Dovadă prin absurditate

« Reductio ad absurdum , atât de iubit de Euclid , este una dintre cele mai frumoase arme ale unui matematician. Este un joc mult mai rafinat decât orice joc de șah : un jucător de șah poate oferi un pion sau chiar o altă piesă ca sacrificiu , dar matematicianul oferă jocul. "

( Godfrey Harold Hardy , Apologia unui matematician , Garzanti )

Dovada prin absurditate (pentru care se folosește și sintagma latină reductio ad absurdum ), cunoscută și sub denumirea de raționament prin absurditate , este un tip de argument logic în care, pornind de la negarea tezei pe care se intenționează să o susțină și să o facă să urmeze un succesiune de pasaje logico-deductive, se ajunge la o concluzie inconsistentă și contradictorie. Acest rezultat, în logica argumentului, ar confirma ipoteza inițială, prin falsificarea negării sale. Este una dintre principalele forme de dovadă matematică .

Filozofie

Această metodă logică foloseșteprincipiul terțului exclus ( tertium non datur ), care declară că o propoziție care nu poate fi falsă trebuie presupusă a fi adevărată, deoarece nu există o a treia posibilitate.

Teorizarea sa a venit mult mai târziu decât utilizarea frecventă pe care gânditorii antici o făceau pentru a-și dovedi tezele ( Zenon , Euclid până la filozofii scolastici ); metoda clasică de epuizare a explorat toate cazurile posibile, dar nu a fost foarte fructuoasă în noile descoperiri care au avut loc într-un alt mod și apoi teoretizate de descoperitorii lor: a fost deci abandonată în timpurile moderne.

Folosit și în matematică , ia numele de dovadă prin absurditate, care se obține prin demonstrarea consecințelor false care derivă din ipoteze sau premise eronate.

Exemple în filozofie și în raționamentul cotidian

O dovadă absurdă poate fi făcută pentru a susține multe teze. Luați în considerare următorul dialog, de exemplu.

A - Ar trebui să respectați convingerile lui C, deoarece toate convingerile au o valabilitate egală și nu pot fi respinse.

B - Să presupunem că ai dreptate; dar atunci, dacă spun că există credințe de respins, este a mea o credință de respins? Dacă toate convingerile trebuie acceptate ca la fel de valabile, atunci ale mele nu pot fi respinse. Rezultă atunci că este la fel de valabil că este corect să accepți toate credințele și că este corect să nu accepți unele dintre ele: cele două afirmații sunt în contrast una cu cealaltă, prin urmare o ipoteză generează o contradicție; apoi rezultă că ipoteza ta este falsă. În special, există credințe care pot fi respinse și cea a lui C ar putea fi printre ele.

Iată un alt exemplu de dovadă a absurdității.

A - În opinia mea, totul este posibil.

B - Dacă totul este posibil, atunci este posibil să demonstrezi că afirmația ta este falsă. Acest lucru generează o contradicție, deci nu totul este posibil.

(Afirmația lui A presupune că totul este adevărat și fals, deci dovada lui B este nevalidă.)

Argumentul corect este următorul:

B - Dacă totul este posibil, atunci nimic nu este imposibil, de aceea este imposibil ca ceva să fie imposibil. Dar dacă este imposibil ca ceva să fie imposibil, atunci ceva este imposibil! Acest lucru generează o contradicție, deci nu totul este posibil.

În matematică (logică)

Să presupunem că trebuie să dovedim că propoziția p este adevărată.

Procedura constă în a arăta că presupunând că p este fals duce la o contradicție logică. Prin urmare, p nu poate fi fals și, prin urmare, conform legii terțului exclus, trebuie să fie adevărat.

Pentru a da un exemplu simplu, luați în considerare propoziția "nu există un număr rațional minim dintre cei mai mari decât zero". Într-o dovadă absurdă, am începe să presupunem contrariul: că există un număr rațional pozitiv minim, să zicem, r ₀ .

Acum să setăm x = r _0/2 . Se pare că x este un număr rațional și este mai mare decât zero; și x este mai mic decât r ₀ . Dar acest lucru este absurd - contrazice ipoteza noastră inițială conform căreia r _{0 a} fost cel mai mic număr rațional pozitiv. Prin urmare, putem concluziona că propoziția originală trebuie să fie adevărată - „nu există un număr rațional minim dintre cele mai mari decât zero”.

Nu este mai puțin frecvente de a utiliza acest tip de argument cu propuneri de genul celei de mai sus, cu privire la existența unor non - obiect matematic. Se presupune că un astfel de obiect există și astfel se arată că acest lucru ar duce la o contradicție; de aceea, un astfel de obiect nu poate exista. Alte exemple sunt, dovada iraționalității rădăcinii pătrate a doi și argumentul diagonal al lui Cantor .

Este important de reținut că, pentru ca dovada să conducă la concluzii valide, trebuie demonstrat că, având în vedere o propoziție p , opusul său „nu p ” (adică faptul că p este fals) implică un rezultat care este absolut fals în sistemul matematic folosit. Pericolul este legat de inconsecvența logică a argumentelor care decurg din lipsa evaluării, adică din situațiile în care se dovedește că „nu p ” implică o proprietate „ q ” care pare falsă, dar a cărei falsitate nu este într-adevăr dovedită definitiv. Exemple tradiționale (dar incorecte!) Ale acestei inconsecvențe sunt demonstrațiile eronate ale celui de-al cincilea postulat al lui Euclid (așa-numitul postulat al liniei paralele ) din celelalte postulate. Motivul pentru care aceste dovezi nu pot fi considerate exemple reale ale acestei inconsecvențe este că noțiunea de dovadă matematică era diferită în secolul al XIX-lea ; Geometria euclidiană a fost privită ca o reflectare reală a realității fizice și, prin urmare, a fost acceptabilă deducerea unei contradicții prin concluzia unui rezultat imposibil din punct de vedere fizic (cum ar fi suma unghiurilor unui triunghi care nu este egală cu 180 de grade). Îndoielile cu privire la natura geometriei universului au determinat, printre alții, matematicieni precum Gauss , Lobačevskij , Riemann , Bolyai să extindă definiția geometriei pentru a include toate geometriile neeuclidiene . Pentru discuții suplimentare despre aceste neînțelegeri, vezi Morris Kline , Gândirea matematică: de la vremuri antice la moderne .

Deși este frecvent utilizat în demonstrații matematice, nu toate școlile matematice de gândire acceptă dovada absurdului ca fiind universal valabilă. În școli precum intuiționismul ,principiul terțului exclus nu este acceptat ca fiind adevărat. Conform acestui mod de gândire, există o diferență foarte semnificativă între a demonstra că ceva există prin faptul că ar fi absurd dacă nu ar exista și a demonstra că ceva există construind un exemplu real al unui astfel de obiect.

În logica matematică , dovada prin absurd este reprezentată ca:

de sine

S\cup \{\neg p\}\vdash F

{\ displaystyle S \ cup \ {\ neg p \} \ vdash F}

S \ cup \ {\ neg p \} \ vdash F

asa de

S\vdash p

{\ displaystyle S \ vdash p}

S \ vdash p

Mai sus, p este propoziția pe care dorim să o dovedim, iar S este un set de propoziții care sunt considerate adevărate; acestea ar putea fi, de exemplu, axiomele teoriei la care lucrăm sau teoreme dovedite anterior. Să luăm în considerare negarea lui p împreună cu S ; dacă acest lucru duce la contradicția logică F , putem concluziona că propozițiile S conduc la deducerea p .

Rețineți că operațiunea setată a uniunii , în unele contexte strâns legate de disjuncția incluzivă (sau), este utilizată aici pentru seturi de propoziții, astfel încât să fie mai concentrată pe conjuncția logică (și).

În termeni echivalenți cu logica matematică, în logica propozițională , reducerea la absurd este schematizată după cum urmează:

{\mathcal {P}}\rightarrow {\mathcal {Q}},{\mathcal {P}}\rightarrow {\mathcal {\neg }}Q\vdash \neg P

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ rightarrow {\ mathcal {Q}}, {\ mathcal {P}} \ rightarrow {\ mathcal {\ neg}} Q \ vdash \ neg P}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ rightarrow {\ mathcal {Q}}, {\ mathcal {P}} \ rightarrow {\ mathcal {\ neg}} Q \ vdash \ neg P}

Se demonstrează prin asumarea celor două premise ${\mathcal {P}}\rightarrow {\mathcal {Q}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ rightarrow {\ mathcal {Q}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ rightarrow {\ mathcal {Q}}}$ Și ${\mathcal {P}}\rightarrow {\mathcal {\neg }}Q$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ rightarrow {\ mathcal {\ neg}} Q}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ rightarrow {\ mathcal {\ neg}} Q}$ , aplicându-se atât regulii modus ponendo ponens a deriva ${\mathcal {Q}}\land {\mathcal {\neg }}Q$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} \ land {\ mathcal {\ neg}} Q}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} \ land {\ mathcal {\ neg}} Q}$ , o expresie care încalcă principiul non-contradicției și, prin urmare, nu poate fi adevărată, din care derivă adevărul negării lui P.

Cu alte cuvinte, o ipoteză suplimentară se adaugă ipotezelor teoremei, care este negarea tezei. Contradicția rezultată ne obligă să negăm ipoteza suplimentară, adică să negăm negarea tezei. Pentru regula dublei negații , aceasta este echivalentă cu afirmarea tezei în sine. Pasajul este omis în general în dovadă: contradicția este urmată de linia în care este enunțată teza.
Fără a aduce atingere aplicării tautologice a tezei pe care a fost intenționată să o demonstreze, ultimul pas presupune implicit adevărul principiului aristotelic al non-contradicției .