Colectare de factori comuni

Colecția de factori comuni este o operație matematică care permite evidențierea unei părți literale și / sau a unei părți numerice care înmulțește tot ceea ce o urmărește și se bazează pe proprietatea distributivă a multiplicării față de adunare ^[1] . Este împărțit în amintirea totală și amintirea parțială.

Amintirea totală este cea mai simplă operație de descompunere a unui polinom în factori, care constă în identificarea, dacă există, a celui mai mare divizor comun monomial ^[2] ; de exemplu: $AB+AC=A(B+C).$ ${\ displaystyle AB + AC = A (B + C).}$ ${\ displaystyle AB + AC = A (B + C).}$

Amintirea parțială apare atunci când nu toți termenii unui polinom au factori comuni, ci doar unii dintre ei ^[3] ; apoi procedăm mai întâi cu o amintire parțială prin gruparea părților în comun. Procedura vizează evidențierea, după acest prim pas, a unei părți care poate fi colectată în întregime ulterior. De exemplu, luați în considerare următorul polinom: $ax+bx+ay+by.$ ${\ displaystyle ax + bx + ay + by.}$ ${\ displaystyle ax + bx + ay + by.}$

Primii doi termeni au un termen în comun $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , al treilea și al patrulea termen $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ; procedând cu amintirea, obținem:

x(a+b)+y(a+b)=(x+y)(a+b).

{\ displaystyle x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b).}

{\ displaystyle x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b).}

În ultimul pas, deoarece este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ că $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt multiplicate cu factorul $a+b$ ${\ displaystyle a + b}$ $a + b$ , acesta din urmă poate fi colectat și produsul este obținut $(x+y)(a+b)$ ${\ displaystyle (x + y) (a + b)}$ ${\ displaystyle (x + y) (a + b)}$ .

Utilitate

Operația comună de colectare a factorilor este deosebit de utilă, deoarece permite simplificarea multor polinoame care, dacă nu ar fi reduse la o formă mai accesibilă , ar fi foarte greu de tratat.

Luați în considerare binomul ca exemplu:

2x^{3}+10x^{2}.

{\ displaystyle 2x ^ {3} + 10x ^ {2}.}

{\ displaystyle 2x ^ {3} + 10x ^ {2}.}

Dacă doriți să găsiți zerourile (sau să discutați despre semn), este posibil să colectați ca factor comun cel mai mare divizor comun dintre monomiile care alcătuiesc binomul; de exemplu:

2x^{3}+10x^{2}=0\,\,\to \,\,2x^{2}(x+5)=0.

{\ displaystyle 2x ^ {3} + 10x ^ {2} = 0 \, \, \ to \, \, 2x ^ {2} (x + 5) = 0.}

{\ displaystyle 2x ^ {3} + 10x ^ {2} = 0 \, \, \ to \, \, 2x ^ {2} (x + 5) = 0.}

Prin legea privind anularea produsului , ecuația este îndeplinită pentru $x=0\,\,\lor \,\,x=-5$ ${\ displaystyle x = 0 \, \, \ lor \, \, x = -5}$ ${\ displaystyle x = 0 \, \, \ lor \, \, x = -5}$ .

În mod similar, este posibil să se utilizeze colecția de factori comuni pentru a simplifica fracțiile :

Luând parte din exemplul anterior și luând în considerare fracția:

{\frac {2x^{3}+10x^{2}}{x^{3}+5x^{2}+x+5}},

{\ displaystyle {\ frac {2x ^ {3} + 10x ^ {2}} {x ^ {3} + 5x ^ {2} + x + 5}},}

{\ displaystyle {\ frac {2x ^ {3} + 10x ^ {2}} {x ^ {3} + 5x ^ {2} + x + 5}},}

este posibil să continuați cu colectarea totală în numărător (văzut mai sus) și cu o colecție parțială și apoi totală în numitor :

{\frac {2x^{2}(x+5)}{x^{2}(x+5)+x+5}}={\frac {2x^{2}(x+5)}{(x+5)(x^{2}+1)}}.

{\ displaystyle {\ frac {2x ^ {2} (x + 5)} {x ^ {2} (x + 5) + x + 5}} = {\ frac {2x ^ {2} (x + 5) } {(x + 5) (x ^ {2} +1)}}.}

{\ displaystyle {\ frac {2x ^ {2} (x + 5)} {x ^ {2} (x + 5) + x + 5}} = {\ frac {2x ^ {2} (x + 5) } {(x + 5) (x ^ {2} +1)}}.}

Acum este posibil să simplificăm factorul atât la numărător, cât și la numitor $(x+5)$ ${\ displaystyle (x + 5)}$ ${\ displaystyle (x + 5)}$ , cu condiția însă ca câmpul de existență să fie calculat mai întâi, prin setare $x+5\neq 0\,\,\implies \,\,x\neq -5$ ${\ displaystyle x + 5 \ neq 0 \, \, \ implicies \, \, x \ neq -5}$ ${\ displaystyle x + 5 \ neq 0 \, \, \ implicies \, \, x \ neq -5}$ :

{\frac {2x^{2}(x+5)}{(x+5)(x^{2}+1)}}={\frac {2x^{2}}{x^{2}+1}}.

{\ displaystyle {\ frac {2x ^ {2} (x + 5)} {(x + 5) (x ^ {2} +1)}} = {\ frac {2x ^ {2}} {x ^ { 2} +1}}.}

{\ displaystyle {\ frac {2x ^ {2} (x + 5)} {(x + 5) (x ^ {2} +1)}} = {\ frac {2x ^ {2}} {x ^ { 2} +1}}.}

Notă

^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 . p.417
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.11
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.12

Bibliografie

Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 .
Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 . p.417

[2] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.11

[3] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.12

[1]

[2]

[3]