Rădăcină (matematică)

În matematică , rădăcina unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în domeniul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ astfel încât $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ . Prin urmare, definiția generalizează noțiunea de radical , care este în această cheie rădăcina funcțiilor formei:

f(x)=x^{n}-a

{\ displaystyle f (x) = x ^ {n} -a}

f (x) = x ^ {n} -a

Această definiție este foarte importantă în algebră atunci când $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un polinom , deci vorbim și de zero .

În analiza complexă rădăcinile unui polinom se numesc zerouri . Teorema fundamentală a algebrei garantează existența unui număr de rădăcini (numărate cu multiplicitate) egal cu gradul polinomului.

Dintre cele mai studiate cazuri nepolinomiale, ipoteza Riemann este o celebră conjectură referitoare la zerourile funcției zeta Riemann .

Definiție

Este $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ o funcție între două seturi , astfel încât $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ conține un element „zero”. De exemplu, $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ poate fi setul de numere reale , numere întregi sau orice alt grup . Un element $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ este o rădăcină a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ de sine

f(x)=0

{\ displaystyle f (x) = 0}

f (x) = 0

cu alte cuvinte, dacă imaginea $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ prin $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este zero (vezi intrarea de bază pentru o discuție din punct de vedere algebric ).

Exemple

Notăm cu $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ansamblul numerelor reale. Luați în considerare funcția polinomială $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $f: {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}}$ dat de:

f(x)=x^{2}-6x+9

{\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -6x + 9}

f (x) = x ^ {2} -6x + 9

Numărul 3 este rădăcina lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , deoarece $f(3)=3^{2}-(6\times 3)+9=0$ ${\ displaystyle f (3) = 3 ^ {2} - (6 \ times 3) + 9 = 0}$ $f (3) = 3 ^ {2} - (6 \ ori 3) + 9 = 0$ . Mai general, rădăcinile unei funcții $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $f: {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}}$ sunt punctele în care graficul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ intersectează axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Dintre acestea, funcția exponențială nu are rădăcini, în timp ce funcția sinus are infinit.

Multiplicitatea unei rădăcini

Se definește multiplicitatea unei rădăcini $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ a unui polinom $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ ca numărul natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât

p(x)=(x-a)^{n}q(x)

{\ displaystyle p (x) = (xa) ^ {n} q (x)}

p (x) = (x-a) ^ {n} q (x)

unde este $q(a)$ ${\ displaystyle q (a)}$ $q (a)$ este diferit de zero. Cu alte cuvinte, conform teoremei lui Ruffini , $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este de câte ori putem împărți $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ pentru $(x-a)$ ${\ displaystyle (xa)}$ $(x-a)$ .

Dacă polinomul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ se „rupe” ca.

p(x)=(x-a_{1})\cdots (x-a_{n})

{\ displaystyle p (x) = (x-a_ {1}) \ cdots (x-a_ {n})}

p (x) = (x-a_ {1}) \ cdots (x-a_ {n})

apoi multiplicitatea $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este de câte ori apare printre diverse $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ . Cu toate acestea, multiplicitatea este definită în general, chiar și în cazul în care polinomul nu poate fi luat în considerare, deoarece ne aflăm în câmpul numerelor reale, sau pur și simplu pentru că nu putem face acest lucru: de exemplu, vedem imediat că polinomul

p(x)=x^{7}-14x^{5}+3x^{3}-741x^{2}

{\ displaystyle p (x) = x ^ {7} -14x ^ {5} + 3x ^ {3} -741x ^ {2}}

p (x) = x ^ {7} -14x ^ {5} + 3x ^ {3} -741x ^ {2}

are de fapt rădăcina zero cu multiplicitatea 2

p(x)=x^{2}q(x),\quad q(x)=x^{5}-14x^{3}+3x-741

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} q (x), \ quad q (x) = x ^ {5} -14x ^ {3} + 3x-741}

p (x) = x ^ {2} q (x), \ quad q (x) = x ^ {5} -14x ^ {3} + 3x-741

și 0 nu este o rădăcină a $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ .

Numărul de rădăcini

Folosind teorema lui Ruffini se demonstrează cu ușurință prin inducție că un polinom $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ are cel mult $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini, după cum urmează:

de sine $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ obținem o ecuație de gradul I , care are întotdeauna o singură soluție;
pentru $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ : de sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este o rădăcină a $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , apoi teorema lui Ruffini afirmă că $p(x)=(x-a)q(x)$ ${\ displaystyle p (x) = (xa) q (x)}$ $p (x) = (x-a) q (x)$ , unde este $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este un alt polinom de grad $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ . Pentru ipoteza inductivă $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ are cel mult $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ rădăcini distincte. Pe de altă parte, dacă $p(x)=0$ ${\ displaystyle p (x) = 0}$ $p (x) = 0$ asa de $(x-a)=0$ ${\ displaystyle (xa) = 0}$ $(x-a) = 0$ sau $q(x)=0$ ${\ displaystyle q (x) = 0}$ $q (x) = 0$ : de aici o rădăcină de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sau este rădăcină de $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . Prin urmare $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ are cel mult $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini.

Din nou folosind teorema lui Ruffini, vedem asta $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ are $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini dacă și numai dacă putem scrie

p(x)=(x-a_{1})\cdots (x-a_{n})

{\ displaystyle p (x) = (x-a_ {1}) \ cdots (x-a_ {n})}

p (x) = (x-a_ {1}) \ cdots (x-a_ {n})

unde este $a_{1},\dots ,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n}}$ $a_ {1}, \ dots, a_ {n}$ sunt numere reale distincte (rădăcinile $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ).

Rădăcini multiple și valoarea derivatei
Teorema lui Ruffini ne permite să observăm cu ușurință că dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este o rădăcină cu multiplicitate mai mare de 1, atunci derivata polinomului dispare în $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ,acesta este $p^{\prime }(a)=0$ ${\ displaystyle p ^ {\ prime} (a) = 0}$ $p ^ {{\ prime}} (a) = 0$ . Observați doar că polinomul se descompune ca $p(x)=(x-a)^{2}q(x)$ ${\ displaystyle p (x) = (xa) ^ {2} q (x)}$ $p (x) = (x-a) ^ {2} q (x)$ și că, calculând derivata, obținem un multiplu polinomial al lui $(x-a)$ ${\ displaystyle (xa)}$ $(x-a)$

Ecuaţie $p(x)=b$ ${\ displaystyle p (x) = b}$ $p (x) = b$ (cu $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ polinom de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ )
Ecuația este echivalentă cu $p(x)-b=0$ ${\ displaystyle p (x) -b = 0}$ $p (x) -b = 0$ . Atâta timp cât $p(x)-b$ ${\ displaystyle p (x) -b}$ $p (x) -b$ este un polinom de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , ecuația admite întotdeauna n rădăcini (ținând cont de rădăcini multiple). Este posibil să se demonstreze că există cel mult $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ valori ale $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ deci ecuația admite rădăcini multiple (echivalent: ele există cel mult $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ valori ale $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ deci imaginea contra $p^{-1}(b)$ ${\ displaystyle p ^ {- 1} (b)}$ $p ^ {{- 1}} (b)$ are o cardinalitate mai mică decât $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ).

Dovada folosește cele de mai sus cu privire la faptul că dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este o rădăcină cu multiplicitate mai mare de 1, apoi derivata $p^{\prime }(a)$ ${\ displaystyle p ^ {\ prime} (a)}$ $p ^ {{\ prime}} (a)$ anulezi.

Rădăcini de polinoame reale

Determinarea completă

Un polinom într-o variabilă cu coeficienți reali poate fi interpretat ca o anumită funcție $p:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle p: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $p: {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}}$ . Studiul rădăcinilor unui dat $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ a fost întotdeauna o problemă centrală în dezvoltarea matematicii , ceea ce înseamnă rezolvarea ecuației $p(x)=0$ ${\ displaystyle p (x) = 0}$ $p (x) = 0$ , gradul căruia este egal cu gradul de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Teorema lui Niels Henrik Abel și Paolo Ruffini afirmă că nu există întotdeauna formule analoage pentru ecuații de grad mai mari decât a patra, deci este necesar ajutorul teoriei grupurilor. Unele dintre acestea, cu toate acestea, pot fi urmărite înapoi cu Regula lui Ruffini la ecuații de grad mai mici sau egale cu a patra, pentru care soluția sub formă de radical există întotdeauna.

Determinarea parțială

Criteriul Descartes găsește numărul maxim de rădăcini reale pozitive și / sau negative ale unui polinom de grad finit.
În schimb, criteriul Routh-Hurwitz găsește numărul de rădăcini reale pozitive și / sau negative ale unui polinom de grad finit.
Criteriul juriului stabilește dacă un polinom de grad finit are rădăcini de modul mai mici decât una.

Polinoame simple remarcabile

Un polinom cu coeficienți reali de grad impar are întotdeauna o rădăcină reală, în timp ce există polinoame de grad par (arbitrar ridicat) care nu au. În special:

un polinom de gradul întâi are întotdeauna o rădăcină reală;
un polinom de gradul doi are două rădăcini reale dacă discriminantul este strict pozitiv, două coincidente dacă este nul, două conjugate complexe dacă este negativ;
un polinom de gradul trei are 1 sau 3 rădăcini reale.

Polinoame și rădăcini complexe

Un polinom real poate să nu aibă rădăcini: de exemplu $p(x)=x^{2}+1$ ${\ displaystyle p (x) = x ^ {2} +1}$ $p (x) = x ^ {2} +1$ nu are, pentru că $x^{2}\geq 0$ ${\ displaystyle x ^ {2} \ geq 0}$ $x ^ {2} \ geq 0$ pentru fiecare $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in \ mathbb {R}$ . Din acest motiv au fost introduse numere complexe , care satisfac multe proprietăți care lipsesc din numerele reale. Văzut în câmpul numerelor complexe, același polinom $p(x)=x^{2}+1$ ${\ displaystyle p (x) = x ^ {2} +1}$ $p (x) = x ^ {2} +1$ are două rădăcini: $\pm i$ ${\ displaystyle \ pm i}$ $\ pm i$ .

Teorema fundamentală a algebrei afirmă de fapt că orice polinom $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ cu coeficienți complexi are cel puțin o rădăcină (câmpul complex este închis algebric ). Folosind teorema lui Ruffini ca mai sus, se arată ca o consecință că $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ poți scrie oricând ca.

p(x)=(x-a_{1})\cdots (x-a_{n})

{\ displaystyle p (x) = (x-a_ {1}) \ cdots (x-a_ {n})}

p (x) = (x-a_ {1}) \ cdots (x-a_ {n})

unde este $a_{1},\dots ,a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n}}$ $a_ {1}, \ dots, a_ {n}$ sunt numere complexe care nu sunt neapărat distincte.

Determinarea numerică

Același subiect în detaliu: calcularea unui zero dintr-o funcție .

Pentru a calcula zerourile funcțiilor non-polinomiale, ajută analiza numerică , care a dezvoltat diverse metode iterative care, deși nu furnizează valoarea exactă a punctului, îl abordează cu aproximări acceptabile. Principalele metode sunt:

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică