Rang (algebră liniară)

În matematică , în special în algebra liniară , rangul (sau caracteristica ) unei matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ valorile dintr-un anumit câmp reprezintă numărul maxim de rânduri (sau coloane) liniar independente $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Rangul unei matrici poate fi formulat în numeroase moduri echivalente și este o cantitate fundamentală în algebră liniară, utilă pentru rezolvarea sistemelor liniare și studierea aplicațiilor liniare . De obicei este menționat cu $\operatorname {rango} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {rango} (A)}$ $\ operatorname {rango} (A)$ , $\operatorname {rg} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {rg} (A)}$ $\ operatorname {rg} (A)$ , $\operatorname {r} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {r} (A)}$ $\ operatorname {r} (A)$ , sau $\rho (A)$ ${\ displaystyle \ rho (A)}$ $\ rho (A)$ , sau cu versiunile în limba engleză $\operatorname {rank} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {rank} (A)}$ $\ operatorname {rank} (A)$ sau $\operatorname {rk} (A)$ ${\ displaystyle \ operatorname {rk} (A)}$ $\ operatorname {rk} (A)$ .

Definiție

Este $A_{m\times n}$ ${\ displaystyle A_ {m \ times n}}$ $A _ {{m \ times n}}$ o matrice , cu valori într-un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Următoarele definiții de rang ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ toate sunt echivalente:

Numărul maxim de coloane liniar independente.
Numărul maxim de rânduri liniar independente.
Dimensiunea subspațiului $K^{m}$ ${\ displaystyle K ^ {m}}$ $K ^ {m}$ generat din coloanele din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
Dimensiunea subspațiului $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ generat din liniile de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
Dimensiunea imaginii liniare a aplicației $L_{A}$ ${\ displaystyle L_ {A}}$ $ACOLO}$ din $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ în $K^{m}$ ${\ displaystyle K ^ {m}}$ ${\ displaystyle K ^ {m}}$ ca urmare a:

L_{A}:x\mapsto Ax

{\ displaystyle L_ {A}: x \ mapsto Ax}

L_ {A}: x \ mapsto Ax

Ordinea maximă a unui inversabil mai mică de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Rangul unei transformări liniare

Un rang poate fi, de asemenea, atribuit unei aplicații liniare generice, definindu-l ca dimensiunea spațiului vector dat de imaginea sa.

Într-o expunere cu scopuri generale generale, o definiție de acest gen are avantajul de a fi aplicabilă fără a fi nevoie să se refere la nicio matrice care reprezintă transformarea. Când, pe de altă parte, ne aflăm într-un domeniu al aplicațiilor concrete, calculul efectiv al rangului unei transformări poate fi foarte rar obținut prin evitarea funcționării pe o matrice.

Proprietățile rangului unei matrice

In ceea ce urmeaza, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , care descrie o hartă liniară $f=L_{A}$ ${\ displaystyle f = L_ {A}}$ $f = L_ {A}$ ca mai sus.

Proprietăți de bază

Numai matricea nulă are rangul 0.
Gradul de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este egal cu rangul transpunerii sale.
Gradul de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este mai mică sau egală cu ambele $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ cea a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Cu alte cuvinte, este mai mic sau egal cu minimul celor două valori

\operatorname {rank} (A)\leq \min\{m,n\}.

{\ displaystyle \ operatorname {rank} (A) \ leq \ min \ {m, n \}.}

\ operatorname {rank} (A) \ leq \ min \ {m, n \}.

Relațiile dintre $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$

$f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este injectiv dacă și numai dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are rang $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (în acest caz se spune că $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are rang maxim de coloană ).
$f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este surjectiv dacă și numai dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are rang $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ (în acest caz se spune că $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are rang maxim pe rând ).
în cazul unei matrice pătrate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (acesta este, $m=n$ ${\ displaystyle m = n}$ $m = n$ ), asa de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inversabil dacă și numai dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are rang $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (și se spune că $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are rang maxim ). Acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este bijectiv .

Produs între matrice

De sine $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o matrice $n\times k$ ${\ displaystyle n \ times k}$ $n \ ori k$ , apoi rangul produsului $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ este mai mic sau egal cu ambele rangul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cea a rangului de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Cu alte cuvinte:

\operatorname {rank} (AB)\leq \min\{\operatorname {rank} (A),\operatorname {rank} (B)\}.

{\ displaystyle \ operatorname {rank} (AB) \ leq \ min \ {\ operatorname {rank} (A), \ operatorname {rank} (B) \}.}

\ operatorname {rank} (AB) \ leq \ min \ {\ operatorname {rank} (A), \ operatorname {rank} (B) \}.

Ca exemplu al cazului „<”, luați în considerare produsul

{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}}

Ambii factori au rangul 1, dar produsul are rangul 0.

De sine $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o matrice $n\times k$ ${\ displaystyle n \ times k}$ $n \ ori k$ cu rang $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , asa de $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ are același rang ca $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
De sine $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este o matrice $l\times m$ ${\ displaystyle l \ times m}$ $l \ ori m$ cu rang $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , asa de $C. LA$ ${\ displaystyle CA}$ $CA$ are același rang ca $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
Gradul de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Este egal cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ dacă și numai dacă există o matrice $m\times m$ ${\ displaystyle m \ times m}$ $m \ times m$ inversabil $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și o matrice $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ inversabil $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ astfel încât

XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle XAY = {\ begin {bmatrix} I_ {r} & 0 \\ 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

XAY = {\ begin {bmatrix} I_ {r} & 0 \\ 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}

unde este

I_{r}

{\ displaystyle I_ {r}}

Eu_ {r}

denotă matricea identității

r\times r

{\ displaystyle r \ times r}

r \ times r

.

Din ultima proprietate deducem că rangul unei matrici este un invariant complet pentru matricile echivalente stânga-dreapta .
Inegalitate Sylvester: dacă A este o matrice m × n și B este o matrice n × k , atunci

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).

{\ displaystyle \ operatorname {rank} (A) + \ operatorname {rank} (B) -n \ leq \ operatorname {rank} (AB).}

\ operatorname {rank} (A) + \ operatorname {rank} (B) -n \ leq \ operatorname {rank} (AB).

Aceasta rezultă din aplicarea teoremei rangului la inegalitate

\dim \operatorname {ker} (AB)\leq \dim \operatorname {ker} (A)+\dim \operatorname {ker} (B).

{\ displaystyle \ dim \ operatorname {ker} (AB) \ leq \ dim \ operatorname {ker} (A) + \ dim \ operatorname {ker} (B).}

\ dim \ operatorname {ker} (AB) \ leq \ dim \ operatorname {ker} (A) + \ dim \ operatorname {ker} (B).

Teorema rangului

Rangul unei matrici plus nulitatea matricii este egal cu numărul de coloane din matrice (aceasta este teorema rangului sau „teorema rangului-nulitate”).

SD-echivalență

Rangul este un invariant complet pentru echivalența stânga-dreapta între matrici : două matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ au același rang dacă și numai dacă există două matrice inversabile $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $A=MBN$ ${\ displaystyle A = MBN}$ $A = MBN$ .

Calcul

Algoritm Gauss

Cel mai simplu mod de a calcula rangul unei matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este dat de algoritmul Gauss . Algoritmul transformă matricea într-o matrice în trepte cu același rang, dat de numărul de rânduri diferite de zero sau echivalent de pivoti . Acest lucru este adevărat de atunci $\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{T})$ ${\ displaystyle \ operatorname {rank} (A) = \ operatorname {rank} (A ^ {T})}$ $\ operatorname {rank} (A) = \ operatorname {rank} (A ^ {T})$ , și efectuează operațiuni pe liniile de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ echivalent cu efectuarea operațiilor pe coloane de $A^{T}$ ${\ displaystyle A ^ {T}}$ $A ^ {T}$ .

De exemplu, luați în considerare matricea $4\times 4$ ${\ displaystyle 4 \ times 4}$ $4 \ ori 4$

A={\begin{bmatrix}2&4&1&3\\-1&-2&1&0\\0&0&2&2\\3&6&2&5\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 \\ - 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 5 \\\ end {bmatrix}}}

A = {\ begin {bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 \\ - 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 5 \\\ end {bmatrix }}

A doua coloană este dublă față de prima coloană, iar a patra coloană este egală cu suma primei și celei de-a treia. Prima și a treia coloană sunt liniar independente, de unde și rangul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ si doi. Acest lucru poate fi confirmat de algoritmul Gauss, care produce următoarea matrice de etape ${LA}^{'}$ ${\ displaystyle A '}$ $LA'$ :

A'={\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A '= {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

A '= {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix} }

cu două linii diferite de zero.

Criteriul minorilor

O altă metodă, în unele cazuri mai directă, exploatează proprietățile determinantului unei matrice pătrate și, în special, a determinanților submatrixelor pătrate ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , numite minori . Se bazează pe faptul că rangul de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este egal cu ordinea maximă a unui inversabil mai mic decât $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

De exemplu, matricea $4\times 4$ ${\ displaystyle 4 \ times 4}$ $4 \ ori 4$ prezentat mai sus are un factor determinant nul și, prin urmare, poate avea rang cel mult 3. De asemenea, toți minorii săi $3\times 3$ ${\ displaystyle 3 \ times 3}$ $3 \ ori 3$ au un determinant nul și, prin urmare, pot avea cel mult 2. În cele din urmă, există cel puțin un inversabil minor de ordinul 2, de exemplu cel din dreapta jos

{\begin{bmatrix}2&2\\2&5\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \ end {bmatrix}}

ceea ce este decisiv $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ . Prin urmare $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are rang exact 2. Acest criteriu poate fi util, de exemplu, pentru a verifica rapid dacă rangul unei matrice este mai mare sau mai mic decât o anumită valoare.

Generalizări

Există mai multe generalizări ale conceptului de rang pentru matrici pe inele arbitrare. În aceste generalizări, rangul coloanei, rangul rândului, dimensiunea spațiului coloanei, dimensiunea spațiului rândului unui tablou pot fi diferite sau nu există.

O altă generalizare se referă la matroizi , entități care generalizează matricile.

Bibliografie

( EN ) Werner Greub (1981): Algebra liniară , ediția a IV-a, Springer Verlag
(EN) Roger A. Horn, Matrix Analysis, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6 .
( EN ) Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [1]

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Kaw, Autar K. Introducere în algebra matricială : vectori [2] și sistem de ecuații [3]
( EN ) Springer - Lecture 33 - Matrix rank , pe link.springer.com .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema