Radical (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , rădăcina -alea sau radicală -thth , cu , a unui număr real , scris ca , este un număr real astfel încât . Numărul real se spune prin înrădăcinare , numărul se numește index și număr se numește rădăcină -thth din .

O rădăcină cu index 2 este denumită rădăcină pătrată și o rădăcină cu index 3 ca rădăcină cub sau a treia rădăcină [1] , dar există și puteți crea rădăcini cu orice index.

Condițiile existenței

Condițiile existenței sunt acel set de valori ale variabilelor conținute în radicalul pentru care există în câmpul numerelor reale .

Funcția rădăcină -th este o funcție definită de , prin urmare rămâne definit

De exemplu, următorii radicali exprimă numere reale:

Se poate obține un rezultat similar cu a n-a rădăcină prin „ exponențierea cu exponent fracțional :

Cu toate acestea, funcția de putere este definită de , prin urmare, permite definirea a două subcazuri:

  • de sine
  • de sine e ciudat

Aceasta implică că ecuațiile de tip , cu chiar și nu au soluții reale, de fapt aparțin setului de numere imaginare , un subset al setului de numere complexe , indicat cu , care sunt exprimate ca suma unui număr real și a unui număr imaginar.

De exemplu, ecuația va avea pentru soluții Și , unde este reprezintă unitatea imaginară .

Ceea ce am văzut până acum ne permite să identificăm, de exemplu, condiția existenței radicalului Și , deoarece înrădăcinarea trebuie să fie întotdeauna pozitivă.

Iată alte exemple de condiții de existență:

  • are ca condiții de existență : de fapt, inegalitatea trebuie rezolvată , a cărui soluție este tocmai .
  • în schimb, există .
  • are ca condiții de existență , deoarece este necesar să se rezolve inegalitatea fracționată .
  • Un ultim exemplu: să găsim condițiile de existență ale radicalului este necesar să se rezolve inegalitatea , care are ca soluție , amintind că factorii și sunt întotdeauna pozitive sau nule, deoarece sunt pătrate .

Operațiuni fundamentale

Există câteva proprietăți de bază ale rădăcinilor care sunt enumerate mai jos:

Prima proprietate fundamentală a radicalilor

Din definiția radicalului rezultă că:

, cu de sine chiar, de sine fotografii, .

Produs de radicali

, cu , ,

Demonstrație

El ridică puterea a ambilor membri ai egalității:

(pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)
(pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)

Din moment ce -puterile celor doi membri sunt egale ( ), bazele sunt, de asemenea, aceleași.

Exemple

Aplicarea proprietății:

În mod similar, cu :

Coeficient de radicali

, cu , ,

Demonstrație

El ridică puterea a ambilor membri ai egalității :

(pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)
(pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)

Din moment ce -puterile celor doi membri sunt egale , bazele sunt, de asemenea, aceleași.

Exemple

Aplicarea proprietății:

În mod similar, cu :

Puterile radicalilor

, cu ,

Nu este necesar să se demonstreze această proprietate, deoarece este o consecință directă a celei de-a doua proprietăți a radicalilor cu rădăcina întotdeauna pozitivă.

Exemple

Aplicarea proprietății:

În mod similar, cu

Rădăcina unui radical

, cu ,

Demonstrație

Se ridică la - puterea a ambii membri ai egalității:

(pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)
(pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)

Din moment ce -puterile celor doi membri sunt egale ( ), bazele sunt, de asemenea, aceleași.

Exemple

Aplicarea proprietății:

În mod similar, cu ,

Scoate

, cu , ,

Demonstrație

Prin teorema produsului obținem:

Dar, a doua proprietate fundamentală a radicalilor este , prin urmare:

Exemple

Aplicarea proprietății:

În mod similar, cu :

Variante

Teorema are următoarele variante, ușor de verificat:

, cu , ,
, cu ,

Aduceți

, cu , ,

Demonstrație

Ridicând totul la -a putere se obține:

Acum rădăcină totul sub rădăcina index rezultă:

Prin urmare:

Exemple

Aplicarea proprietății:

De asemenea:

pentru
pentru

Variante

Teorema are următoarele variante, ușor de verificat:

, cu , ,
, cu ,

Puteri cu exponent rațional

Ținând cont de cele spuse până acum, avem acest lucru pentru

Prima afirmație se obține direct din definiția radicalului, a doua prin aplicarea teoremei puterii cu exponent negativ .

Radicali pătratici dubli

unde este , Și .

Pentru orice număr complex , Sunt mai multe numere complexe astfel încât , apoi simbolul nu poate fi folosit în mod unic. De sine , vorbim de rădăcinile n-ale unității .

Sume de radicali

Este important să ne amintim că, în general, este întotdeauna (pentru , ):

având în vedere că egalitatea apare dacă și numai dacă cel puțin una dintre Și Și .

Deci, afirmă asta ar fi o greșeală foarte gravă.

Demonstrație

Pornind de la inegalitate:

Pătrat obținem:

De cand este Și ipotetic , este, de asemenea , deci teza este adevărată.

Generalizare

Teorema este ușor extinsă la rădăcinile index -th:

, cu , ,

Cazuri în care suma este posibilă

Suma radicalilor este posibilă numai dacă sunt prezenți radicali similari, adică în cazul în care:

, cu

De exemplu:

În cel de-al doilea exemplu, rețineți că este valabil .

Proprietatea invariantă a radicalilor

Proprietatea invariantă a radicalilor afirmă că:

" Prin înmulțirea sau împărțirea atât a indicelui unui radical, cât și a exponentului radicalului său cu un număr natural diferit de 0, se obține un radical echivalent cu cel dat."

În simboluri:

, cu ,

Demonstrație

Ridică-te la puterea fiecăruia dintre cei doi membri:

(pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)
(pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)

Se obține , și, din moment ce -puterile celor doi membri sunt egale, bazele sunt, de asemenea, aceleași.

Exemple

Folosind proprietatea invariantă este posibilă simplificarea radicalilor, împărțind atât indicele cât și exponentul radicanilor la același număr:

De asemenea:

Rețineți că valoarea absolută a fost inserată în expresia : acest lucru se datorează faptului că, în timp ce primul radical există întotdeauna, deoarece are radicandul mare la un indice egal după aceea este simplificat și radicandul său nu mai este ridicat la un exponent egal . Prin urmare, este necesar să introduceți valoarea absolută, pentru a vă asigura că egalitatea rămâne valabilă.

Cazuri speciale

Radacina -thth se ține întotdeauna, excluzând cazul în care se află , deoarece rădăcina index are semnificație numai dacă radicand este egal cu , care este în cazul:

, de la operația inversă, , cu , rezultă întotdeauna în valoare , deci orice valoare, chiar complexă, a este acceptabil.

Mai mult, este întotdeauna:

Raționalizarea

În elaborarea expresiilor și formulelor algebrice, este adesea utilă manipularea radicalilor folosind relațiile scrise mai sus, fără a încerca să calculăm valoarea fiecărui element. De exemplu, dacă Și sunt două numere pozitive distincte:

Ultima relație poate fi utilizată pentru raționalizarea numitorului unei expresii sau a unei ecuații .

Radicali literali

Se poate întâmpla, adesea în analiză , să găsim radicali literali, adică rădăcini pătrate cu o înrădăcinare literală. În acest caz, mai întâi trebuie să găsiți condiția existenței (numită și CA Condiție de acceptabilitate sau CRR Condiție de realitate a Radicando-ului ), în cazul în care lucrați numai între numere reale , și apoi luați în considerare întotdeauna când literele indică numere pozitive sau cifre negative .

Un exemplu de radical literal:

Condițiile existenței se obțin în felul următor:

  • Pentru index , este pur și simplu , întrucât este singurul număr natural pentru care își pierde sensul;
  • Dacă indicele este egal, pentru înrădăcinare este necesar să se rezolve inegalitatea fracțională , a cărei soluție este: .
  • Dacă indicele este ciudat, pentru înrădăcinare este suficient să se impună condițiile existenței numitorului, adică .

Prin urmare, câmpul de existență al radicalului este: .

Notă

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 38000
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică