Reprezentarea spectrală a semnalelor

În matematică , reprezentarea spectrală a semnalelor este o descriere formală a semnalelor ( funcții în timp) în domeniul frecvenței , adică în ceea ce privește frecvența lor, care este utilizată în multe domenii ale științei, cum ar fi ingineria și fizica . În această descriere, fiecare frecvență din care este compus un semnal se numește armonic și, din punct de vedere matematic, fiecare armonică este făcută să corespundă unui vector al unei baze a unui spațiu vectorial infinit-dimensional cu produs intern (produs scalar) pe câmp complex, care este baza unui spațiu Hilbert . Semnalul este apoi scris ca o combinație liniară în acel spațiu. Analiza de frecvență a comportamentului unui sistem dinamic se numește răspuns în frecvență al sistemului dinamic.

Spațiul Hilbert

Același subiect în detaliu: spațiul Hilbert .

Un spațiu Hilbert este un spațiu vectorial cu un produs scalar pe câmpul real sau complex care este complet în raport cu distanța indusă de acel produs scalar. Având în vedere un set de vectori $\{\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2},\dots \}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}, \ dots \}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}, \ dots \}}$ a unui spațiu Hilbert complex ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ prin urmare, suma și produsul pentru un scalar mențin acești vectori în spațiu:

\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}=\mathbf {s} \in {\mathcal {H}}\qquad \alpha \mathbf {s} _{1}=\mathbf {s} \in {\mathcal {H}}

{\ displaystyle \ mathbf {s} _ {1} + \ mathbf {s} _ {2} = \ mathbf {s} \ in {\ mathcal {H}} \ qquad \ alpha \ mathbf {s} _ {1} = \ mathbf {s} \ în {\ mathcal {H}}}

{\ displaystyle \ mathbf {s} _ {1} + \ mathbf {s} _ {2} = \ mathbf {s} \ in {\ mathcal {H}} \ qquad \ alpha \ mathbf {s} _ {1} = \ mathbf {s} \ în {\ mathcal {H}}}

cu $\alpha \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ (sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ). Mai mult, există doar un invers al sumei $-\mathbf {s}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {s}}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {s}}$ astfel încât $\mathbf {s} +(-\mathbf {s} )=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s} + (- \ mathbf {s}) = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s} + (- \ mathbf {s}) = \ mathbf {0}}$ . În acest context putem defini dependența și independența liniară a vectorilor și conceptul de bază . O bază este un set de vectori liniar independenți care sunt, de asemenea, un sistem de generatori, adică un sistem de vectori $\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots \}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {u} _ {1}, \ mathbf {u} _ {2}, \ dots \}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {u} _ {1}, \ mathbf {u} _ {2}, \ dots \}}$ este liniar independent și formează un sistem complet astfel încât orice alt vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară, posibil infinită, de vectori ai unei baze:

\mathbf {s} =\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}\cdot \mathbf {u} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {s} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} c_ {i} \ cdot \ mathbf {u} _ {i}}

{\ displaystyle \ mathbf {s} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} c_ {i} \ cdot \ mathbf {u} _ {i}}

unde este $c_{i}\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle c_ {i} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle c_ {i} \ in \ mathbb {C}}$ sunt coeficienții combinației liniare. Un spațiu Hilbert este un spațiu normat , adică este definită norma unui vector, este un număr real astfel încât:

\|\mathbf {s} \|\geq 0,\qquad \|\mathbf {s} \|=0\Leftrightarrow s=0

{\ displaystyle \ | \ mathbf {s} \ | \ geq 0, \ qquad \ | \ mathbf {s} \ | = 0 \ Leftrightarrow s = 0}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {s} \ | \ geq 0, \ qquad \ | \ mathbf {s} \ | = 0 \ Leftrightarrow s = 0}

\|\alpha \mathbf {s} \|=|\alpha |\cdot \|\mathbf {s} \|

{\ displaystyle \ | \ alpha \ mathbf {s} \ | = | \ alpha | \ cdot \ | \ mathbf {s} \ |}

{\ displaystyle \ | \ alpha \ mathbf {s} \ | = | \ alpha | \ cdot \ | \ mathbf {s} \ |}

\|\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\|\leq \|\mathbf {s} _{1}\|+\|\mathbf {s} _{2}\|

{\ displaystyle \ | \ mathbf {s} _ {1} + \ mathbf {s} _ {2} \ | \ leq \ | \ mathbf {s} _ {1} \ | + \ | \ mathbf {s} _ {2} \ |}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {s} _ {1} + \ mathbf {s} _ {2} \ | \ leq \ | \ mathbf {s} _ {1} \ | + \ | \ mathbf {s} _ {2} \ |}

Există mai multe reguli pentru spațiile abstracte, dar în teoria semnalului este util să se introducă următoarele:

\|\mathbf {s} \|={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }s^{2}(t)\cdot dt}}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {s} \ | = {\ sqrt {\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s ^ {2} (t) \ cdot dt}}}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {s} \ | = {\ sqrt {\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s ^ {2} (t) \ cdot dt}}}

sau în cazul general al semnalelor complexe:

\|\mathbf {s} \|={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\cdot s^{*}(t)\cdot dt}}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {s} \ | = {\ sqrt {\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) \ cdot s ^ {*} (t) \ cdot dt}} }

{\ displaystyle \ | \ mathbf {s} \ | = {\ sqrt {\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) \ cdot s ^ {*} (t) \ cdot dt}} }

unde am folosit produsul scalar al spațiului Hilbert: ^[1]

(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbf {s} _{1}(t)\cdot \mathbf {s} _{2}^{*}(t)\cdot dt

{\ displaystyle (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathbf {s} _ {1} (t ) \ cdot \ mathbf {s} _ {2} ^ {*} (t) \ cdot dt}

{\ displaystyle (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathbf {s} _ {1} (t ) \ cdot \ mathbf {s} _ {2} ^ {*} (t) \ cdot dt}

care are proprietățile:

(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})\geq 0\qquad (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=(\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{1})

{\ displaystyle (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) \ geq 0 \ qquad (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = (\ mathbf {s} _ {2}, \ mathbf {s} _ {1})}

{\ displaystyle (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) \ geq 0 \ qquad (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = (\ mathbf {s} _ {2}, \ mathbf {s} _ {1})}

(\alpha \cdot \mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\alpha (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})\qquad (\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{3})=(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{3})+(\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{3})

{\ displaystyle (\ alpha \ cdot \ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = \ alpha (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2 }) \ qquad (\ mathbf {s} _ {1} + \ mathbf {s} _ {2}, \ mathbf {s} _ {3}) = (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf { s} _ {3}) + (\ mathbf {s} _ {2}, \ mathbf {s} _ {3})}

{\ displaystyle (\ alpha \ cdot \ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = \ alpha (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2 }) \ qquad (\ mathbf {s} _ {1} + \ mathbf {s} _ {2}, \ mathbf {s} _ {3}) = (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf { s} _ {3}) + (\ mathbf {s} _ {2}, \ mathbf {s} _ {3})}

În special doi vectori $\mathbf {s} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s} _ {1}}$ Și $\mathbf {s} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s} _ {2}}$ acestea sunt numite ortogonale dacă conține:

(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=0

{\ displaystyle (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = 0}

{\ displaystyle (\ mathbf {s} _ {1}, \ mathbf {s} _ {2}) = 0}

Presupunând că avem o bază de vectori ortogonali, atunci aceștia pot fi normalizați împărțindu-i la norma lor astfel încât:

(\mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{j})=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{ se }}i=j\\0&{\mbox{ se }}i\neq j\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle (\ mathbf {u} _ {i}, \ mathbf {u} _ {j}) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} i = j \\ 0 & {\ mbox {se}} i \ neq j \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle (\ mathbf {u} _ {i}, \ mathbf {u} _ {j}) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} i = j \\ 0 & {\ mbox {se}} i \ neq j \ end {matrix}} \ right.}

și în acest fel se obține o bază ortonormală .

Reprezentarea spectrală se bazează pe faptul că orice funcție (semnal) definită într-un interval $[t_{1},t_{2}]$ ${\ displaystyle [t_ {1}, t_ {2}]}$ ${\ displaystyle [t_ {1}, t_ {2}]}$ poate fi dezvoltat în seria Fourier ca o combinație liniară de vectori $\mathbf {u} _{i}(t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {i} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {i} (t)}$ (la rândul său funcții ale timpului) aparținând unei baze ortonormale:

\mathbf {s} (t)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}\cdot \mathbf {u} _{i}(t)

{\ displaystyle \ mathbf {s} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} c_ {i} \ cdot \ mathbf {u} _ {i} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {s} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} c_ {i} \ cdot \ mathbf {u} _ {i} (t)}

unde coeficienții $c_{i}$ ${\ displaystyle c_ {i}}$ $Acolo}$ sunt determinate automat de produsul punct: ^[2]

\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {s} (t)\mathbf {u} _{j}(t)\,dt=(\mathbf {s} ,\mathbf {u} _{j})=c_{j}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {s} (t) \ mathbf {u} _ {j} (t) \, dt = (\ mathbf {s}, \ mathbf {u} _ {j}) = c_ {j}}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {s} (t) \ mathbf {u} _ {j} (t) \, dt = (\ mathbf {s}, \ mathbf {u} _ {j}) = c_ {j}}

Cea mai comună bază ortonormală este cea a funcțiilor exponențiale (definite în $[0,T]$ ${\ displaystyle [0, T]}$ $[0, T]$ ):

\{u_{n}=e^{int}\,:\,n\in \mathbb {Z} \,;\,t\in [0,T]\}

{\ displaystyle \ {u_ {n} = e ^ {int} \ ,: \, n \ in \ mathbb {Z} \ ,; \, t \ in [0, T] \}}

{\ displaystyle \ {u_ {n} = e ^ {int} \ ,: \, n \ in \ mathbb {Z} \ ,; \, t \ in [0, T] \}}

Reprezentarea semnalelor periodice

Același subiect în detaliu: seria Fourier .

Semnalele periodice sunt de așa natură încât $s(t)=s(t+T)$ ${\ displaystyle s (t) = s (t + T)}$ ${\ displaystyle s (t) = s (t + T)}$ , unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este perioada : acestea sunt semnalele care se repetă identic după un timp $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Luați în considerare un semnal periodic $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ continuu, a cărui serie Fourier este:

s(t)=\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}\cdot u_{m}(t)

{\ displaystyle s (t) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} c_ {m} \ cdot u_ {m} (t)}

{\ displaystyle s (t) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} c_ {m} \ cdot u_ {m} (t)}

unde este $c_{m}=(s,u_{m})$ ${\ displaystyle c_ {m} = (s, u_ {m})}$ ${\ displaystyle c_ {m} = (s, u_ {m})}$ sunt coeficienți determinabili cu produsul scalar și $\{u_{m}=e^{imt},m\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle \ {u_ {m} = e ^ {imt}, m \ in \ mathbb {Z} \}}$ ${\ displaystyle \ {u_ {m} = e ^ {imt}, m \ in \ mathbb {Z} \}}$ este baza ortonormală a funcțiilor exponențiale. De sine $\omega _{1}=2\pi /T$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} = 2 \ pi / T}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} = 2 \ pi / T}$ este pulsația fundamentală (cea mai mică frecvență a semnalului), sumarea anterioară ia forma: ^[3]

s(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(n\omega _{1}t)+b_{n}\sin(n\omega _{1}t)\right]

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} \ cos (n \ omega _ { 1} t) + b_ {n} \ sin (n \ omega _ {1} t) \ right]}

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} \ cos (n \ omega _ { 1} t) + b_ {n} \ sin (n \ omega _ {1} t) \ right]}

Primul termen este constant și toți ceilalți termeni sunt o combinație liniară de coeficienți adecvați $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ Și $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ a funcțiilor exponențiale. Pentru a determina coeficienții $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ Și $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ produsul dot este în general utilizat.

Constanta $a_{0}/2$ ${\ displaystyle a_ {0} / 2}$ ${\ displaystyle a_ {0} / 2}$ este egal cu valoarea medie a semnalului în perioada de definiție, de fapt:

\int _{-T/2}^{T/2}s(t)\,dt=\int _{-T/2}^{T/2}{\frac {a_{0}}{2}}\,dt+\int _{-T/2}^{T/2}\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(n\omega _{1}t)+b_{n}\sin(n\omega _{1}t)\right]dt={\frac {a_{0}}{2}}T

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \, dt = \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} {\ frac {a_ {0}} {2}} \, dt + \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} \ cos (n \ omega _ {1} t) + b_ {n} \ sin (n \ omega _ {1} t) \ right] dt = {\ frac {a_ {0}} {2}} T}

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \, dt = \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} {\ frac {a_ {0}} {2}} \, dt + \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} \ cos (n \ omega _ {1} t) + b_ {n} \ sin (n \ omega _ {1} t) \ right] dt = {\ frac {a_ {0}} {2}} T}

unde a doua integrală a celui de-al doilea termen dispare deoarece integrala pe o perioadă a funcțiilor exponențiale este zero prin simetrie. Prin urmare, avem:

{\frac {a_{0}}{2}}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}s(t)\,dt

{\ displaystyle {\ frac {a_ {0}} {2}} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \, dt}

{\ displaystyle {\ frac {a_ {0}} {2}} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \, dt}

adică valoarea medie a semnalului pe parcursul perioadei $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Pentru a determina coeficienții rămași $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ produsul scalar este executat:

\int _{t_{1}}^{t_{2}}s(t)\cdot u_{m}(t)\,dt=c_{m}=(s,u_{m})

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} s (t) \ cdot u_ {m} (t) \, dt = c_ {m} = (s, u_ {m})}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} s (t) \ cdot u_ {m} (t) \, dt = c_ {m} = (s, u_ {m})}

din care obținem:

\int _{-T/2}^{T/2}s(t)\cdot \cos(n\omega _{1}t)\,dt={\frac {a_{0}}{2}}\int _{-T/2}^{T/2}\cos(n\omega _{1}t)\,dt+\int _{-T/2}^{T/2}\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos ^{2}(n\omega _{1}t)+b_{n}\sin(n\omega _{1}t)\cos(n\omega _{1}t)\right]dt=\int _{-T/2}^{T/2}a_{n}\cos ^{2}(n\omega _{1}t)\,dt

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \ cdot \ cos (n \ omega _ {1} t) \, dt = {\ frac {a_ {0}} { 2}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ cos (n \ omega _ {1} t) \, dt + \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} \ cos ^ {2} (n \ omega _ {1} t) + b_ {n} \ sin (n \ omega _ {1} t) \ cos (n \ omega _ {1} t) \ right] dt = \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} a_ {n} \ cos ^ {2} (n \ omega _ { 1} t) \, dt}

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \ cdot \ cos (n \ omega _ {1} t) \, dt = {\ frac {a_ {0}} { 2}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ cos (n \ omega _ {1} t) \, dt + \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} \ cos ^ {2} (n \ omega _ {1} t) + b_ {n} \ sin (n \ omega _ {1} t) \ cos (n \ omega _ {1} t) \ right] dt = \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} a_ {n} \ cos ^ {2} (n \ omega _ { 1} t) \, dt}

Toți termenii cu sinus și cosinus sunt nuli în perioadă, la fel și termenii amestecați. Prin urmare:

\int _{-T/2}^{T/2}a_{n}\cos ^{2}(n\omega _{1}t)\,dt=a_{n}{\frac {T}{2}}

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} a_ {n} \ cos ^ {2} (n \ omega _ {1} t) \, dt = a_ {n} {\ frac { T} {2}}}

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} a_ {n} \ cos ^ {2} (n \ omega _ {1} t) \, dt = a_ {n} {\ frac { T} {2}}}

adică:

a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}s(t)\cdot \cos(n\omega _{1}t)\,dt

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \ cdot \ cos (n \ omega _ {1} t ) \, dt}

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \ cdot \ cos (n \ omega _ {1} t ) \, dt}

Pentru a determina coeficienții $b_{n}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ $b_ {n}$ produsul scalar este executat în același mod:

\int _{-T/2}^{T/2}s(t)\cdot \sin(n\omega _{1}t)\,dt=\int _{-T/2}^{T/2}b_{n}\sin ^{2}(n\omega _{1}t)\,dt

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \ cdot \ sin (n \ omega _ {1} t) \, dt = \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} b_ {n} \ sin ^ {2} (n \ omega _ {1} t) \, dt}

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \ cdot \ sin (n \ omega _ {1} t) \, dt = \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} b_ {n} \ sin ^ {2} (n \ omega _ {1} t) \, dt}

Toți termenii cu cosinus și sinus sunt nuli în perioadă, la fel și termenii amestecați. Prin urmare:

\int _{-T/2}^{T/2}b_{n}\sin ^{2}(n\omega _{1}t)\,dt=b_{n}{\frac {T}{2}}

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} b_ {n} \ sin ^ {2} (n \ omega _ {1} t) \, dt = b_ {n} {\ frac { T} {2}}}

{\ displaystyle \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} b_ {n} \ sin ^ {2} (n \ omega _ {1} t) \, dt = b_ {n} {\ frac { T} {2}}}

acesta este:

b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}s(t)\cdot \sin(n\omega _{1}t)\,dt

{\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \ cdot \ sin (n \ omega _ {1} t ) \, dt}

{\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \ cdot \ sin (n \ omega _ {1} t ) \, dt}

Proprietățile reprezentării seriei Fourier

În reprezentarea semnalului prin seria Fourier, un semnal periodic este descompus într-un set infinit de frecvențe multiple ale celei fundamentale $\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ , adică $\omega _{n}=n\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n} = n \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n} = n \ omega _ {1}}$ , și sunt numite armonice (termen care nu are legătură cu conceptul de funcție armonică ). Fiecare dintre aceste componente spectrale are o amplitudine egală cu:

A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}

{\ displaystyle A_ {n} = {\ sqrt {a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2}}}}

{\ displaystyle A_ {n} = {\ sqrt {a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2}}}}

și o fază inițială:

\varphi _{n}=\arctan {\frac {b_{n}}{a_{n}}}

{\ displaystyle \ varphi _ {n} = \ arctan {\ frac {b_ {n}} {a_ {n}}}}

{\ displaystyle \ varphi _ {n} = \ arctan {\ frac {b_ {n}} {a_ {n}}}}

Definire:

a_{n}=A_{n}\cdot \cos \varphi _{n}\,\,\,\,\,b_{n}=A_{n}\cdot \sin \varphi _{n}

{\ displaystyle a_ {n} = A_ {n} \ cdot \ cos \ varphi _ {n} \, \, \, \, \, b_ {n} = A_ {n} \ cdot \ sin \ varphi _ {n }}

{\ displaystyle a_ {n} = A_ {n} \ cdot \ cos \ varphi _ {n} \, \, \, \, \, b_ {n} = A_ {n} \ cdot \ sin \ varphi _ {n }}

puteți rescrie seria ca:

s(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cdot \cos(n\omega _{1}t-\varphi _{n})

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ cdot \ cos (n \ omega _ {1 } t- \ varphi _ {n})}

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ cdot \ cos (n \ omega _ {1 } t- \ varphi _ {n})}

Dacă semnalul este o funcție uniformă a timpului, adică dacă $s(t)=s(-t)$ ${\ displaystyle s (t) = s (-t)}$ ${\ displaystyle s (t) = s (-t)}$ , apoi toate armonicile care conțin sinusul (care este o funcție ciudată) se anulează. Deci seria devine:

s(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cdot \cos(n\omega _{1}t)

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ cdot \ cos (n \ omega _ {1 } t)}

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ cdot \ cos (n \ omega _ {1 } t)}

cu coeficienți:

a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}s(t)\cdot \cos(n\omega _{1}t)\,dt

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \ cdot \ cos (n \ omega _ {1} t ) \, dt}

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \ cdot \ cos (n \ omega _ {1} t ) \, dt}

În mod similar, dacă semnalul este o funcție ciudată a timpului, adică dacă $s(t)=-s(-t)$ ${\ displaystyle s (t) = - s (-t)}$ ${\ displaystyle s (t) = - s (-t)}$ , toate armonicile care conțin cosinusul se anulează (deci și valoarea medie) și seria devine:

s(t)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\cdot \sin(n\omega _{1}t)

{\ displaystyle s (t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ cdot \ sin (n \ omega _ {1} t)}

{\ displaystyle s (t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ cdot \ sin (n \ omega _ {1} t)}

cu coeficienți:

b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}s(t)\cdot \sin(n\omega _{1}t)\,dt

{\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \ cdot \ sin (n \ omega _ {1} t ) \, dt}

{\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) \ cdot \ sin (n \ omega _ {1} t ) \, dt}

Formă complexă a seriei Fourier

Formulele lui Euler pot fi folosite în continuare:

\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\,\,\,\,\,\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}

{\ displaystyle \ cos z = {\ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} {2}} \, \, \, \, \, \ sin z = {\ frac {e ^ {iz } -e ^ {- iz}} {2i}}}

{\ displaystyle \ cos z = {\ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} {2}} \, \, \, \, \, \ sin z = {\ frac {e ^ {iz } -e ^ {- iz}} {2i}}}

pentru a obține o formă alternativă la seria Fourier:

s(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}{\frac {e^{in\omega _{1}t}+e^{-in\omega _{1}t}}{2}}+b_{n}{\frac {e^{in\omega _{1}t}-e^{-in\omega _{1}t}}{2i}}\right]

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} {\ frac {e ^ {în \ omega _ {1} t} + e ^ {- în \ omega _ {1} t}} {2}} + b_ {n} {\ frac {e ^ {în \ omega _ {1} t} -e ^ {- în \ omega _ {1} t}} {2i}} \ right]}

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} {\ frac {e ^ {în \ omega _ {1} t} + e ^ {- în \ omega _ {1} t}} {2}} + b_ {n} {\ frac {e ^ {în \ omega _ {1} t} -e ^ {- în \ omega _ {1} t}} {2i}} \ right]}

termenul dintre paranteze poate fi rescris prin evidențierea exponențialelor:

a_{n}{\frac {e^{in\omega _{1}t}+e^{-in\omega _{1}t}}{2}}+b_{n}{\frac {e^{in\omega _{1}t}-e^{-in\omega _{1}t}}{2i}}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}e^{in\omega _{1}t}+{\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}e^{-in\omega _{1}t}

{\ displaystyle a_ {n} {\ frac {e ^ {în \ omega _ {1} t} + e ^ {- în \ omega _ {1} t}} {2}} + b_ {n} {\ frac {e ^ {in \ omega _ {1} t} -e ^ {- in \ omega _ {1} t}} {2i}} = {\ frac {a_ {n} -ib_ {n}} {2} } e ^ {in \ omega _ {1} t} + {\ frac {a_ {n} + ib_ {n}} {2}} e ^ {- in \ omega _ {1} t}}

{\ displaystyle a_ {n} {\ frac {e ^ {în \ omega _ {1} t} + e ^ {- în \ omega _ {1} t}} {2}} + b_ {n} {\ frac {e ^ {in \ omega _ {1} t} -e ^ {- in \ omega _ {1} t}} {2i}} = {\ frac {a_ {n} -ib_ {n}} {2} } e ^ {in \ omega _ {1} t} + {\ frac {a_ {n} + ib_ {n}} {2}} e ^ {- in \ omega _ {1} t}}

atâta timp cât:

{\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}s(t)e^{-in\omega _{1}t}\,dt

{\ displaystyle {\ frac {a_ {n} -ib_ {n}} {2}} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t ) și ^ {- în \ omega _ {1} t} \, dt}

{\ displaystyle {\ frac {a_ {n} -ib_ {n}} {2}} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t ) și ^ {- în \ omega _ {1} t} \, dt}

{\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}s(t)e^{in\omega _{1}t}\,dt

{\ displaystyle {\ frac {a_ {n} + ib_ {n}} {2}} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t ) și ^ {în \ omega _ {1} t} \, dt}

{\ displaystyle {\ frac {a_ {n} + ib_ {n}} {2}} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t ) și ^ {în \ omega _ {1} t} \, dt}

Noii coeficienți sunt:

c_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}\,\,\,\,c_{n}^{*}=c_{-n}={\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {a_ {n} -ib_ {n}} {2}} \, \, \, \, c_ {n} ^ {*} = c _ {- n} = {\ frac {a_ {n} + ib_ {n}} {2}}}

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {a_ {n} -ib_ {n}} {2}} \, \, \, \, c_ {n} ^ {*} = c _ {- n} = {\ frac {a_ {n} + ib_ {n}} {2}}}

Prin aceste transformări matematice putem rescrie seria Fourier ca:

s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot e^{in\omega _{1}t}

{\ displaystyle s (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} \ cdot e ^ {în \ omega _ {1} t}}

{\ displaystyle s (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} \ cdot e ^ {în \ omega _ {1} t}}

unde este:

c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}s(t)e^{-in\omega _{1}t}\,dt

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) e ^ {- în \ omega _ {1} t} \, dt}

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} s (t) e ^ {- în \ omega _ {1} t} \, dt}

Rețineți că seria este definită și pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ negativ.

