Rădăcina pătrată a unei matrice

În matematică , prin rădăcina pătrată a unei matrice pătrate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ne referim la orice matrice pătrată $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât pătratul său este $X\cdot X=A$ ${\ displaystyle X \ cdot X = A}$ $X \ cdot X = A$ . În general, o matrice nu are o singură rădăcină pătrată.

Procedura numerică

Un proces de obținere dintr-o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o rădăcină pătrată a acesteia este cea numită iterație pentru rădăcina pătrată Denman-Beavers . Să se dea matricea pătrată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ in marime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , și vrei să obții $A^{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ frac {1} {2}}}$ $A ^ {{{\ frac {1} {2}}}}$ . Procedura iterativă utilizează o succesiune de perechi de matrice $\langle Y_{i},Z_{i}\rangle$ ${\ displaystyle \ langle Y_ {i}, Z_ {i} \ rangle}$ $\ langle Y_ {i}, Z_ {i} \ rangle$ . Ei se definesc:

Y_{0}:=A{\mbox{ e }}Z_{0}:=I

{\ displaystyle Y_ {0}: = A {\ mbox {e}} Z_ {0}: = I}

Y_ {0}: = A {\ mbox {e}} Z_ {0}: = I

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ denotă matricea identității $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ . Procedăm pentru un număr adecvat de iterații definite de:

Y_{k+1}:=(Y_{k}+Z_{k}^{-1})/2\qquad Z_{k+1}:=(Z_{k}+Y_{k}^{-1})/2

{\ displaystyle Y_ {k + 1}: = (Y_ {k} + Z_ {k} ^ {- 1}) / 2 \ qquad Z_ {k + 1}: = (Z_ {k} + Y_ {k} ^ {-1}) / 2}

Y _ {{k + 1}}: = (Y_ {k} + Z_ {k} ^ {{- 1}}) / 2 \ qquad Z _ {{k + 1}}: = (Z_ {k} + Y_ {k} ^ {{- 1}}) / 2

Se constată că:

\lim _{k\rightarrow +\infty }Y_{k}=A^{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ rightarrow + \ infty} Y_ {k} = A ^ {\ frac {1} {2}}}

\ lim _ {{k \ rightarrow + \ infty}} Y_ {k} = A ^ {{{\ frac {1} {2}}}}

În unele cazuri, o procedură mai eficientă pentru obținerea $A^{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ frac {1} {2}}}$ $A ^ {{{\ frac {1} {2}}}}$ este următorul: se construiește matricea $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ale căror coloane sunt constituite din vectorii proprii ai matricei date $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Apoi se găsește matricea $V^{-1}$ ${\ displaystyle V ^ {- 1}}$ $V ^ {{- 1}}$ invers de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și calculăm:

D:=V^{-1}AV

{\ displaystyle D: = V ^ {- 1} AV}

D: = V ^ {{- 1}} AV

Aceasta este o matrice diagonală ale cărei elemente diagonale sunt valorile proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Înlocuiește fiecare element diagonal al $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ cu rădăcina sa pătrată pentru a obține matricea ${\sqrt {D}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {D}}}$ ${\ sqrt {D}}$ și obținem matricea necesară ca:

{\sqrt {A}}=V{\sqrt {D}}V^{-1}

{\ displaystyle {\ sqrt {A}} = V {\ sqrt {D}} V ^ {- 1}}

{\ sqrt {A}} = V {\ sqrt {D}} V ^ {{- 1}}

Cu calculatorul grafic de astăzi, această procedură este, în general, mai eficientă decât cea precedentă. Această abordare este fezabilă numai pentru matricele diagonalizabile . Pentru matricile care nu sunt diagonalizabile, este posibil să se procedeze cu o descompunere Jordan combinată cu o expansiune în serie similară cu cea descrisă pentru logaritmul unei matrice .

Soluție explicită pentru matrici 2 × 2

Pentru teorema Hamilton-Cayley o matrice generică $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ 2 × 2 satisface polinomul caracteristic :

x^{2}-\mathrm {tr} (A)x+\det(A)

{\ displaystyle x ^ {2} - \ mathrm {tr} (A) x + \ det (A)}

x ^ {2} - {\ mathrm {tr}} (A) x + \ det (A)

acesta este:

A^{2}-\mathrm {tr} (A)A+\det(A)I=0

{\ displaystyle A ^ {2} - \ mathrm {tr} (A) A + \ det (A) I = 0}

A ^ {2} - {\ mathrm {tr}} (A) A + \ det (A) I = 0

Indicând pentru concizie $\mathrm {tr} (A)$ ${\ displaystyle \ mathrm {tr} (A)}$ ${\ mathrm {tr}} (A)$ cu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ Și $\det(A)$ ${\ displaystyle \ det (A)}$ $\ det (A)$ cu $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ avem:

A^{2}-tA+dI=0

{\ displaystyle A ^ {2} -tA + dI = 0}

A ^ {2} -tA + dI = 0

Mutarea termenului intermediar la al doilea membru și completarea pătratului oferă:

A^{2}\pm 2{\sqrt {d}}A+dI=tA\pm 2{\sqrt {d}}A

{\ displaystyle A ^ {2} \ pm 2 {\ sqrt {d}} A + dI = tA \ pm 2 {\ sqrt {d}} A}

A ^ {2} \ pm 2 {\ sqrt {d}} A + dI = tA \ pm 2 {\ sqrt {d}} A

adică:

\left(A\pm {\sqrt {d}}I\right)^{2}=\left(t\pm 2{\sqrt {d}}\right)A

{\ displaystyle \ left (A \ pm {\ sqrt {d}} I \ right) ^ {2} = \ left (t \ pm 2 {\ sqrt {d}} \ right) A}

\ left (A \ pm {\ sqrt {d}} I \ right) ^ {2} = \ left (t \ pm 2 {\ sqrt {d}} \ right) A

Extragând rădăcina pătrată pe ambele părți obținem (apare un radical dublu ):

\pm \left(A\pm {\sqrt {d}}I\right)={\sqrt {t\pm 2{\sqrt {d}}}}{\sqrt {A}}

{\ displaystyle \ pm \ left (A \ pm {\ sqrt {d}} I \ right) = {\ sqrt {t \ pm 2 {\ sqrt {d}}}} {\ sqrt {A}}}

\ pm \ left (A \ pm {\ sqrt {d}} I \ right) = {\ sqrt {t \ pm 2 {\ sqrt {d}}}} {\ sqrt {A}}

din care obținem:

{\sqrt {A}}=\pm {\frac {A\pm {\sqrt {d}}I}{\sqrt {t\pm 2{\sqrt {d}}}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {A}} = \ pm {\ frac {A \ pm {\ sqrt {d}} I} {\ sqrt {t \ pm 2 {\ sqrt {d}}}}}}

{\ sqrt {A}} = \ pm {\ frac {A \ pm {\ sqrt {d}} I} {{\ sqrt {t \ pm 2 {\ sqrt {d}}}}}}

Rețineți că semnul $\pm$ ${\ displaystyle \ pm}$ $\ pm$ care apare înainte ca fracția să fie independentă de celelalte două, care în schimb sunt dependente una de cealaltă. Numărul total de rădăcini pătrate ale unei matrice pătrate $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ este deci $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ , iar dintre acestea cel cu toate cele trei semne pozitive este rădăcina principală. Cu alte cuvinte:

{\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a+{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d+{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}}} _ {1} = {\ frac {1} {\ sqrt {a + d + 2 { \ sqrt {ad -bc}}}} {\ begin {pmatrix} a + {\ sqrt {ad-bc}} & b \\ c & d + {\ sqrt {ad-bc}} \\\ end { pmatrix}}}

{\ sqrt {{\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}}}} _ {{1}} = {\ frac {1} {{\ sqrt {a + d + 2 {\ sqrt {ad-bc}}}}}} {\ begin {pmatrix} a + {\ sqrt {ad-bc}} & b \\ c & d + {\ sqrt {ad-bc}} \\ \ end {pmatrix}}

{\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a-{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d-{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}}} _ {2} = {\ frac {1} {\ sqrt {a + d-2 { \ sqrt {ad -bc}}}} {\ begin {pmatrix} a - {\ sqrt {ad-bc}} & b \\ c & d - {\ sqrt {ad-bc}} \\\ end { pmatrix}}}

{\ sqrt {{\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}}}} _ {{2}} = {\ frac {1} {{\ sqrt {a + d- 2 {\ sqrt {ad-bc}}}}}} {\ begin {pmatrix} a - {\ sqrt {ad-bc}} & b \\ c & d - {\ sqrt {ad-bc}} \\ \ end {pmatrix}}

{\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{3}=-{\frac {1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a+{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d+{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}}} _ {3} = - {\ frac {1} {\ sqrt {a + d + 2 {\ sqrt {ad-bc}}}}} {\ begin {pmatrix} a + {\ sqrt {ad-bc}} & b \\ c & d + {\ sqrt {ad-bc}} \\\ end {pmatrix}}}

{\ sqrt {{\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}}}} _ {{3}} = - {\ frac {1} {{\ sqrt {a + d + 2 {\ sqrt {ad-bc}}}}}} {\ begin {pmatrix} a + {\ sqrt {ad-bc}} & b \\ c & d + {\ sqrt {ad-bc}} \ \\ end {pmatrix}}

{\sqrt {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}_{4}=-{\frac {1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {ad-bc}}}}}{\begin{pmatrix}a-{\sqrt {ad-bc}}&b\\c&d-{\sqrt {ad-bc}}\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}}} _ {4} = - {\ frac {1} {\ sqrt {a + d-2 {\ sqrt {ad-bc}}}}} {\ begin {pmatrix} a - {\ sqrt {ad-bc}} & b \\ c & d - {\ sqrt {ad-bc}} \\\ end {pmatrix}}}

{\ sqrt {{\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {pmatrix}}}} _ {{4}} = - {\ frac {1} {{\ sqrt {a + d -2 {\ sqrt {ad-bc}}}}}} {\ begin {pmatrix} a - {\ sqrt {ad-bc}} & b \\ c & d - {\ sqrt {ad-bc}} \ \\ end {pmatrix}}

Bibliografie

( FR ) Bourbaki, Nicolas (2007), Théories spectrales , chapitres 1 și 2, Springer, ISBN 3540353313
(EN) Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham, Charles S. Kenney și Alan J. Laub, „ Aproximarea logaritmului unei matrici la precizia specificată, depusă la 3 septembrie 2006 în arhiva Internet .” SIAM Journal on Matrix Analysis and Aplicații, vol. 22 (2001), nr. 4, pp. 1112-1125.
( EN ) Higham, Nicholas (2008), Funcțiile matricilor. Teorie și calcul , SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7
(EN) Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1994), Topics in Matrix Analysis , Cambridge University Press, ISBN 0521467136
(EN) Rudin, Walter (1991), Analiza funcțională, Seria internațională în matematică pură și aplicată (ediția a doua), McGraw-Hill, ISBN 0070542368

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema