În matematică , rădăcina {\ displaystyle n} -alea sau radicală {\ displaystyle n} -thth , cu {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}} , a unui număr real {\ displaystyle a \ geq 0} , scris ca {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a}}} , este un număr real {\ displaystyle b \ geq 0} astfel încât {\ displaystyle b ^ {n} = a} . Numărul real {\ displaystyle a} se spune prin înrădăcinare , numărul {\ displaystyle n} se numește index și număr {\ displaystyle b} se numește rădăcină {\ displaystyle n} -thth din {\ displaystyle a} .
O rădăcină cu index 2 este denumită rădăcină pătrată și o rădăcină cu index 3 ca rădăcină cub sau a treia rădăcină [1] , dar există și puteți crea rădăcini cu orice index.
Condițiile existenței
Condițiile existenței sunt acel set de valori ale variabilelor conținute în radicalul pentru care există în câmpul numerelor reale .
Funcția rădăcină {\ displaystyle n} -th este o funcție definită de {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+} \ cup \ {0 \} \ to \ mathbb {R}} , prin urmare {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a}}} rămâne definit {\ displaystyle \ if a \ geq 0}
De exemplu, următorii radicali exprimă numere reale:
- {\ displaystyle {\ sqrt {9}} = 3; \ quad - {\ sqrt {25}} = - 5; \ quad {\ sqrt [{3}] {8}} = 2; \ quad - {\ sqrt [{3}] {27}} = - 3; \ quad {\ sqrt {2}} = 1.4142 \ dots \ ,, \ quad - {\ sqrt {\ pi}} = - 1.7724 \ dots}
Se poate obține un rezultat similar cu a n-a rădăcină prin „ exponențierea cu exponent fracțional :
- {\ displaystyle a ^ {\ frac {1} {n}} = b \ Longleftrightarrow \ left (a ^ {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n} = b ^ {n}}
Cu toate acestea, funcția de putere este definită de {\ displaystyle \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}} , prin urmare, permite definirea a două subcazuri:
- de sine {\ displaystyle a \ geq 0 \ implică un ^ {\ frac {1} {n}} \ equiv {\ sqrt [{n}] {a}}}
- de sine {\ displaystyle a <0 \ implică \ există \, a ^ {\ frac {1} {n}} \ în \ mathbb {R} \ if n} e ciudat
Aceasta implică că ecuațiile de tip {\ displaystyle x ^ {n} + a = 0} , cu {\ displaystyle n} chiar și {\ displaystyle a> 0} nu au soluții reale, de fapt aparțin setului de numere imaginare , un subset al setului de numere complexe , indicat cu {\ displaystyle \ mathbb {C}} , care sunt exprimate ca suma unui număr real și a unui număr imaginar.
De exemplu, ecuația {\ displaystyle x ^ {2} + 4 = 0} va avea pentru soluții {\ displaystyle 2i} Și {\ displaystyle -2i} , unde este {\ displaystyle i} reprezintă unitatea imaginară .
Ceea ce am văzut până acum ne permite să identificăm, de exemplu, condiția existenței radicalului {\ displaystyle {\ sqrt {x}}} Și {\ displaystyle CE: x \ geq 0} , deoarece înrădăcinarea trebuie să fie întotdeauna pozitivă.
Iată alte exemple de condiții de existență:
- {\ displaystyle {\ sqrt [{2}] {x-1}}} are ca condiții de existență {\ displaystyle x \ geq 1} : de fapt, inegalitatea trebuie rezolvată {\ displaystyle x-1 \ geq 0} , a cărui soluție este tocmai {\ displaystyle x \ geq 1} .
- {\ displaystyle (x-1) ^ {\ frac {1} {3}}} în schimb, există {\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}} .
- {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {x + 1} {x-2}}}} are ca condiții de existență {\ displaystyle x \ leq -1 \ \ lor \ x> 2} , deoarece este necesar să se rezolve inegalitatea fracționată{\ displaystyle {\ frac {x + 1} {x-2}} \ geq 0} .
- Un ultim exemplu: să găsim condițiile de existență ale radicalului {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {x ^ {2} (x + 1) ^ {2}} {x + 2}}}} este necesar să se rezolve inegalitatea {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} (x + 1) ^ {2}} {x + 2}} \ geq 0} , care are ca soluție {\ displaystyle x> -2} , amintind că factorii {\ displaystyle x} și {\ displaystyle x + 1} sunt întotdeauna pozitive sau nule, deoarece sunt pătrate .
Operațiuni fundamentale
Există câteva proprietăți de bază ale rădăcinilor care sunt enumerate mai jos:
Prima proprietate fundamentală a radicalilor
Din definiția radicalului rezultă că:
- {\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{n}] {a}} \ right) ^ {n} = a} , cu {\ displaystyle a \ geq 0} de sine {\ displaystyle n} chiar, {\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}} de sine {\ displaystyle n} fotografii, {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}} .
Produs de radicali
- {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a}} {\ sqrt [{n}] {b}} = {\ sqrt [{n}] {ab}}} , cu {\ displaystyle a \ geq 0} , {\ displaystyle b \ geq 0} , {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}}
Demonstrație
El ridică puterea a ambilor membri ai egalității:
- {\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{n}] {a}} {\ sqrt [{n}] {b}} \ right) ^ {n} = \ left ({\ sqrt [{n}] { a}} \ right) ^ {n} \ left ({\ sqrt [{n}] {b}} \ right) ^ {n} = ab} (pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)
- {\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{n}] {ab}} \ right) ^ {n} = ab} (pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)
Din moment ce {\ displaystyle n} -puterile celor doi membri sunt egale ( {\ displaystyle ab = ab} ), bazele sunt, de asemenea, aceleași.
Exemple
Aplicarea proprietății:
- {\ displaystyle {\ sqrt {5}} {\ sqrt {10}} {\ sqrt {40}} = {\ sqrt {5 \ cdot 10 \ cdot 40}} = {\ sqrt {2000}} = 20 {\ sqrt {5}}}
În mod similar, cu {\ displaystyle CE: \ x> 1} :
- {\ displaystyle {\ sqrt {x-1}} {\ sqrt {x}} {\ sqrt {\ frac {1} {x-1}}} = {\ sqrt {\ frac {x (x-1)} {x-1}}} = {\ sqrt {x}}}
Coeficient de radicali
- {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt [{n}] {a}} {\ sqrt [{n}] {b}}} = {\ sqrt [{n}] {\ frac {a} {b}} }} , cu {\ displaystyle a \ geq 0} , {\ displaystyle b> 0} , {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} - \ {0 \}}
Demonstrație
El ridică puterea a ambilor membri ai egalității :
- {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ sqrt [{n}] {a}} {\ sqrt [{n}] {b}}} \ right) ^ {n} = {\ frac {\ left ({ \ sqrt [{n}] {a}} \ right) ^ {n}} {\ left ({\ sqrt [{n}] {b}} \ right) ^ {n}}} = {\ frac {a } {b}}} (pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)
- {\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{n}] {\ frac {a} {b}}} \ right) ^ {n} = {\ frac {a} {b}}} (pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)
Din moment ce {\ displaystyle n} -puterile celor doi membri sunt egale {\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} = {\ frac {a} {b}} \ right)} , bazele sunt, de asemenea, aceleași.
Exemple
Aplicarea proprietății:
- {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {50}} {\ sqrt {25}}} = {\ sqrt {\ frac {50} {25}}} = {\ sqrt {2}}}
În mod similar, cu {\ displaystyle CE: \ x> -2} :
- {\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {\ sqrt {(x + 2) (x + 3)}}} = {\ sqrt {\ frac {x + 2} {(x + 2) (x + 3)}}} = {\ sqrt {\ frac {1} {x + 3}}}}
Puterile radicalilor
- {\ displaystyle ({\ sqrt [{n}] {a}}) ^ {m} = {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}} , cu {\ displaystyle a \ geq 0} , {\ displaystyle n, m \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}}
Nu este necesar să se demonstreze această proprietate, deoarece este o consecință directă a celei de-a doua proprietăți a radicalilor cu rădăcina întotdeauna pozitivă.
Exemple
Aplicarea proprietății:
- {\ displaystyle \ left ({\ sqrt {5}} \ right) ^ {4} = {\ sqrt {5 ^ {4}}} = 25}
În mod similar, cu {\ displaystyle CE: \ x \ geq -1}
- {\ displaystyle \ left ({\ sqrt {x + 1}} \ right) ^ {4} = {\ sqrt {(x + 1) ^ {4}}} = (x + 1) ^ {2}}
Rădăcina unui radical
- {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ sqrt [{m}] {a}}} = {\ sqrt [{mn}] {a}}} , cu {\ displaystyle a \ geq 0} , {\ displaystyle n, m \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}}
Demonstrație
Se ridică la {\ displaystyle nm} - puterea a ambii membri ai egalității:
- {\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{n}] {\ sqrt [{m}] {a}}} \ right) ^ {nm} = \ left (\ left ({\ sqrt [{n}] { \ sqrt [{m}] {a}}} \ right) ^ {n} \ right) ^ {m} = \ left ({\ sqrt [{m}] {a}} \ right) ^ {m} = la} (pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)
- {\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{mn}] {a}} \ right) ^ {mn} = a} (pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)
Din moment ce {\ displaystyle nm} -puterile celor doi membri sunt egale ( {\ displaystyle a = a} ), bazele sunt, de asemenea, aceleași.
Exemple
Aplicarea proprietății:
- {\ displaystyle {\ sqrt {\ sqrt [{3}] {3}}} = {\ sqrt [{2 \ cdot 3}] {3}} = {\ sqrt [{6}] {3}}}
În mod similar, cu {\ displaystyle CE: x \ geq 0} ,{\ displaystyle n \ neq 0 \ \ land \ n \ neq 1}
- {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ sqrt [{n-1}] {x}}} = {\ sqrt [{n (n-1)}] {x}} = {\ sqrt [{ n ^ {2} -n}] {x}}}
Scoate
- {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a ^ {n} b}} = a {\ sqrt [{n}] {b}}} , cu {\ displaystyle a \ geq 0} , {\ displaystyle b> 0} , {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} - \ {0 \}}
Demonstrație
Prin teorema produsului obținem:
- {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a ^ {n} b}} = {\ sqrt [{n}] {a ^ {n}}} {\ sqrt [{n}] {b}}}
Dar, a doua proprietate fundamentală a radicalilor este {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a ^ {n}}} = a} , prin urmare:
- {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a ^ {n} b}} = {\ sqrt [{n}] {a ^ {n}}} {\ sqrt [{n}] {b}} = a {\ sqrt [{n}] {b}}}
Exemple
Aplicarea proprietății:
- {\ displaystyle {\ sqrt {500}} = {\ sqrt {100 \ cdot 5}} = 10 {\ sqrt {5}}}
În mod similar, cu{\ displaystyle CE: \ x \ geq 0} :
- {\ displaystyle {\ sqrt {x (x + 1) ^ {2}}} = (x + 1) {\ sqrt {x}}}
Variante
Teorema are următoarele variante, ușor de verificat:
- {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a ^ {nx} b}} = a ^ {x} {\ sqrt [{n}] {b}}} , cu {\ displaystyle a \ geq 0} , {\ displaystyle b> 0} , {\ displaystyle n, x \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}}
- {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a ^ {nx + k}}} = a ^ {x} {\ sqrt [{n}] {a ^ {k}}}} , cu {\ displaystyle a \ geq 0} , {\ displaystyle n, k \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}}
Aduceți
- {\ displaystyle a {\ sqrt [{n}] {b}} = {\ sqrt [{n}] {a ^ {n} b}}} , cu {\ displaystyle a \ geq 0} , {\ displaystyle b> 0} , {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}}
Demonstrație
Ridicând totul la {\ displaystyle n} -a putere se obține:
- {\ displaystyle a {\ sqrt [{n}] {b}} = a ^ {n} b}
Acum rădăcină totul sub rădăcina index {\ displaystyle n} rezultă:
- {\ displaystyle a ^ {n} b = {\ sqrt [{n}] {a ^ {n} b}}}
Prin urmare:
- {\ displaystyle a {\ sqrt [{n}] {b}} = {\ sqrt [{n}] {a ^ {n} b}}}
Exemple
Aplicarea proprietății:
- {\ displaystyle 10 {\ sqrt {3}} = {\ sqrt {10 ^ {2} \ cdot 3}} = {\ sqrt {300}}}
De asemenea:
- {\ displaystyle x {\ sqrt {3}} = {\ sqrt {3x ^ {2}}}} pentru {\ displaystyle x \ geq 0}
- {\ displaystyle - {\ sqrt {3x ^ {2}}}} pentru {\ displaystyle x <0}
Variante
Teorema are următoarele variante, ușor de verificat:
- {\ displaystyle a ^ {x} {\ sqrt [{n}] {b}} = {\ sqrt [{n}] {a ^ {nx} b}}} , cu {\ displaystyle a \ geq 0} , {\ displaystyle b> 0} , {\ displaystyle n, x \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}}
- {\ displaystyle a ^ {x} {\ sqrt [{n}] {a ^ {k}}} = {\ sqrt [{n}] {a ^ {nx + k}}}} , cu {\ displaystyle a \ geq 0} , {\ displaystyle n, x \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}}
Puteri cu exponent rațional
Ținând cont de cele spuse până acum, avem acest lucru pentru {\ displaystyle a \ geq 0}
- {\ displaystyle a ^ {\ frac {m} {n}} \ equiv {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}
- {\ displaystyle a ^ {- {\ frac {m} {n}}} \ equiv {\ frac {1} {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}}
Prima afirmație se obține direct din definiția radicalului, a doua prin aplicarea teoremei puterii cu exponent negativ .
Radicali pătratici dubli
- {\ displaystyle {\ sqrt {a \ pm {\ sqrt {b}}}} = {\ sqrt {\ frac {a + {\ sqrt {a ^ {2} -b}}} {2}}} \ pm {\ sqrt {\ frac {a - {\ sqrt {a ^ {2} -b}}} {2}}}}
unde este {\ displaystyle a> 0} , {\ displaystyle b> 0} Și {\ displaystyle a ^ {2}> b} .
Pentru orice număr complex {\ displaystyle a \ neq 0} , Sunt {\ displaystyle n} mai multe numere complexe {\ displaystyle b} astfel încât {\ displaystyle b ^ {n} = a} , apoi simbolul {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a}}} nu poate fi folosit în mod unic. De sine {\ displaystyle a = 1} , vorbim de rădăcinile n-ale unității .
Sume de radicali
Este important să ne amintim că, în general, este întotdeauna (pentru {\ displaystyle a \ geq 0} , {\ displaystyle b \ geq 0} ):
- {\ displaystyle {\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}} \ geq {\ sqrt {a + b}}}
având în vedere că egalitatea apare dacă și numai dacă cel puțin una dintre {\ displaystyle a} Și {\ displaystyle b} Și .
Deci, afirmă asta {\ displaystyle {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}} = {\ sqrt {5}}} ar fi o greșeală foarte gravă.
Demonstrație
Pornind de la inegalitate:
- {\ displaystyle {\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}} \ geq {\ sqrt {a + b}}}
Pătrat obținem:
- {\ displaystyle \ left ({\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}} \ right) ^ {2} \ geq \ left ({\ sqrt {a + b}} \ right) ^ {2}}
- {\ displaystyle a + b + 2 {\ sqrt {ab}} \ geq a + b}
- {\ displaystyle 2 {\ sqrt {ab}} \ geq 0}
De cand este {\ displaystyle a \ geq 0} Și {\ displaystyle b \ geq 0} ipotetic , este, de asemenea {\ displaystyle {\ sqrt {ab}} \ geq 0} , deci teza este adevărată.
Generalizare
Teorema este ușor extinsă la rădăcinile index {\ displaystyle n} -th:
- {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a}} + {\ sqrt [{n}] {b}} \ geq {\ sqrt [{n}] {a + b}}} , cu {\ displaystyle a \ geq 0} , {\ displaystyle b \ geq 0} , {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}}
Cazuri în care suma este posibilă
Suma radicalilor este posibilă numai dacă sunt prezenți radicali similari, adică în cazul în care:
- {\ displaystyle a {\ sqrt [{n}] {k}} + b {\ sqrt [{n}] {k}} = \ left (a + b \ right) {\ sqrt [{n}] {k }}} , cu {\ displaystyle k> 0}
De exemplu:
- {\ displaystyle 10 {\ sqrt {2}} + 5 {\ sqrt {2}} = (10 + 5) {\ sqrt {2}} = 15 {\ sqrt {2}}}
- {\ displaystyle 5 + 3 {\ sqrt {5}} = {\ sqrt {5}} {\ sqrt {5}} + 3 {\ sqrt {5}} = \ left ({\ sqrt {5}} + 3 \ dreapta) {\ sqrt {5}}}
În cel de-al doilea exemplu, rețineți că este valabil{\ displaystyle n = {\ sqrt {n}} {\ sqrt {n}}} .
Proprietatea invariantă a radicalilor
Proprietatea invariantă a radicalilor afirmă că:
" Prin înmulțirea sau împărțirea atât a indicelui unui radical, cât și a exponentului radicalului său cu un număr natural diferit de 0, se obține un radical echivalent cu cel dat."
În simboluri:
- {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = {\ sqrt [{np}] {x ^ {p}}}} , cu {\ displaystyle x \ geq 0} , {\ displaystyle n, p \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}}
Demonstrație
Ridică-te la {\ displaystyle np} puterea fiecăruia dintre cei doi membri:
- {\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{n}] {x}} \ right) ^ {np} = \ left (\ left ({\ sqrt [{n}] {x}} \ right) ^ {n } \ dreapta) ^ {p} = x ^ {p}} (pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)
- {\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{np}] {x ^ {p}}} \ right) ^ {np} = x ^ {p}} (pentru prima proprietate fundamentală a radicalilor)
Se obține {\ displaystyle x ^ {p} = x ^ {p}} , și, din moment ce {\ displaystyle np} -puterile celor doi membri sunt egale, bazele sunt, de asemenea, aceleași.
Exemple
Folosind proprietatea invariantă este posibilă simplificarea radicalilor, împărțind atât indicele cât și exponentul radicanilor la același număr:
- {\ displaystyle {\ sqrt [{10}] {3 ^ {5}}} = {\ sqrt [{\ frac {10} {5}}] {3 ^ {\ frac {5} {5}}}} = {\ sqrt {3}}}
De asemenea:
- {\ displaystyle {\ sqrt [{20}] {(x + 1) ^ {10}}} = {\ sqrt {| x + 1 |}}}
Rețineți că valoarea absolută a fost inserată în expresia : acest lucru se datorează faptului că, în timp ce primul radical {\ displaystyle {\ sqrt [{20}] {(x + 1) ^ {10}}}} există întotdeauna, deoarece are radicandul mare la un indice egal după aceea este simplificat și radicandul său nu mai este ridicat la un exponent egal . Prin urmare, este necesar să introduceți valoarea absolută, pentru a vă asigura că egalitatea rămâne valabilă.
Cazuri speciale
Radacina {\ displaystyle n} -thth se ține întotdeauna, excluzând cazul în care se află {\ displaystyle n = 0} , deoarece rădăcina index are semnificație numai dacă radicand este egal cu {\ displaystyle 1} , care este în cazul:
- {\ displaystyle {\ sqrt [{0}] {1}} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}} , de la operația inversă, {\ displaystyle n ^ {0}} , cu {\ displaystyle n \ neq 0} , rezultă întotdeauna în valoare {\ displaystyle 1} , deci orice valoare, chiar complexă, a {\ displaystyle n} este acceptabil.
Mai mult, este întotdeauna:
- {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {1}} = 1}
- {\ displaystyle {\ sqrt [{1}] {n}} = n}
Raționalizarea
În elaborarea expresiilor și formulelor algebrice, este adesea utilă manipularea radicalilor folosind relațiile scrise mai sus, fără a încerca să calculăm valoarea fiecărui element. De exemplu, dacă {\ displaystyle a} Și {\ displaystyle b} sunt două numere pozitive distincte:
- {\ displaystyle {\ begin {align} ({\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}}) ({\ sqrt {a}} - {\ sqrt {b}}) & = {\ sqrt {a }} {\ sqrt {a}} - {\ sqrt {a}} {\ sqrt {b}} + {\ sqrt {b}} {\ sqrt {a}} - {\ sqrt {b}} {\ sqrt {b}} \\ & = ab \ end {align}}}
- {\ displaystyle ({\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}}) ^ {- 1} = {\ frac {1} {({\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}}) }} = {\ frac {1} {{\ sqrt {a}} + {\ sqrt {b}}}} \ cdot {\ frac {{\ sqrt {a}} - {\ sqrt {b}}} { {\ sqrt {a}} - {\ sqrt {b}}}} = {\ frac {{\ sqrt {a}} - {\ sqrt {b}}} {ab}}}
Ultima relație poate fi utilizată pentru raționalizarea numitorului unei expresii sau a unei ecuații .
Radicali literali
Se poate întâmpla, adesea în analiză , să găsim radicali literali, adică rădăcini pătrate cu o înrădăcinare literală. În acest caz, mai întâi trebuie să găsiți condiția existenței (numită și CA Condiție de acceptabilitate sau CRR Condiție de realitate a Radicando-ului ), în cazul în care lucrați numai între numere reale , și apoi luați în considerare întotdeauna când literele indică numere pozitive sau cifre negative .
Un exemplu de radical literal:
- {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ frac {x + 3} {x ^ {3} -1}}}}
Condițiile existenței se obțin în felul următor:
- Pentru index , este pur și simplu {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}} , întrucât este singurul număr natural pentru care își pierde sensul;
- Dacă indicele este egal, pentru înrădăcinare este necesar să se rezolve inegalitatea fracțională {\ displaystyle {\ frac {x + 3} {x ^ {3} -1}} \ geq 0} , a cărei soluție este: {\ displaystyle x> 1 \ \ \ lor \ \ x \ leq -3} .
- Dacă indicele este ciudat, pentru înrădăcinare este suficient să se impună condițiile existenței numitorului, adică {\ displaystyle x ^ {3} -1 \ neq 0 \ Longleftrightarrow x \ neq 1} .
Prin urmare, câmpul de existență al radicalului este: {\ displaystyle CE: \ \ \ left (x> 1 \ \ lor \ x \ leq -3 \ right) \ \ land \ \ left (n \ neq 0 \ right)} .
Notă
Elemente conexe
linkuri externe