Radical dublu

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Orice expresie a formei este definită ca un radical pătratic dublu :

sau

Radicalii dubli se găsesc în formulele de soluție ale ecuațiilor de gradul III și IV , chiar dacă au fost deja studiate de Euclid în Cartea X a Elementelor sale.

Proprietate

Uneori este posibil să transformăm un radical dublu într-o sumă de doi radicali. De exemplu, luați în considerare prima formă: propunem să găsim două numere Și astfel încât:

Cadrarea ambelor părți oferă:

Această egalitate este cu siguranță verificată dacă ne întrebăm:

acesta este:

Soluțiile acestui sistem simetric sunt rădăcinile ecuației pătratice

Rezolvând această ecuație obținem

prin urmare:

Identitatea căutată este astfel obținută:

În mod similar, este posibil să se obțină:

Pe de altă parte, este ușor de verificat dacă aceste identități sunt într - adevăr verificate (cu condiția ca , și sunt pozitive).

Rețineți că al doilea membru este, în general, o sumă de radicali dubli, deci identitatea este de fapt utilă numai dacă este un pătrat perfect . De exemplu:

și, simplificând și raționalizând , obținem:

În schimb radicalul dublu nu poate fi simplificat, deoarece nu este un pătrat perfect.

Exemplu „pătrat perfect rațional”. Având în vedere că , Și , avem:

Ramanujan a constatat că

,

de exemplu

,

are soluția 3 care se obține prin setarea x = 2, n = 1 și a = 0. [1]

Exemple

Pentru a calcula un radical pătratic dublu, atunci când este posibil, este convenabil din punct de vedere al timpului și al clarității transformarea rădăcinii și într-o putere exponentă uniformă:

Formula poate fi utilizată pentru a demonstra că

Iată cum merge:

aplicând acum formula:

echivalentă cu

Exemplu de radical cubic dublu

Notă

  1. ^ Kanigel , p. 87

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică