Raza (geometrie)

Raza unui cerc

Raza (r) și diametrul (d) unei sfere.

Conform definiției moderne a geometriei, raza unui cerc sau a unei sfere este un segment de linie având un capăt pe circumferință sau suprafață sferică și celălalt capăt în centrul figurii. Prin extensie, raza unui cerc sau a unei sfere este definită și ca lungimea unui astfel de segment. Raza măsoară jumătate din diametru .

Mai general - în geometrie , inginerie , teoria graficelor și multe alte câmpuri - raza a ceva (de exemplu, a unui cilindru , grafic sau componentă mecanică) este distanța punctelor sale cele mai exterioare de centru sau axă.

Definiția razei dată pentru cercuri și sfere se extinde în mod natural la cazul hiperspațiilor cu mai mult de trei dimensiuni. În general, un segment care unește un punct al unei hipersfere cu centrul său este o rază a hipersferei.

Într-o spirală , raza este o funcție a unghiului . Toate circumferințele sunt comparabile cu spiralele cu o rază constantă.

Formule pentru cercuri

Raza de la diametru

Raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a unui cerc având un diametru $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ Și

R={\frac {d}{2}}.

{\ displaystyle R = {\ frac {d} {2}}.}

{\ displaystyle R = {\ frac {d} {2}}.}

Raza de la circumferință

Raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a unui cerc având o circumferință $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și

R={\frac {C}{2\pi }}.

{\ displaystyle R = {\ frac {C} {2 \ pi}}.}

{\ displaystyle R = {\ frac {C} {2 \ pi}}.}

Raza cercului

Raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a unui cerc având suprafață $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și

R={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}.

{\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {A} {\ pi}}}.}

{\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {A} {\ pi}}}.}

Raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a circumferinței care traversează trei puncte necolineare $P_{1},P_{2},P_{3}$ ${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$ ${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$ este dat de

R={\frac {|{\vec {OP_{1}}}-{\vec {OP_{3}}}|}{2\sin \theta }},

{\ displaystyle R = {\ frac {| {\ vec {OP_ {1}}} - {\ vec {OP_ {3}}} |} {2 \ sin \ theta}},}

{\ displaystyle R = {\ frac {| {\ vec {OP_ {1}}} - {\ vec {OP_ {3}}} |} {2 \ sin \ theta}},}

unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul $\angle P_{1}P_{2}P_{3}.$ ${\ displaystyle \ angle P_ {1} P_ {2} P_ {3}.}$ ${\ displaystyle \ angle P_ {1} P_ {2} P_ {3}.}$ Formula este calculată folosind teorema sinusului .

Cu referire la figura din dreapta, aceeași rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ se poate exprima și după cum urmează:

R={\frac {a}{2\sin \alpha }},

{\ displaystyle R = {\ frac {a} {2 \ sin \ alpha}},}

{\ displaystyle R = {\ frac {a} {2 \ sin \ alpha}},}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ indică lungimea segmentului final $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.,$ ${\ displaystyle C,}$ ${\ displaystyle C,}$ in timp ce $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este unghiul $\angle BAC.$ ${\ displaystyle \ angle BAC.}$ ${\ displaystyle \ angle BAC.}$

Prin urmare, dacă luăm în considerare trei puncte coordonate $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})}$ Și $(x_{3},y_{3}),$ ${\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3}),}$ ${\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3}),}$ raza circumferinței care le traversează este dată de:

R={\frac {\sqrt {((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2})((x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2})((x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2})}}{2|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}|}}.

{\ displaystyle R = {\ frac {\ sqrt {((x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}) ((x_ {2 } -x_ {3}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {3}) ^ {2}) ((x_ {3} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {3} -y_ {1}) ^ {2})}} {2 | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3 } -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} |}}.}

{\ displaystyle R = {\ frac {\ sqrt {((x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}) ((x_ {2 } -x_ {3}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {3}) ^ {2}) ((x_ {3} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {3} -y_ {1}) ^ {2})}} {2 | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3 } -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} |}}.}

Raza elipsei

Același subiect în detaliu: Elipsă .

Același subiect în detaliu: Semiaxis major , Semiaxis minor și Excentricitate .

Raza medie $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a unei elipse este definită ca raza unui cerc de suprafață (suprafață) egală cu cea a elipsei.

Este egal cu rădăcina pătrată a produsului celor două jumătăți ale elipsei:

R={\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}.

{\ displaystyle R = {\ sqrt {ab}} = a {\ sqrt [{4}] {1-e ^ {2}}}.}

{\ displaystyle R = {\ sqrt {ab}} = a {\ sqrt [{4}] {1-e ^ {2}}}.}

Cercul principal al unei elipse este definit ca cercul cu un centru în centrul elipsei și o rază $la,$ ${\ displaystyle a,}$ ${\ displaystyle a,}$ egală cu axa semi-majoră a elipsei.

Cercul secundar al unei elipse este definit ca cercul cu un centru în centrul elipsei și o rază $b,$ ${\ displaystyle b,}$ ${\ displaystyle b,}$ egală cu axa semi-minoră a elipsei.

Raza poligonului

Raza unui poligon regulat este segmentul care unește centrul cu unul dintre vârfurile sale. Prin urmare, lungimea acestui segment este egală cu raza circumferinței circumscrise a poligonului.

Raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a unui poligon de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturile în lungime $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ fiecare, este dată de:

R={\sqrt {\frac {(a_{n})^{2}}{2-2\cos(2\pi /n)}}}={\frac {a_{n}}{2\sin(\pi /n)}}.

{\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {(a_ {n}) ^ {2}} {2-2 \ cos (2 \ pi / n)}}} = {\ frac {a_ {n}} { 2 \ sin (\ pi / n)}}.}

{\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {(a_ {n}) ^ {2}} {2-2 \ cos (2 \ pi / n)}}} = {\ frac {a_ {n}} { 2 \ sin (\ pi / n)}}.}

Raza în funcție de lungimea apotemei $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , este dat de:

R={\frac {h}{\cos(\pi /n)}}.

{\ displaystyle R = {\ frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}.}

{\ displaystyle R = {\ frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}.}

Colectând toate constantele (în prima dintre cele două formule), putem scrie că raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a poligonului este $R=R(a_{n},n)$ ${\ displaystyle R = R (a_ {n}, n)}$ ${\ displaystyle R = R (a_ {n}, n)}$ , și este dat de $R=r_{n}a_{n},$ ${\ displaystyle R = r_ {n} a_ {n},}$ ${\ displaystyle R = r_ {n} a_ {n},}$ cu $r_{n}=1/\left(2\sin {\frac {\pi }{n}}\right).$ ${\ displaystyle r_ {n} = 1 / \ left (2 \ sin {\ frac {\ pi} {n}} \ right).}$ ${\ displaystyle r_ {n} = 1 / \ left (2 \ sin {\ frac {\ pi} {n}} \ right).}$

Aceasta duce la tabelul următoarelor numere fixe:

{\begin{array}{r|ccr|c}n&r_{n}&&n&r_{n}\\\hline 2&0,50000000&&10&1,6180340-\\3&0,5773503-&&11&1,7747328-\\4&0,7071068-&&12&1,9318517-\\5&0,8506508+&&13&2,0892907+\\6&1,00000000&&14&2,2469796+\\7&1,1523824+&&15&2,4048672-\\8&1,3065630-&&16&2,5629154+\\9&1,4619022+&&17&2,7210956-\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {r | ccr | c} n & r_ {n} && n & r_ {n} \\\ hline 2 & 0,50000000 && 10 & 1,6180340 - \\ 3 & 0 , 5773503 - && 11 & 1,7747328 - \\ 4 & 0,7071068- && 12 & 1,9318517 - \\ 5 & 0,8506508 + && 13 & 2,0892907 + \\ 6 & 1,00000000 && 14 & 2,2469796 + \\ 7 & 1,1523824 + && 15 & 2,4048672 - \\ 8 & 1,3065630 - && 16 & 2,5629154 + \\ 9 & 2 & 1,46190 7210956- \ end {array} }}

{\ displaystyle {\ begin {array} {r | ccr | c} n & r_ {n} && n & r_ {n} \\\ hline 2 & 0,50000000 && 10 & 1,6180340 - \\ 3 & 0 , 5773503 - && 11 & 1,7747328 - \\ 4 & 0,7071068- && 12 & 1,9318517 - \\ 5 & 0,8506508 + && 13 & 2,0892907 + \\ 6 & 1,00000000 && 14 & 2,2469796 + \\ 7 & 1,1523824 + && 15 & 2,4048672 - \\ 8 & 1,3065630 - && 16 & 2,5629154 + \\ 9 & 2 & 1,46190 7210956- \ end {array} }}

care, cunoscut lungimea și numărul laturilor, permite calcularea razei poligonului.

Raza unui hipercub

Raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a unui hipercub $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ -dimensional și lateral $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ , Și: