări de a demonstra teoria paralelă , trad. din latină de Ludovica Radif, eseu introd. de Dario Palladino, Edițiile Melquiades, Milano, 2012

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe postulatul V al lui Euclid

linkuri externe

( EN ) postulatul V al lui Euclid , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4173277-7

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica