Secțiunea aurie

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Secțiunea aurie
Simbol
Valoare 1.6180339887 ...
(secvența A001622 a OEIS )
Fracție continuă [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]
(secvența A000012 a OEIS)
Împreună numere algebrice iraționale
Constantele corelate Constanta Viswanath
Golden section.png
Segmentul total se află la cel mai lung segment ca acesta din urmă se situează pe segmentul mai scurt :
Dreptunghi auriu.
Cele două laturi ale dreptunghiului sunt între ele în relația definită de secțiunea aurie, precum și cele două segmente (în albastru) e (in rosu).

De fapt, pătratul a fost desenat pe lateral , se identifică punctul de mijloc al bazei și se urmărește segmentul, ca în figură care unește punctul de mijloc cu vârful și care are o lungime egală cu . Segmentul este desenat cu o busolă pe extensia bazei pătratului identificând astfel dreptunghiul de bază și înălțime . Partea bazei dreptunghiului care depășește baza pătratului oferă segmentul .

Secțiunea de aur sau raportul de aur sau numărul de aur sau constanta lui Fidia sau proporția divină , în domeniul artelor figurative și matematică , indică numărul irațional 1,6180339887 ... obținut făcând raportul dintre două lungimi inegale dintre care cu atât mai mare este medie proporțională cu cea mai mică iar suma celor două :

Prin urmare, se aplică următoarele relații:

Luând în considerare doar primul și ultimul membru și luând în considerare definiția putem scrie și

(1)

din care derivă ecuația polinomială cu coeficienți întregi

(2)

Dintre cele două soluții ale ecuației, cea pozitivă (singura admisibilă, fiind o cantitate pozitivă prin definiție) conduce la determinarea valorii secțiunii de aur dată de:

(3)

Secțiunea aurie este deci un număr irațional (adică nu poate fi reprezentată printr-un raport de numere întregi având în vedere prezența în numeratorul lui (3) ) și algebric (adică soluția unei ecuații polinomiale cu coeficienți întregi, astfel cum este demonstrat de (2) ). Poate fi aproximat făcând relația dintre termeni consecutivi a secvenței Fibonacci de care este strâns legată.

Cele două segmente Și poate fi obținut grafic așa cum se arată în figura alăturată. Baza dreptunghiului este egală cu iar înălțimea sa este egală cu : raportul lor conform (3) dă exact secțiunea aurie.

Dacă în (1) înlocuim iterativ numitorul este întregul al doilea membru, de asemenea egal cu obținem fracția continuată :

O altă reprezentare a ca fracție continuă este alcătuită din pătratele numerelor Fibonacci și ariile dreptunghiului auriu :

Proprietățile sale geometrice și matematice și re-prezentarea sa frecventă în diverse contexte naturale și culturale, aparent fără legătură între ele, au stârnit de secole în mintea omului confirmarea existenței unei relații între macrocosmos și microcosmos , între Dumnezeu și om. . , universul și natura : o relație între întreg și parte, între cea mai mare și cea mai mică parte care se repetă la nesfârșit prin subdiviziuni infinite. [1] Mai mulți filozofi și artiști au ajuns să înțeleagă de-a lungul timpului un ideal de frumusețe și armonie, împingându-se să-l caute și, în unele cazuri, să-l recreeze în mediul antropic ca un canon al frumuseții ; mărturie în acest sens este istoria numelui care, în vremuri mai recente, a preluat numele de aur și divin .

fundal

Din punct de vedere istoric, există mai multe întrebări deschise cu privire la dacă și care popoare, înainte de greci , cunoșteau secțiunea de aur și o foloseau în mod conștient în lucrările lor. Cele mai importante cazuri sunt cele legate de babilonieni și egipteni.

Babilon

Unele tablete, raportând calcule de calcul, mărturisesc la babilonieni atât cunoștințe matematice, cât și geometrice, astfel încât să poată obține aproximări bune ale ariei pentagonului și chiar ale pi. Deși lipsesc dovezi definitive ale cunoștințelor lor reale despre secțiunea de aur, savanți eminenți, inclusiv Michael Schneider [2] și Helen Hedian [3] , afirmă prezența sa pe stele și basoreliefuri: unele exemple ar fi o stelă babiloniană și o reprezentare al unei divinități înaripate din secolul al IX-lea î.Hr. (Metropolitan Museum of Art), „ leoaica pe moarte[4] din Ninive (600 î.Hr.).

Egiptul antic

Cercetările privind posibila cunoaștere și utilizare a raportului aur în epoca pre-elenă au vizat și vechii egipteni , cărora literatura din secolul al XIX-lea le-a atribuit cunoștințe matematice avansate, urmele cărora ar fi vizibile și astăzi în rămășițele numeroaselor monumente. . În ceea ce privește raportul auriu, dezbaterea se concentrează pe cazuri mai puțin cunoscute, precum cele ale Osireionului , Mormântul Petosiri și celebra piramidă a lui Keops .

Planul Osireionului cu geometria pentagonală a lui Lawlor

În primul caz ar fi monumentul funerar al regelui Seti I ( dinastia XIX ), adus la lumină în 1901 de Flinders Petrie . În acest sens, Robert Lawlor afirmă că arhitectura camerei cele mai interioare se bazează pe o geometrie pentagonală mistică care conține raportul auriu, care poate fi văzut într-o serie de împletituri geometrice care pot fi extrapolate. Potrivit lui Lawlor, tocmai în interiorul camerei ar fi posibil să se deseneze două pentagone opuse până la epuizarea lungimii, în timp ce lățimea ar conține circumferințele care le pot fi circumscrise; pe acest design ar putea fi apoi obținute cu alte împletituri din care să justifice [ neclar ] prezența celorlalte elemente arhitecturale. [5] În orice caz, aceasta este o interpretare fără nici o urmărire în domeniul academic.

Mormântul lui Petosiri , marele preot al lui Thot , a fost găsit de Gustave Lefebvre la începutul anilor douăzeci și datează din secolul al III-lea î.Hr. , când cunoștințele secțiunii de aur de către greci erau deja atestate. În acest caz, raportul auriu ar fi găsit, din nou de Lawlor însuși [5] , într-un basorelief care descrie îmbălsămarea preotului, tot aici, într-o împletire complicată de semne geometrice care necesită un grad ridicat de abstractizare cu privire la figura să fie plauzibil în intențiile reale ale autorului. [6]

Marea Piramidă

Cu toate acestea, cel mai dezbătut caz referitor la Egipt este prezența secțiunii aurii și a altor proporții particulare [7] în Piramida lui Keops de pe platoul Gizei și singura dintre cele șapte minuni care ne-au ajuns intacte. Mitul ezoteric - numerologic care înconjoară Marea Piramidă s-a născut probabil în urma lucrării lui John Taylor, Marea piramidă: de ce a fost construită și cine a construit-o? ( Marea piramidă: de ce a fost construită și cine a construit-o ), publicată în 1859 și susținută ulterior de savantul, astronomul și egiptologul Charles Piazzi Smyth [8] .

Piramida matematică.svg

În acest caz, raportul auriu ar exista între semilaterala piramidei și înălțimea fațadei triunghiulare care poate fi construită pe ea, ceea ce ar duce la o înclinație teoretică a fațadei egală cu aproximativ 51 ° 49 '. Piramida regală are o înălțime totală de aproximativ 147 m și laturi de 230 m, cu o înclinație a peretelui de 51 ° 50 '35 ", extrem de asemănătoare cu înclinația teoretică și, de fapt, explicând conturile, între semilat și „înălțimea” reală [9] :

Este, de asemenea, de această dată cu o valoare foarte apropiată, decalajul este de aproximativ o jumătate de centimetru față de cel teoretic; un astfel de rezultat ar putea constitui într-adevăr dovada cunoașterii reale de către egipteni a secțiunii de aur, dar ar putea fi și o consecință inconștientă a modului în care a fost construit, deoarece nu există referințe explicite în scrierile lui Herodot . [10]

Diferite măsurători ale dimensiunilor piramidei oferă un rezultat și mai apropiat de rezultatul teoretic. De fapt, având în vedere înălțimea piramidei egală cu 146,6 m și latura de bază de 230,36 m și, prin urmare, semilată de 115,18 m, aplicând teorema lui Pitagora, obținem valoarea raportului 1.6186401742 derivat din 186.434975 (ca rădăcina lui 34758) împărțit până la 115,18. Decalajul față de valoarea teoretică devine o jumătate de milimetru. [ fără sursă ] .

Astronomul britanic John Herschel a scris, citând pe Herodot , că „Piramida [lui Keops] se caracterizează prin proprietatea de a avea fiecare dintre fețele sale egale cu pătratul construit de la înălțime”.

Explicaţie

Relația dintre înălțime a fațadei și semifabricate Este egal cu:

;

și asta pentru că aria triunghiularului ( ) a fațadei este egal cu pătratul înălțimii piramidei .

→ aplicarea teoremei lui Pitagora
→ rearanjarea și împărțirea la

întrucât aceasta este ecuația secțiunii de aur, rezultă că este inerentă unei piramide care a fost realizată conform caracteristicilor indicate de Herodot .

Acum, având în vedere diversele nedumeriri legate de interpretarea corectă a pasajului incriminat, ar fi o explicație alternativă la ipoteza că acesta a fost inserat voluntar și conștiincios în piramida lui Keops.

De fapt piramida măsoară, Și , sunt extraordinar de asemănătoare și ar părea să confirme cotația, dacă nu s-ar confirma definitiv nicăieri.

De fapt, nu se găsește în pasajul din Herodot pe care îl recită

„A durat douăzeci de ani pentru a construi piramida. Este pătrat. Are o față de opt picături pe toate părțile, de înălțime egală. Este realizat din pietre netede și perfect conectate, dintre care niciuna nu măsoară mai puțin de treizeci de metri. "

( Herodot , Istorii , II, 124: 5 [11] )

De fapt, nu există nicio referire la „pătratul înălțimii”, ci doar măsurătorile rezultate din studiile efectuate de Richard Gillings [12] , Roger Fischler și George Markowsky [13] , totuși echivalența substanțială, astfel cum se găsește în interpretarea eronată a pasajul lui Herodot există în dimensiunile piramidei, așa cum a fost evidențiat mai sus, dar probabil și în acest caz trebuie atribuit unor cauze care nu țin de voința proiectantului și poate chiar necunoscute acestuia din urmă.

S-au găsit explicații tehnice legate de metodele de construcție: o propunere a lui Gillings [12] , bazată pe problemele 56 și 60 conținute în celebrul papirus Rhind axat pe seced - o unitate egipteană de măsurare a înclinației suprafețelor laterale - susține că raportul auriu ar proveni din necesitatea tehnică de a menține o anumită înclinație constantă a peretelui pe tot parcursul construcției piramidei; cealaltă, considerată și cea mai fiabilă [14] , oferită de Kurt Mendelssohn [15] conform căreia egiptenii foloseau două unități de măsură diferite: una pentru dimensiunile verticale, coțitul și una pentru cele orizontale, o rolă cu un diametru de cot al cărui circumferință este egală cu pi coți, numărul de aur ar ieși în mod natural din combinația celor două. [16]

Ambele, prin urmare, că prezența secțiunii de aur derivă din încercarea de a construi o piramidă cu particularitățile care i-au fost atribuite de unii din scrierile lui Herodot și că derivă din simple contingențe constructive, pare puțin probabil ca aceasta să provină dintr-o alegerea precisă și deliberată a proiectanților; în esență, nici măcar cea mai importantă dintre pretinsele dovezi ale cunoștințelor sale de către indicii nu găsește explicații alternative capabile să-i explice prezența într-un mod complet fortuit și inconștient.

Perioada greacă

Pentagonul și diagonalele sale

Definiția raportului de aur este stabilită în jurul secolului al VI-lea î.Hr., de școala pitagorică (discipolii și urmașii lui Pitagora ), în sudul Italiei , unde, conform lui Giamblicus [17], a fost descoperită de Hippasus din Metapont , care a asociat conceptul de incomensurabilitate . [18]

Definiția raportului de aur este readusă la studiul pentagonului regulat; pentagonul este un poligon cu 5 laturi în al cărui număr pitagoricii au văzut unirea principiului masculin și feminin (respectiv în suma de 2 cu 3), atât de mult încât să-l considerăm numărul iubirii și al căsătoriei. [19]

Aura magică pe care pitagoricienii o asociau cu numărul 5 și tot ce ține de acesta, a fost, de asemenea, legată de considerații astrologice , în special de planeta Venus , arhetipul iubirii și al vieții, care în drumul său între Pământ și Soare atrage de fapt o stea cu cinci colțuri .

Secțiunea aurie este, de asemenea, strâns legată de geometria pentagonului: în special, raportul auriu este egal cu raportul dintre diagonală și lateral , dar și între Și (asta pentru că într-un pentagon regulat segmentul major delimitat de vârful pentagonului și de intersecția cu o altă diagonală este congruent lateral) și între Și , și la rândul său Și , și într-o infinitate de relații similare, dacă ne imaginăm că în pentagonul central putem inscrie o nouă stea cu cinci colțuri (sau pentagramă ), care va produce la rândul său un nou pentagon central, în care să repetăm ​​inscripția pentagramei și așa mai departe, departe, urmând un model recursiv .

Euclid , în jurul anului 300 î.Hr. , a lăsat cea mai veche înregistrare scrisă pe această temă. În cea de-a treisprezecea carte a Elementelor sale, [20] referitoare la construcția pentagonului, el oferă definiția diviziunii unui segment în ultimul și mijlocul motiv [21] (Gr. Ἄκρος καὶ μέσος λόγος ):

Împărțirea unui segment în „ motiv mediu și ultim ”.

Această diviziune se bazează pe conceptul simplu de medie proporțională : un segment este de fapt împărțit în media și ultimul motiv prin punctul C și segmentul are cu aceeași relație pe care are cu el sau dacă:

Imagine Pentagon cu „triunghiul auriu” evidențiat

Împărțirea unui segment în mijlocul și ultimul motiv se poate face prin construirea unui pentagon regulat, din care reprezintă o diagonală și desen în interiorul unui „ triunghi auriu ”, adică un triunghi isoscel a cărui bază corespunde laturii pentagonului și laturile egale cu diagonalele care unesc acesta din urmă cu vârful opus (triunghiurile adiacente sunt numite „ gnomoni aurii ” ).

Lățimea unghiului intern al pentagonului regulat este de 108 ° [22] , ceea ce înseamnă că unghiurile de la baza gnomilor aurii, de asemenea, isoscel, măsoară (180 ° -108 °) / 2 = 36 ° și, de diferență, cele de la baza triunghiului auriu de 72 °. Rezultă că triunghiul auriu are unghiuri de lățime 36 °, 72 °, 72 °; trasând bisectoarea unui unghi la bază, se obține un alt triunghi , cu unghiul în D de 36 °; unghiul la B de 72 °; al treilea unghi în C va fi la rândul său 72 °. este deci un alt triunghi auriu.

Pentru primul criteriu de similaritate pe triunghiuri , Și sunt triunghiuri similare; este deci:

pe de altă parte, de asemenea, triunghiul este isoscel, deoarece unghiul său în D este 36º ca unghiul din A , deci rezultă:

obținându-se astfel:

Prin redenumirea segmentului AC ca a și a segmentului minor CB ca b , putem reseta proporția lui Euclid în termenii algebrici mai cunoscuți, după cum urmează:

plasarea și, înlocuind, avem:

ajungem la formularea finală: ; o ecuație de gradul doi cu o singură soluție pozitivă:

De la Fibonacci la Renaștere

Aproximativ o mie de ani au trecut de la declinul perioadei elenistice înainte ca secțiunea de aur să stimuleze din nou mintea matematicienilor, care au detectat și proprietăți algebrice, precum și geometrice.

În 1202 Leonardo Fibonacci și-a publicat Liber abaci , cartea cu care figurile indo-arabe vor fi diseminate în Europa , simplificând metodele de calcul în operațiunile zilnice.

În aceeași carte, Fibonacci a introdus, de asemenea, involuntar, pentru prima dată [23] conceptul de succesiune recursivă , cu succesiunea:

în care fiecare termen este suma celor doi anteriori, secvența Fibonacci :

care pot fi rezumate după cum urmează:

Chiar și succesiunea care îi poartă numele va rămâne indisolubil legată de secțiunea de aur; relația dintre aceste două teme va fi descoperită doar câteva secole mai târziu de un alt matematician din timpul Renașterii .

Interesul reînnoit pentru numărul de aur din perioada Renașterii poate fi atribuit unei alte cărți, De Divina Proportione de Luca Pacioli (publicată la Veneția în 1509 și însoțită de desene de solide platonice de Leonardo da Vinci ), în care a fost dezvăluit un public numeros de intelectuali existența numărului și a unora dintre numeroasele sale proprietăți, până atunci prerogativa doar a unui cerc mai mic de specialiști. Aceeași carte a înlocuit și definiția euclidiană, singura formulare prin care s-a apelat numărul, reinventând una complet nouă, adică proporția divină , unde adjectivul „divin” se datorează unei juxtapuneri între iraționalitatea numărului (care o face complet inexprimabilă prin intermediul unui raport sau fracțiune) și a incognoscibilității divinului prin intermediul rațiunii umane:

„Commo Idio nu în mod corespunzător, dacă îl putem defini prin cuvinte, așa că această proporție a noastră nu este niciodată menită să fie atribuită printr-un număr, nici prin cantitate, nici o rațiune exprimată, ci este întotdeauna ocultă și secretată și numită irațională de către matematicieni. [24] "

Relația dintre numărul de aur și seria Fibonacci, de asemenea necunoscută lui Luca Pacioli, a fost descoperită în 1611 de Kepler , după cum relevă următoarele pasaje ale uneia dintre scrisorile sale:

„... această proporție [...] pe care astăzi [...] o numim divină [...] este aranjată în așa fel încât cei doi termeni minori ai unei serii născute luați împreună formează al treilea, iar ultimii doi adăugat, termenul [la ei] următor și așa mai departe la nesfârșit, deoarece aceeași proporție este menținută neschimbată [...] cu cât se continuă mai mult începând de la numărul 1, cu atât exemplul devine perfect. Fie 1 și 1 termenii cei mai mici, [...] adăugându-i, rezultatul este 2; adăugăm la aceasta 1 precedent și obținem 3; adăugați 2 la acesta și obținem 5; adăugați 3 la el și avem 8; 5 și 8 dau 13; 8 și 13 dau 21. Deoarece 5 este până la 8, deci aproximativ 8 este până la 13 și ca 8 este la 13, deci aproximativ 13 este la 21. [25] "

Kepler descoperise practic că raportul dintre două numere consecutive ale secvenței Fibonacci se apropia treptat, din ce în ce mai precis, de numărul auriu; de fapt:

dar Kepler, în calitate de astronom, probabil că nu era atât de interesat să dovedească validitatea descoperirii sale, ci mai degrabă să o caute în arhitectura universului, în proprietățile sale „divine”; nu întâmplător a conceput un model heliocentric în care orbitele planetelor erau inscripționate și circumscrise în solide platonice și în consecință legate de proporția divină . Dovada a fost oferită un secol mai târziu de matematicianul Robert Simson . Mai târziu, Jacques Binet a descoperit formula generatoare a seriei Fibonacci (numită formula Binet , deși probabil deja cunoscută de Euler ):

Această formulă arată o secvență index a expresiilor numerelor iraționale care pentru fiecare valoare a indicelui dă un număr întreg.

Ultimele două secole

Dacă pentru o lungă perioadă de timp secțiunea aurie a fost cunoscută cu definiția euclidiană a proporției medii și extreme , și apoi și-a asumat adjectivul divin după eliberarea operei lui Pacioli, originea definiției sale ca „ aur ” nu este atât de sigură.

În ciuda opiniei răspândite și eronate că această denumire a fost la modă încă din Grecia antică , cercetătorii istoriei matematicii o plasează cel mai probabil în jurul secolului XV - XVI . [26] . Prima mărturie scrisă trasabilă pare să se întoarcă abia în 1835 în cartea Die Reine Elementar-Mathematik , în care matematicianul german Martin Ohm scrie „se numește„ secțiunea de aur ””, specificând astfel că el nu a fost creatorul, ci că el a folosit o expresie deja destul de răspândită. Noul nume s-a răspândit pe scară largă la începutul secolului al XIX-lea, găsind din ce în ce mai multe referințe în lucrările scrise, mai întâi în germană și apoi în engleză, facilitând astfel internaționalizarea formulei și intrând pe deplin în sfera culturală academică, chiar și inițial. final încă legat de sfera estetică, înainte de a fi dobândit pe deplin în cadrul oficialului matematic, după cum dovedește un articol de E. Ackermann numit Secțiunea de Aur ( Secțiunea de Aur).

La sezione aurea si diffonde nell'Ottocento anche nel campo dell'arte, comparendo nelle opere di molti artisti in cui contrariamente al passato, se ne può affermare la presenza per ammissione dello stesso artista; particolare contributo alla sua diffusione fu dato dalla convinzione che la proporzione aurea, in particolare il rettangolo aureo , costituisse un canone estetico "naturale", per la sua ricorrenza in natura, e che quindi le sue proporzioni conferissero uno straordinario senso di armonia in tutto ciò che la possedeva.

Non mancarono in tal senso neppure esperimenti psicologici volti proprio ad avvalorare tale tesi, anche se recentemente riprodotti con esiti marcatamente più ambigui e incerti. L'ossessione per la sezione aurea produsse anche serie di ricerche di contenuti originali, come quelle volte a rintracciarne connessione nei mercati azionari , con quella che divenne nota come la teoria delle onde di Ralph Nelson Elliott, oa ritrovare utilizzi pratici surreali come il Modulor .

Sul versante prettamente matematico, nel XX secolo l'avvento del computer e il potenziamento delle capacità di calcolo hanno permesso di ottenere stime sempre più precise del numero irrazionale che rappresenta il rapporto aureo, altrimenti incalcolabile con i soli strumenti della mente umana; il primo tentativo venne effettuato nel 1966 da M. Berg con un IBM 1401 , calcolandolo fino alla 4599ª cifra, e successivamente, sempre nello stesso anno, fino alla decimilionesima.

Di seguito viene riportato il valore di fino al 1000º decimale:

1,618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 2705260 4628189 0244970 7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 5369317 9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383 2266131 9928290 2678806 7520876 6892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631 3614438 1497587 0122034 0805887 9544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495 6584678 8509874 3394422 1254487 7066478 0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 0758906 9704000 2812104 2762177 1117778 0531531 7141011 7046665 9914669 7987317 6135600 6708748 0710131 7952368 9427521 9484353 0567830 0228785 6997829 7783478 4587822 8911097 6250030 2696156 1700250 4643382 4377648 6102838 3126833 0372429 2675263 1165339 2473167 1112115 8818638 5133162 0384005 2221657 9128667 5294654 9068113 1715993 4323597 3494985 0904094 7621322 2981017 2610705 9611645 6299098 1629055 5208524 7903524 0602017 2799747 1753427 7759277 8625619 4320827 5051312 1815628 5512224 8093947 1234145 1702237 3580577 2786160 0868838 2952304 5926478 7801788 9921990 2707769 0389532 1968198 6151437 8031499 7411069 2608867 4296226 7575605 2317277 7520353 6139362...

Pavimento decorato a mosaico alla Università di Australia Occidentale con un esempio di tassellatura di Penrose , nello specifico a rombi "larghi" e "stretti"
Un'equazione scoperta nel 1994 e le prime 3000 cifre significative di -φ

Nel 1974 il matematico Roger Penrose scoprì, utilizzando figure legate a , la possibilità di una tassellatura a simmetria quintupla [27] , attraverso l'uso di figure diverse, detta tassellatura di Penrose . Ciò che rende detta tassellatura legata alla sezione aurea, non è solo la particolare simmetria legata al pentagono e altrimenti inarrivabile, ma perfino il fatto che le stesse figure sono unicamente basate sul rapporto aureo, e che su grandi superfici il numero stesso delle figure impiegate come rapporto approssima sempre ; per esempio, prendendo due delle possibili figure di rombi larghi e stretti , il numero di rombi larghi e quello degli stretti deve essere tale da .

Nel 1976 il matematico Robert Hamman , che aveva già lavorato con Penrose per le sue precedenti scoperte, allargò l'indagine sulla tassellatura al campo tridimensionale, scoprendo che era possibile esaurire similmente anche un volume ricorrendo a dei romboedri , composti dalle stesse forme utilizzate per ricoprire le superfici. La particolarità di questo tassellamento tridimensionale era sempre quella di avere una simmetria simile a quella dell' icosaedro (l'omologa della quintupla bidimensionale del pentagono) se eseguita seguendo determinate regole di giustapposizione. Tale scoperta, apparentemente solo teorica, non fu poi priva di conseguenze, una sua utilizzazione reale avvenne nel 1984 , quando Dany Schectman , studiando alcuni cristalli di un composto di alluminio e manganese , notò che possedevano una simmetria affine; la particolarità saliente era quella di avere rispetto alle altre formazioni cristalline, completamente amorfe oppure regolari, una quasiperiodicità , da cui deriva la successiva riclassificazione degli stessi in quasicristalli .

Matematica

Coniugato della sezione aurea

Matematicamente, il numero aureo corrisponde a una delle due possibili soluzioni dell' equazione di secondo grado , le cui radici [28] sono:

Tra le due soluzioni possibili, quella che ha senso a livello geometrico è la radice positiva, ovvero il numero irrazionale 1,618....

In matematica, fino al XX secolo , questo valore veniva indicato con la lettera greca ( tau ) [29] : fu il matematico Mark Barr a introdurre l'uso oggi consolidato della ( phi ) [30] dall'iniziale dello scultore greco Fidia (in greco Φειδίας) che avrebbe usato il rapporto aureo per creare le sculture del Partenone .

La radice negativa dell'equazione, presa in valore assoluto è uguale a ; questo valore è indicato con il termine coniugato della sezione aurea [31] [32] e identificato con la lettera greca ( Phi ) maiuscola .

Considerare il valore assoluto della radice negativa equivale a scrivere:

Se effettuiamo il prodotto della sezione aurea per il suo coniugato otteniamo:

Pertanto la sezione aurea e il suo coniugato sono l'uno il reciproco dell'altro :

Particolarità matematiche

Dimostrazione

Per effettuare la dimostrazione, basta prendere l'equazione originaria e modificarla:

così emerge che il reciproco è uguale alla radice stessa meno l'unità, [33] mentre per il quadrato questa va aggiunta.

Questo vuol dire che sommando e sottraendo il valore a , si modifica solo la parte intera e non quella frazionaria , che rimane inalterata.

La sezione aurea è l'unico numero non naturale il cui reciproco e il cui quadrato mantengono inalterata la parte decimale. [34]

  • .

Anche il coniugato della sezione aurea mantiene inalterata la parte decimale se confrontata con il suo reciproco ma non se confrontata con il suo quadrato:

Tenendo conto che valgono le relazioni e si ottengono le seguenti equazioni per il coniugato della sezione aurea:

Pertanto le soluzioni ammesse dal polinomio sono:

Tornando alla sezione aurea e tenendo conto che l'unità può anche essere scritta come , vale la seguente equazione

che moltiplicata per consente di generalizzarla per qualsiasi potenza del numero aureo:

Quest'ultima equazione dimostra che la sezione aurea è una delle possibili radici di ogni equazione del tipo .

Considerando con n grande, si ottengono numeri " quasi interi " molto prossimi a un numero naturale: con potenze pari l'approssimazione è per difetto e con potenze dispari per eccesso. Ad esempio:

Essendo quest'ultima una caratteristica fondamentale dei Numeri di Pisot , la sezione aurea ne rappresenta un caso particolare.

La metà del rapporto aureo è pari alla funzione seno di 666 misurata in gradi (a meno del segno) [35] :

,
°.

Rappresentazioni notevoli

Il numero aureo è legato a due rappresentazioni, per così dire "notevoli", aventi diverse caratteristiche in comune:

  • entrambe sono ottenute per mezzo di operazioni ricorrenti;
  • l'unico numero che compare nelle operazioni suddette è 1.

Queste proprietà si dimostrano entrambe sfruttando lo stesso procedimento:

può essere ottenuto mediante una successione infinita di radici quadrate sommando ogni volta al risultato, e poi estraendo nuovamente la radice

poniamo

si nota subito che essendo un processo infinito, la parte sotto radice è ancora uguale a , per cui:

e quindi:

che è l'equazione generatrice di .

può essere il risultato di una frazione continua illimitata, avente tutti i termini uguali a come denominatore

poniamo:

Trattandosi di una frazione infinita, si nota che il denominatore è uguale a , per cui:

se si moltiplicano entrambi i membri per , si ha:

che è l'equazione generatrice di .

Altre rappresentazioni

Il numero "più irrazionale"

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Numero irrazionale e Frazione continua .

Un numero irrazionale può essere rappresentato con una frazione continua infinita: troncando la frazione continua a vari livelli e svolgendo i calcoli si ottengono delle frazioni con numeratore e denominatore interi, ossia dei numeri razionali che sono approssimazioni del numero irrazionale di partenza.

Si prenda ad esempio il numero irrazionale il cui valore è dato da:

.

Trattandosi appunto di un numero irrazionale, la sua frazione continua è illimitata ed è rappresentata da:

Troncando progressivamente la frazione continua, considerandone cioè i suoi convergenti , ed effettuandone il calcolo decimale otteniamo i seguenti numeri razionali che approssimano :

22/7 = 3,14 28571428571428571 [3;7]
333/106 = 3,1415 094339622641509 [3;7, 15 ]
355/113 = 3,141592 9203539823008 [3;7,15,1]
103993/33102 = 3,141592653 0119026040 [3;7,15,1, 292 ]
104348/33215 = 3,141592653 9214210447 [3;7,15,1,292,1]
208341/66317 = 3,141592653 4674367055 [3;7,15,1,292,1,1]
312689/99532 = 3,141592653 6189366233 [3;7,15,1,292,1,1,1]
833719/265381 = 3,14159265358 10777712 [3;7,15,1,292,1,1,1, 2 ]
1146408/364913 = 3,1415926535 914039784 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1]
4272943/1360120 = 3,141592653589 3891715 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1, 3 ]
5419351/1725033 = 3,141592653589 8153832 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1]

Confrontando i numeri decimali ottenuti con il valore effettivo di e analizzando le cifre in grassetto si nota come i convergenti relativi ai troncamenti effettuati in corrispondenza di termini maggiori dell'unità ( 15 , 292 , 2 e 3 ) presentano un deciso miglioramento nell'approssimazione di rispetto al miglioramento ottenuto effettuando il troncamento in corrispondenza dei valori unitari.

Consideriamo ora la sezione aurea il cui valore è dato da:

La sua frazione continua è data da:

Considerando anche qui i suoi convergenti ed effettuandone il calcolo decimale otteniamo i seguenti numeri razionali che approssimano :

3/2 = 1 ,5000000000000000000 [1;1,1]
5/3 = 1,6 666666666666666666 [1;1,1,1]
8/5 = 1,6 000000000000000000 [1;1,1,1,1]
13/8 = 1,6 250000000000000000 [1;1,1,1,1,1]
21/13 = 1,61 53846153846153846 [1;1,1,1,1,1,1]
34/21 = 1,61 90476190476190476 [1,1,1,1,1,1,1,1]
55/34 = 1,61 76470588235294117 [1;1,1,1,1,1,1,1,1]
89/55 = 1,618 1818181818181818 [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1]
144/89 = 1,61 79775280898876404 [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
233/144 = 1,6180 555555555555555 [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]

Come si può vedere, i miglioramenti nel passaggio da un convergente all'altro non sono così marcati come nel caso di : ciò è dovuto al fatto che non si riesce mai a troncare la frazione continua in corrispondenza di un valore maggiore dell'unità essendo tutti i termini pari a 1.

A differenza di , tutti gli altri numeri irrazionali presentano, nella frazione continua che li rappresenta, uno o più termini diversi dall'unità in corrispondenza dei quali si riscontrano più decisi miglioramenti nell'approssimazione: proprio questa sua caratteristica è valsa alla sezione aurea l'appellativo di numero più irrazionale tra gli irrazionali.

Una trattazione più rigorosa dell'argomento [36] fa ricorso al teorema di Hurwitz il quale afferma che dato un numero irrazionale esistono infiniti numeri naturali e primi fra loro il cui rapporto approssima il numero irrazionale con uno scarto inferiore a . Quindi, tra i convergenti di sopra elencati ce ne sono alcuni (ad esempio ) che lo approssimano con uno scarto inferiore a dove è il denominatore del rapporto. Altrettanto vale per (si prenda ad esempio ). Ma come si era già potuto constatare con il ragionamento precedente, i denominatori di crescono in maniera più marcata rispetto a quelli di : da ciò discende che le approssimazioni razionali di convergono più rapidamente rispetto a quelle di , in perfetto accordo con quanto esposto in precedenza.

Relazione con la successione di Fibonacci

È stato già detto che facendo il rapporto di due numeri consecutivi di Fibonacci , questo approssima sempre meglio il numero aureo, man mano che si procede nella successione; provare questo equivale a provare che il limite della successione del rapporto fra numeri di Fibonacci consecutivi è , ovvero:

La relazione può essere dimostrata per induzione : supponiamo che le precedenti frazioni convergano a un valore definito . La serie di Fibonacci è una serie ricorsiva i cui termini sono uguali a:

possiamo quindi riscrivere il limite come:

cioè uguale a più il reciproco della frazione, che ripassando per il passaggio a limite, di cui omettiamo i segni, possiamo riscrivere come segue. che risolvendo darà .

La funzione generatrice della serie si basa proprio su :

Essendo minore di in valore assoluto, per che diventa sempre più grande essa diventa una quantità così prossima a zero da risultare ininfluente nella somma algebrica, tanto che per grande i numeri della successione di Fibonacci possono essere approssimati con:

analogamente a quanto visto precedentemente, soltanto che in questo caso i numeri quasi interi sono ottenuti dopo la divisione di un altro numero irrazionale .

Inoltre abbiamo:


Relazione con

Srinivasa Ramanujan e GH Hardy scoprirono una relazione che lega attraverso una frazione continua e un numero infinito, due numeri fondamentali come la irrazionale sezione aurea e , il trascendente pi greco:

dove

Potenze di

Ecco qui alcuni rapporti notevoli interni a stesso con delle sue potenze

Elementi di regolarità nelle potenze di si hanno anche con la serie di Fibonacci; per esempio, se invece del rapporto tra due elementi successivi si prende un passo maggiore, il limite di questo convergerà sicuramente verso un , e precisamente:

si ha inoltre:

,

Per alti valori dell'esponente, le potenze di possono essere considerate con buona approssimazione numeri naturali.

La sezione aurea presenta proprietà particolari se utilizzata come base di un sistema di numerazione .

Metodi di approssimazione e espansione decimale

Approssimando φ, è possibile calcolarne un numero arbitrario di cifre decimali

Nonostante la sezione aurea possa essere compiutamente riportata in termini numerici con la nota formula la presenza della radice di 5, ne decreta, attraverso l' irrazionalità , l'impossibilità di conoscerne tutta la parte decimale, il che determina che essa può essere soltanto approssimata con maggior grado di precisione da frazioni sempre più grandi oppure mediante algoritmi iterativi.

Il primo metodo più conosciuto è senz'altro quello di sfruttare il legame con i numeri di Fibonacci, attraverso quest'altra ormai nota formula il cui grado di approssimazione sempre migliore misurabile con la differenza dal limite effettivo calcolabile con questa formula . Rimane ovviamente sempre l'inconveniente di dover preliminarmente calcolare valori sempre maggiori della successione.

Assai meno calcoli preliminari, richiede invece il calcolo mediante il metodo più classico della frazione continua, come precedentemente visto, il cui grado di approssimazione può essere solo stimato, risalendo alla frazione corrispondente , inferiore a ; se non fosse come già spiegato che si tratta della frazione continua più lenta in assoluto.

Geometria

Pentagono regolare e sue diagonali

La sezione aurea ricorre abbastanza frequentemente in geometria, particolarmente nelle figure a geometria pentagonale. Nel pentagono regolare e nel pentagramma emerge naturalmente, e per questo, come abbiamo già detto, venne scoperto dai Greci, nel rapporto fra la diagonale e il lato o, nel secondo caso, fra il pentagono interno e il lato della punta stellata.

Dodecaedro regolare

Si ritrova pure nel decagono come rapporto fra la misura del raggio della circonferenza circoscritta e del lato, o ancora, trasferendoci nella geometria solida, perfino nel dodecaedro , un poligono a dodici pentagoni, e nell' icosaedro , entrambi solidi platonici .

Esistono inoltre dei poligoni definibili aurei , poiché presentano in alcune delle loro parti il rapporto aureo; il caso più emblematico è senz'altro il rettangolo aureo , seguito dal triangolo aureo :

Golden spiral in rectangles.svg
Golden triangle and Fibonacci spiral.svg

Nel rettangolo il rapporto è rintracciabile fra il lato corto e quello lungo, mentre nel triangolo fra la base ei lati uguali; inoltre in entrambe le figure si può notare che sono ricavabili una successione di figure simili sempre più piccole con fattore di rimpicciolimento rispetto a quella più esterna; nel rettangolo aureo inoltre è possibile verificare che la sequenza "converge" verso un punto di fuga che non si raggiungerà mai [37] , denominato dal matematico Clifford A. Pickover l'occhio di Dio , probabilmente rifacendosi alla definizione di "divina" data alla proporzione da Pacioli .

FakeRealLogSpiral.svg

Lavorando sulle successioni inoltre è possibile ricavare una sorta di spirale, denominata spirale aurea , anch'essa legata all'omonima sezione, ma di cui questa rappresenta soltanto una buona approssimazione formata da quarti di cerchio; così come avviene nel caso rettangolo, dove in questo caso la spirale approssimante, si avvicina a quella aurea, a volte tangendola e altre sovrapponendosi [38] ed entrambe tendendo verso un polo asintotico coincidente con lo stesso «occhio di Dio».

Platano frattale

Sempre in ambito geometrico la sezione aurea trova un ruolo importante anche nella composizione di alcuni frattali , ove adottandolo come coefficiente di omotetia sarebbe in grado di assicurare la massima frattalizzazione della figura prima che le sue parti inizino a sovrapporsi. Nel caso dei frattali che riescono a simulare forme naturali, come un albero, per esempio, che rappresenta il grado di ottimalità massima per ottenere la maggiore superficie di chioma senza sovrapposizione; a tal proposito prende proprio il nome di albero aureo [39] , una particolare forma di albero di Barnsley con valore pari a [40] .

Costruzione geometrica con riga e compasso

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Rettangolo aureo .
Divisione aurea.svg

La sezione aurea può essere costruita geometricamente, con riga e compasso , assegnato un qualsiasi segmento , ed è possibile agire in due modi:

  1. dividere il segmento dato nella proporzione media (cioè nel medio proporzionale) e in quella estrema (cioè il sotto-segmento minore che compare all'estremità sinistra nella proporzione);
  2. creare dal medesimo un segmento in proporzione media ed estrema, ossia creare, a partire da quello assegnato, un nuovo segmento (diviso in proporzione media ed estrema) di cui quello assegnato è sotto-segmento in proporzione media, e il sotto-segmento complementare è la ragione estrema.

Nel primo caso una possibile divisione del segmento è indicata da Euclide alla Prop. 30, libro VI dei suoi Elementi [41] , tuttavia esiste un modo molto più semplice:

dato un segmento , si traccia la perpendicolare in di lunghezza , pari a , si traccia poi l'ipotenusa del triangolo rettangolo così disegnato e su di essa si segna il punto , ove passa la circonferenza di centro e raggio . Si riporta ora il segno con raggio su definendo il segmento medio proporzionale rispetto ad e .
Dimostrazione

Per la dimostrazione si può procedere in due modi:

Primo metodo

Per il teorema delle tangenti e delle secanti si ha che è medio proporzionale rispetto a e :

Per le proprietà delle proporzioni:

(

da cui si ha, ricordando che :

Secondo metodo

Definendo e si ha, per il teorema di Pitagora ,

Quindi, risulta che equivale a . Ma, come visto, , e è proprio la misura del segmento . Abbiamo perciò che . Per provare che questi tre segmenti soddisfano la proporzione aurea basta vedere che , cioè che , il che prova l'asserto, ovvero che i segmenti , e soddisfano la proporzione aurea. Ne viene che è la sezione aurea di .

Per il secondo caso invece si procede diversamente, utilizzando di fondo lo stesso metodo attraverso cui si ottiene un rettangolo aureo .

Construction golden section sum.svg

Dato un segmento si traccia la perpendicolare di lunghezza pari ad ; da questo punto, quindi, si trova il punto medio del segmento interessato e puntandovi, con apertura pari all'ipotenusa , si riporta la lunghezza sul prosieguo del segmento, trovando così , per il quale rappresenta il medio proporzionale rispetto alla loro somma .

Per un'agevole dimostrazione algebrica se attribuiamo al segmento valore unitario, cioè ;

Mentre similmente, per il teorema di Pitagora , vale:

sommando i due si ricava:

che è la stessa soluzione dell'equazione generatrice del numero aureo.

Psicologia

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Rettangolo aureo § Il rettangolo più bello? .
Un esempio di rettangolo aureo.

Nell' Ottocento incominciarono i primi studi psicologici volti ad attestare la superiorità estetica della sezione aurea, in particolar modo le ricerche si concentrarono sulla preferenza estetica per il rettangolo aureo , che fra tutti i derivati geometrici della divina proporzione sembra essere quello maggiormente presente nelle opere d'arte.

Fu in particolare Gustav Fechner , fondatore della psicologia sperimentale, che nel suo Manuale di estetica ( Vorschule der Aesthetik ), edito nel 1879 , pubblicò i risultati dei suoi esperimenti condotti sia sulle persone, testando le loro preferenze estetiche, sia sul campo, misurando migliaia di oggetti d'uso quotidiano per far emergere la testimonianza di una tendenza inconscia verso la proporzione aurea; Fechner non esitò dall'asserire che vi era una dimostrata preferenza per il rettangolo aureo, e quindi per la sezione aurea. [42] Nel corso del XX secolo gli studi fechneriani sono stati oggetto di verifiche e revisioni, e in alcuni casi completati e migliorati specie laddove presentavano delle lacune. [43]

La sezione aurea nell'arte

L' Uomo Vitruviano , Studio di proporzionalità di un corpo umano ( Leonardo da Vinci , circa 1500 , Venezia, Gallerie dell'Accademia ): inscritto in un quadrato e in un cerchio , rivela l'esistenza di rapporti matematici nelle proporzioni del corpo umano, e quindi simbolo della corrispondenza tra macrocosmo e microcosmo . [44] In esso, il rapporto tra il lato del quadrato e il raggio del cerchio è aureo. [45]

Molto spesso capita che nelle opere di diversi artisti venga riscontrata la presenza della sezione aurea, in particolar modo sotto forma di rettangolo aureo , ad esempio nell' architettura greca , nella costruzione delle chiese medioevali , nei dipinti rinascimentali . [46] Già Vitruvio , architetto romano del I secolo aC, aveva studiato quali dovessero essere le proporzioni ideali di un canone estetico, rilevando ad esempio che l'altezza di una figura umana doveva risultare uguale all'apertura delle sue braccia, e che la stessa figura potesse essere iscritta in un cerchio. Diversi artisti si cimenteranno nella riproduzione dell'uomo ideale delineato da Vitruvio, fino a Leonardo. [47]

Pittura

In La geometria segreta dei pittori , Charles Bouleau sostenne la tesi di una diffusissima presenza della sezione aurea nei pittori prerinascimentali, quali Giotto , Duccio e Cimabue , quindi in un'epoca anche precedente la pubblicazione del De Divina Proportione . [48]

Joconde.gif

La sezione aurea sarebbe stata inoltre incorporata da Leonardo da Vinci all'interno di alcuni dei suoi dipinti e capolavori più famosi, tra cui appunto l' Uomo di Vitruvio , [49] San Gerolamo , La Vergine delle Rocce , l' Annunciazione [50] , la Testa di vecchio e la celebre Monna Lisa . In questo caso, la presenza della sezione aurea è più plausibile per la sua collaborazione con Luca Pacioli nella stesura del De Divina Proportione , anche se alcuni dei dipinti citati risultano di molto precedenti al periodo di collaborazione fra i due umanisti, iniziatosi nel 1496 a Milano presso Ludovico il Moro ; fa eccezione la Gioconda , sulla quale il dibattito accademico però risulta ancora aperto, perché il rapporto aureo sarebbe da rintracciare all'interno di un rettangolo aureo i cui riferimenti non sarebbero ben definiti.

La parata del circo (1888) di Georges Seurat

In epoca più recente, il pittore francese Georges Seurat nutriva una naturale propensione per un pittura spaziale dove il rilievo geometrico, si carica, nelle prospettive dell'artista, di una valenza emozionale che egli intende trasmettere facendo un particolare uso di tratti verticali, orizzontali e angoli retti; pur mancando un'ammissione dell'artista di avere fatto esplicito uso della proporzione aurea, a sostegno vengono spesso citati diversi studi sulle proporzioni di dipinti come La parade de cirque . In quest'ultimo caso, un massiccio aiuto alla diffusione del "mito" sarebbero stati alcuni scritti di Matila Ghyka [51] . Stesse cose avrebbe affermato il matematico inglese David Bergamini nel suo libro Mathematics [52] , curato nel 1963 dai redattori di Life Magazine .

Altri diversi artisti fecero esplicito uso della sezione aurea nelle loro opere: uno dei primi fu senz'altro Paul Sérusier (1864 - 1927) per sua stessa ammissione. È probabile che Sérusier abbia appreso della sezione aurea da un altro pittore amico suo, l'olandese Jan Werkade , durante una visita avvenuta nel 1896, quando andò a trovarlo presso un monastero di Benedettini a Beuron , nella Germania meridionale; nell'occasione un gruppo di monaci stava ricavando una serie di opere a sfondo religioso basandosi su un Padre Didier Lenzdi riguardanti particolari «misure sacre» [53] tra cui vi era ovviamente la sezione aurea . [54]

Dopo Sérusier la conoscenza della sezione aurea si diffuse a molti artisti, e non poté mancare di trovare degna posizione anche all'interno del cubismo , come dimostra il nome di una mostra, la Section d'Or , tenuta a Parigi nel 1912 da alcuni dei primi esponenti del movimento pittorico, benché nessuna delle opere presentate al suo interno contenesse alcun legame con . Tuttavia non mancarono pittori cubisti che ne fecero realmente uso, come lo spagnolo Juan Gris e lo scultore lituano Jacques Lipchitz ; i due fra l'altro lavorarono assieme alla creazione della scultura Arlequin basata su un particolare triangolo aureo ideato da Keplero . Spostandoci in Italia troviamo invece Gino Severini che lo utilizzo nei primi anni venti e più tardi Mario Merz , che ha realizzato un largo numero di opere nelle quali la progressione numerica di Fibonacci dialoga con la linea a spirale (es. Un segno nel Foro di Cesare , 2003) [55] .

Oltre oceano, negli Stati Uniti troviamo Jay Hambidge che, all'inizio del Novecento teorizzò due tipi di arte moderna: una a "simmetria statica", basata su forme geometriche, e una invece "dinamica" basata sulla sezione aurea e la spirale logaritmica . Oltre Manica invece abbiamo, sempre agli inizi del secolo, Anthony Hill ( 1930 ) che si ispirò al numero aureo in una serie di opere denominate sotto relief construction ; un altro artista, l'israeliano Yigal Tumarkin , addirittura inserì in una sua opera direttamente la formula .

La sezione aurea sembra essere stata utilizzata anche dall'olandese Piet Mondrian , che fece prettamente uso di forme rettangolari e linee verticali e orizzontali per comporre le sue opere. Si è discusso se questi dipinti celassero più o meno velati riferimenti o proporzioni auree; ciononostante non si hanno riscontri diretti da parte dell'artista, né dei suoi principali esperti, ad esempio il critico Yve-Alain Bois ha escluso tale ipotesi. [56]

Architettura (Modulor)

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Modulor .

Nell'architettura del XX secolo , una delle più interessanti applicazioni della sezione aurea fu senz'altro segnata dalla nascita del Modulor , letteralmente "modulo d'oro" derivato dal nome francese.

L'ideatore fu l'architetto svizzero Le Corbusier che si prefisse di utilizzare la sezione aurea e la successione di Fibonacci quale sistema su cui basare le proporzioni di tutti gli spazi dedicati alla vita dell'uomo con l'intento di creare uno standard che fosse allo stesso tempo armonico e funzionale alle esigenze del vivere quotidiano; l'idea sottostante era che poiché era possibile riscontrare la sezione aurea nelle proporzioni del corpo umano, nonché in altri svariati esempi naturali, questa potesse essere la base ottimale su cui strutturare tutto l'ambiente circostante, in modo che risultasse armonico e armonizzato a esso secondo una presupposta regola naturale, identificata appunto nella proporzione aurea. L'idea di armonia implicita cela ancora un volta la concezione di un'estetica superiore legata alla sezione aurea.

Lo stesso Le Corbusier utilizzò gli schemi del Modulor in diversi suoi progetti, come nella costruzione di alcune strutture governative nella città di Chandigarh in India . Nel suo complesso, però, il Modulor non trovò grande seguito presso altri architetti, anzi fu molto spesso oggetto di critiche che ne decretarono man mano l'insuccesso.

In Italia , l'architetto Giuseppe Terragni l'ha usata nella progettazione di alcuni edifici razionalisti. [ senza fonte ]

Musica

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Retorica musicale .

La musica ha numerosi legami con la matematica , e molti ritengono che in essa sia centrale il ruolo della sezione aurea. A sostegno di tale tesi vengono spesso richiamate alcune particolarità strutturali di determinati strumenti come il violino e il pianoforte .

Nel caso del violino alcuni ritengono che la piacevolezza del suono derivi dalle sapienti capacità dei liutai di costruire la sua cassa armonica secondo particolari geometrie; per esempio l'arco che ne costituisce la base avrebbe, in molti casi, il suo centro di curvatura proprio in posizione aurea rispetto alla lunghezza complessiva dello strumento, [57] inoltre anche lo stesso Stradivari si sa per certo che cercasse di posizionare gli occhielli del violino sempre in tale posizione; non vi sono però conferme sul fatto che tali accorgimenti conferiscano effettivamente un suono "migliore" allo strumento, che non possano essere invece attribuiti alla lavorazione dei materiali o alla scelta degli stessi.

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Nel pianoforte, invece, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci . I tredici tasti delle ottave, distinti in otto bianchi e cinque neri, a loro volta divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti alla successione di Fibonacci, ma anche in questo caso, ancor più che nel precedente, si tratta di una mera coincidenza che non può neppure essere attribuita a una specifica volontà del costruttore, trattandosi di una soluzione motivata unicamente dall'evoluzione strutturale dello strumento.

In passato si è fatto notare, che molti degli intervalli musicali naturali sarebbero riducibili a frazioni in termini di numeri di Fibonacci (una sesta maggiore di La e Do 5/3, una sesta minore di Do e Mi 8/5).

Già Pitagora aveva osservato che gli accordi musicali ottenuti da corde le cui lunghezze siano in rapporto come numeri interi piccoli risultino particolarmente gradite all'orecchio. [58] Tuttavia, i motivi per cui tali rapporti sono particolarmente consonanti, sono spiegati (almeno in parte) dall' acustica , non hanno praticamente alcuna connessione con la serie di Fibonacci.

Sul piano compositivo la sezione aurea attraverso la serie di Fibonacci può, ovviamente, essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica, cioè durata temporale di un brano, numero di note o di battute. Per esempio Paul Larson nel 1978 sostenne di aver riscontrato nei Kyrie contenuti nel Liber Usualis , il rapporto aureo a livello delle proporzioni melodiche; medesime considerazioni sono sempre state fatte per le opere di Mozart , anche se recentemente John Putz, matematico all' Alma College , persuaso di tale teoria specialmente per quanto riguarda le sonate per pianoforte , riscontrò un risultato soddisfacente soltanto per la Sonata n. 1 in Do maggiore .

Questo è quello che hanno fatto, per esempio, Béla Bartók ( 1881 - 1945 ) in alcune delle sue maggiori composizioni (come la Musica per Archi, Percussioni e Celesta ) e Claude Debussy ( 1862 - 1918 ), il quale era particolarmente attratto dalla sezione aurea, citata da lui come le divin nombre nella raccolta Estampes ( 1903 ) e usata, tra gli altri, nella composizione dei brani La Mer ( 1905 ) e Cathédrale Engloutie .

Quest'ultimo, in particolare, è un preludio per pianoforte di 89 battute, di cui le prime 68 hanno un tempo doppio delle restanti 21: in altre parole, alla battuta 68 il brano rallenta e la durata delle note si dimezza. L'effetto prodotto all'ascolto, quindi, riduce le battute di questa prima sezione a 34, e il brano ha una lunghezza percepita da chi lo ascolta di 55 battute, vale a dire la sezione aurea di 89. Questo è uno dei tanti esempi che si possono citare per descrivere l'applicazione del concetto di sezione aurea all'interno delle composizioni musicali di Debussy. Il pianista Roy Howat ha analizzato altri brani di Debussy come Reflets dans l'eau , L'isle joyeuse (oltre al già citato La Mer ) riscontrando in ognuno varie applicazioni delle tecniche succitate.

Bartók e Debussy sono solo due tra i compositori che hanno usato in musica il concetto di sezione aurea, ma se ne potrebbero menzionare molti altri, tutti operanti tra la fine del XIX secolo e il XX secolo . In epoche più recenti, musicisti quali Stockhausen , Pierre Barbaud , Iannis Xenakis , facendo evolvere i precedenti utilizzi della matematica in musica, hanno introdotto un utilizzo più strutturato della matematica (soprattutto il calcolo delle probabilità e del computer per la composizione musicale). Xenakis in particolare ha fondato a tale fine, a Parigi nel 1972 , un gruppo di ricerca universitario chiamato CEMAMU, che ha appunto come obiettivo l'applicazione delle conoscenze scientifiche moderne e del computer alla composizione musicale e alla creazione di nuovi suoni tramite sintetizzatori .

Sofija Gubajdulina ha utilizzato frequentemente la serie di Fibonacci nelle sue opere - ad esempio nella Sinfonia "Stimmen... Verstummen..." , in Perception , nel pezzo per percussioni All'inizio era il ritmo , nel coro Omaggio a Marina Cvetaeva , nel trio Quasi hoquetus , nella sonata Et exspecto e altre. Va sottolineato che la compositrice ha fatto ricorso alla serie di Fibonacci quale regola per organizzare il ritmo, generale o particolare, delle sue opere: "La Sezione Aurea è stata impiegata [...] in due sensi: nella struttura intervallare e in quella ritmica. Delle due a me interessa particolarmente la seconda. Se si interpreta la struttura intervallare con le cifre occorre prendere il semitono come unità di misura. [...] Certamente i numeri 3-5-8, e quindi anche gli intervalli che essi rappresentano, sono disposti in una sequenza che è quella della serie di Fibonacci. Ma su questo tipo di applicazione io ho alcuni dubbi, perché gli intervalli in questione sono considerati all'interno del sistema temperato , [...] un sistema artificiale. La serie di Fibonacci si applica invece al sistema del mondo , in una parola a quella natura che viene violata dall'artificio del sistema temperato. L'uso della serie di Fibonacci nel sistema ritmico mi sembra invece giusto e naturale perché il ritmo è legato alla naturalità del nostro respiro." [59]

Anche la musica rock , specialmente nel cosiddetto rock progressivo , si è confrontata con gli aspetti "mistici" della sezione aurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci. L'esempio più emblematico è la musica dei Genesis , che hanno usato assiduamente la serie fibonacciana nella costruzione armonico-temporale dei loro brani: Firth of Fifth è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note, ecc. Oltre ai Genesis, altre rock band hanno usato, seppure più sporadicamente, i numeri aurei nelle loro composizioni. Fra questi i Deep Purple nel brano Child in Time ei Dream Theater nell'album Octavarium , interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci. Risale invece al 2001 Lateralus , album della band statunitense Tool che contiene il singolo omonimo Lateralus costruito fedelmente sulla serie di Fibonacci, e sulla proprietà rigenerativa del rettangolo aureo che si sviluppa in una forma a spirale, quale fondo ritmico dell'essere e della vita.

Letteratura

Persino nella letteratura è stato rintracciato il rapporto aureo, più specificatamente in poesia . Ci sarebbero due modi per poterlo rintracciare: come idea ispiratrice dell'opera, oppure come principio organizzatore della struttura ritmica che dona al componimento le sue decantate doti di armonia. Unica opera, tra l'altro a sfondo umoristico, realmente appartenente al primo caso è una poesia del matematico Paul Bruckman intitolata Media costante , pubblicata nel 1977 sulla rivista matematica Fibonacci quarterly , dove in versi vengono decantate le principali proprietà algebriche del numero, il cui nome viene tradotto per l'occasione in "media aurea".

Riguardo alla seconda possibilità circa la presenza della sezione aurea in poesia, sono state fatte alcune elucubrazioni sulla Eneide di Virgilio ; un docente dell' università di Princeton , George Duckworth, affermò in un suo saggio [60] , edito nel 1962 , che il poeta latino avrebbe strutturato il testo sezionandolo in parti "minori" e "maggiori" che avrebbero rispettato il rapporto aureo. Ora, Duckworth individua queste parti in modo apparentemente oggettivo, ovvero in base al carattere prevalente del loro contenuto sia questo di dialogo o di narrazione o descrizione; concludendo poi che il numero dei versi è tale da approssimare il rapporto aureo. Nel 1981 tali dati vennero rianalizzati da Leonard Curchin e dal matematico Roger Fishler, i quali dimostrarono che l'analisi era innanzitutto viziata da un fatto: che prendendo due numeri disuguali (maggiore) e (minore), il rapporto è più vicino a di quanto non lo sia ; e Duckworth avrebbe preso a sostegno della propria ipotesi soltanto la prima frazione, escludendo la seconda.

Cinema e televisione

Botanica

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Fillotassi .
Le foglie, numerate da 1 a 10 in base all'ordine di formazione, si dispongono a formare una spirale

In natura uno degli esempi più significativi di utilizzo della sezione aurea è rappresentato dagli studi sulla disposizione geometrica delle foglie e delle infiorescenze di alcune piante ( fillotassi ).

Un esempio di spirale aurea presente nella conchiglia di un particolare mollusco , il Nautilus , la cui struttura si accresce progressivamente in dimensioni, pur mantenendo la stessa forma originaria.

Nel XIX secolo i fratelli Louis e Auguste Bravais , botanico il primo e cristallografo il secondo, osservarono che in alcune piante le foglie si dispongono sul fusto secondo una spirale vegetativa, in cui l'angolo tra due foglie successive è pressoché costante ed è di circa 137,5°. Tale angolo, corrispondente all' angolo aureo , garantisce un utilizzo ottimale della luce solare [61] . Diversi altri esempi sono stati rinvenuti in natura, dai petali dei fiori, il cui numero appartiene di solito alla successione di Fibonacci, alle forme anatomiche umane, dalla geometria delle foglie alle stelle marine, dalla spirale aurea dei nautilus a quella delle galassie. [46]

Medicina

Recentemente la sezione aurea è stata trovata essere anche alla base di importanti proporzioni tra parametri medici e parametri relativi al movimento umano. Nel 2013 è stato scoperto che durante il passo il rapporto tra la fase di appoggio (chiamata in inglese stance) e la fase di oscillazione dell'arto inferiore (quando il piede avanza e non è in contatto con il terreno, chiamata in inglese swing) è pari al rapporto aureo. Questo comporta una serie di proporzionalità delle fasi del passo che probabilmente ne semplifica il controllo da parte del sistema nervoso centrale . [62] Soggetti con patologie neurologiche hanno alterato questo rapporto. Analogamente anche il rapporto tra le fasi cardiache diastolica e sistolica è stato scoperto essere prossimo al rapporto aureo. [63]

Note

  1. ^ Jacques Lucan, Le Corbusier, enciclopedia , pag. 492, Electa, 1988.
  2. ^ Michael Schneider, A Beginner's guide to Constructing the Universe , New York, Harper Perennial, 1995. ISBN 0-06-092671-6
  3. ^ Helen Hedian, The golden section and the artist su " The Fibonacci Quarterly " 14:406-18, 1976.
  4. ^ Dying lioness [ collegamento interrotto ] ( Leonessa morente ) bassorilievo custodito al British Museum di Londra
  5. ^ a b Robert Lawlor, Sacred Geometri philosophy and practice London, Thames and Hudson, 1982 ISBN 0-500-81030-3
  6. ^ Livio , p. 80 .
  7. ^ Ci sono al riguardo diversi studiosi che affermano che nelle misure della Grande piramide sarebbero riscontrabili diverse costanti cosmologiche e matematiche, fra cui il π ( pi greco ).
  8. ^ Piazzi Smyth, The Great Pyramid , New York, Gramercy book, 1978
  9. ^ L'altezza della parete può essere desunta dai dati precedenti applicando il teorema di Pitagora
  10. ^ Erodoto, Storie Libro II .
  11. ^ Erodoto Storie Archiviato il 9 agosto 2007 in Internet Archive . traduzione da filosofico.net ; Qui Archiviato l'8 aprile 2008 in Internet Archive . ( GRC ) il frammento originale
  12. ^ a b Richard Gillings Mathematics in the Time of the Pharaohs . Cambridge, Dover Publications, 1982 ISBN 0-486-24315-X
  13. ^ Markowsky , Misconceptions: The Great Piramid was designed to conform to φ , p. 6 .
  14. ^ Livio , p. 94 .
  15. ^ Kurt Mendelssohn. L'enigma delle piramidi . Milano, Mondadori, 1990. ISBN 88-04-43384-1
  16. ^ Una esauriente spiegazione matematica la puoi trovare in Bastioni , Le piramidi contengono pi greco e Φ per puro caso .
  17. ^ Livio , p. 15 .
  18. ^ Giamblico , Silloge delle dottrine pitagoriche ca. 300 dC:
    « Dicono che il primo che divulgò la natura della commensurabilità e dell'incommensurabilità a chi non era degno di conoscere tale teoria si attirò un tale disprezzo che non solo lo si bandi dalla vita in comune e dalle associazioni [pitagoriche], ma fu costruita la sua tomba... »
  19. ^ Capparelli Vincenzo. La sapienza di Pitagora Roma, Edizioni Mediterranee, 1988, (passim).
  20. ^ Indice analitico su Euclid's Elements
  21. ^ Libro VI, Def. 3
  22. ^ Poiché la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è in gradi sessagesimali (n-2) x 180 , tale somma per un pentagono è 540°, che diviso per 5 fa 108°
  23. ^ In realtà Fibonacci pone un problema per la cui soluzione occorre calcolare i primi 12 termini della successione che oggi porta il suo nome e non fa alcuna considerazione sulla successione infinita.
  24. ^ Erman di Rienzo, la divina proporzione Archiviato l'11 dicembre 2006 in Internet Archive . ( DOC ) p. 17.
  25. ^ Livio , p. 226 .
  26. ^ François Lasserre. The birth of mathematics in the age of Platone . Londra, Hutchinson, 1964 Carl B. Boyer . Storia della Matematica Milano, Mondadori, 1990 ISBN 88-04-33431-2
  27. ^ Tassellature diverse sono facilmente componibili con triangoli equilateri , quadrati e esagoni , si tratta di tassellazioni regolari e periodiche , con simmetrie rispettivamente triple, quadruple e sestuple, possibili principalmente perché detti poligoni regolari hanno angoli che sono multipli perfetti dell' angolo giro ; motivo che fino ad ora aveva impedito di ottenere una tassellazione a geometria quintupla prerogativa del pentagono , che invece fu possibile grazie a Penrose
  28. ^ La "radice" di cui si parla qui e nel seguito non è sinonimo di " radice quadrata ", bensì ha il significato di "soluzione dell'equazione".
  29. ^ dal greco tomé , "taglio" o "sezione"
  30. ^ La lettera greca usata per indicare il numero aureo nella forma è ; minuscola , la maiuscola ; viene usata per indicarne il suo reciproco, ovvero .
  31. ^ Golden Ratio Conjugate , MathWorld
  32. ^ Il coniugato della sezione aurea non è quindi una soluzione dell'equazione per cui invece è soluzione; piuttosto è il valore assoluto di una soluzione dell'equazione, oltre che il reciproco della sezione aurea :
  33. ^ cioè è il "complemento ad uno della radice dell'equazione
  34. ^ Esistono altri numeri i cui reciproci mantengono la stessa parte decimale (vedi Reciproco#Reciproci particolari ), ma nessun altro lo fa anche elevato al quadrato.
  35. ^ ( EN ) K. Knudson (PhD), Devilish trigonometry: linking the number of the beast and the golden ratio. , su Forbes, Science , 29 Ottobre 2015. URL consultato il 6 Giugno 2018 .
  36. ^ [1] The Most Irrational Number
  37. ^ Una immagine più chiara sull' Occhio di Dio
  38. ^ Una immagine della spirale aurea e della spirale di Fibonacci .
  39. ^ Laura Lotti. L'albero aureo 3 maggio 2004 - immagini
  40. ^ L'omotetia, in questo caso, deve essere una contrazione , in modo da accorciare le distanze. Il rapporto di omotetia deve essere dunque strettamente minore di 1, ovvero 0,618..., cioè il reciproco di 1,618.
  41. ^ libro VI, Prop. 30 in Euclid's elements
  42. ^ Franco Ghione, Laura Catastini, Matematica e Arte: Forme del pensiero artistico , pag. 32, Springer Science & Business Media, 2011.
  43. ^ Gérald Mazzalovo, Estetica di marca. Il nuovo confine competitivo del brand management , pag. 148, FrancoAngeli, 2011.
  44. ^ Rocco Sinisgalli , Leonardo per gioco. L'uomo vitruviano , pag. 5, Federighi editori, 2006.
  45. ^ La sezione aurea , a cura di Fernando Corbalàn, pag. 101, Mondo Matematico, 2015.
  46. ^ a b La sezione aurea , pp. 125-141, op. cit.
  47. ^ La sezione aurea , p. 102, op. cit.
  48. ^ Charles Bouleau la geometria segreta dei pittori , Milano Mondadori 1999. ISBN 88-435-2643-X
  49. ^ Sezione aurea Archiviato il 2 aprile 2015 in Internet Archive ..
  50. ^ Franca Manenti Valli , Leonardo. Il comporre armonico nella tavola dell'Annunciazione , Milano, Silvana Editoriale, 2012
  51. ^ Esthétique des proportrions dans la nature et dans les arts , 1927 e Le nombre d'or: rites et rytmes pytagoriciens dans le développemont de la civilisation occidentale , 1931.
  52. ^ David Bergamini, Mathematics , New York, Time Incorporated, 1963.
  53. ^ Padre Didier Lenzdi riteneva che grandi opere dell'antichità, nonché capolavori (fra cui, a suo dire, rientrava anche l' arca di Noè ), erano composti su figure geometriche semplici come cerchi, triangoli equilateri ed esagoni (Alessandra Candela, Forme dell'arte e forme della matematica, una ricerca Archiviato il 19 marzo 2013 in Internet Archive . ( PDF ), 24 maggio 2006 ).
  54. ^ La notizia è confermata da alcune note biografiche di Maurice Denis , biografo di Sérusier, oltreché pittore egli stesso.
  55. ^ [2]
  56. ^ Livio , p. 261 .
  57. ^ Livio , p. 271 .
  58. ^ Ciononostante, il sistema di note più usato al giorno d'oggi, basato sul temperamento equabile , prevede che i rapporti tra due semitoni successivi della scala cromatica sia pari alla quantità 12 √2, un numero irrazionale , il che fa sì che gli unici rapporti interi fra le note corrispondano agli intervalli di ottava (il cui rapporto è pari a due).
  59. ^ Fonte: "Un'autobiografia dell'autore raccontata da Enzo Restagno ", contenuto in AA.VV. "Gudajdulina", ed. EDT
  60. ^ George Duckworth. structural patterns and proportions in Vergil's Aeneid , Ann arbor, university of Michigan press, 1962
  61. ^ Livio , p. 168 .
  62. ^ Iosa M, Fusco A, Marchetti F, Morone G, Caltagirone C, Paolucci S, Peppe A, The golden ratio of gait harmony: repetitive proportions of repetitive gait phases , in Biomed Res Int , vol. 2013, 2013, p. 918642, DOI : 10.1155/2013/918642 , PMC 3687768 , PMID 23862161 .
  63. ^ Yetkin E, Topbaş U, Yanik A, Yetkin G, Does systolic and diastolic blood pressure follow Golden Ratio? , in Int. J. Cardiol. , vol. 176, n. 3, 2014, pp. 1457-9, DOI : 10.1016/j.ijcard.2014.08.065 , PMID 25150476 .

Bibliografia

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