Reprezentarea semnalelor non-periodice

Reprezentarea semnalelor non-periodice se realizează și folosind baza ortonormală formată din funcțiile armonice, cu condiția ca funcția non-periodică să scadă la infinit cu o regularitate suficientă. Această constrângere se datorează faptului că metoda utilizată pentru reprezentarea în frecvență constă în construirea unui semnal periodic dat de repetarea infinită a unui semnal non-periodic, care trebuie definit într-un interval de timp dincolo de care este nul.

Reprezentarea semnalelor non-periodice are loc de obicei prin utilizarea transformatei Fourier sau a transformării Laplace , care oferă o scriere de tipul:

s(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }\phi (\omega )\cdot e^{i\omega t}\,d\omega

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ phi (\ omega) \ cdot e ^ {i \ omega t} \, d \ omega}

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ phi (\ omega) \ cdot e ^ {i \ omega t} \, d \ omega}

unde funcția $\phi (\omega )$ ${\ displaystyle \ phi (\ omega)}$ $\ phi (\ omega)$ se numește densitate spectrală și este egală cu antitransforma : ^[4]

\phi (\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt

{\ displaystyle \ phi (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) \ cdot e ^ {- i \ omega t} \, dt}

{\ displaystyle \ phi (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) \ cdot e ^ {- i \ omega t} \, dt}

Aceste relații sunt valabile în anumite condiții, dintre care cea mai importantă este că există și a ajuns peste tot:

\int _{-\infty }^{+\infty }|f(t)|\,dt<+\infty

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | f (t) | \, dt <+ \ infty}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | f (t) | \, dt <+ \ infty}

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ înseamnă $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ sau $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . Dacă această condiție este validă, transformarea $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ și anti-transformarea $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ sunt funcții continue, mărginite și următoarele sunt valabile:

\int _{-\infty }^{+\infty }|s(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{+\infty }|\phi (\omega )|^{2}\,d\omega

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | s (t) | ^ {2} \, dt = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | \ phi (\ omega) | ^ {2} \, d \ omega}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | s (t) | ^ {2} \, dt = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | \ phi (\ omega) | ^ {2} \, d \ omega}

Proprietățile transformării

Liniaritatea transformării integralei rezultă imediat din liniaritatea integralei. Explicit, denotând cu ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ operatorul transformat are:

{\mathcal {F}}(\alpha f+\beta g)=\alpha {\mathcal {F}}(f)+\beta {\mathcal {F}}(g)

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ alpha f + \ beta g) = \ alpha {\ mathcal {F}} (f) + \ beta {\ mathcal {F}} (g)}

{\ mathcal {F}} (\ alpha f + \ beta g) = \ alpha {\ mathcal {F}} (f) + \ beta {\ mathcal {F}} (g)

pentru fiecare $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle f, g \ în L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle f, g \ în L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ Și $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {C}}$ .

Spectrul derivatei și al integralei

Derivata semnalului în timp corespunde, în domeniul frecvenței, multiplicării cu $i\omega$ ${\ displaystyle i \ omega}$ ${\ displaystyle i \ omega}$ a transformării semnalului nederivat. Într-adevăr, fie el $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ un semnal e $S(\omega )$ ${\ displaystyle S (\ omega)}$ ${\ displaystyle S (\ omega)}$ sa transformat. Atunci derivata semnalului este:

\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {ds(t)}{dt}}e^{-i\omega t}\,dt=\left[se^{-i\omega t}\right]_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\left[-i\omega e^{-i\omega t}\right]dt=0+i\omega S(\omega )

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {ds (t)} {dt}} e ^ {- i \ omega t} \, dt = \ left [if ^ {- i \ omega t} \ right] _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} - \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) \ left [-i \ omega e ^ {- i \ omega t} \ right] dt = 0 + i \ omega S (\ omega)}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {ds (t)} {dt}} e ^ {- i \ omega t} \, dt = \ left [if ^ {- i \ omega t} \ right] _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} - \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) \ left [-i \ omega e ^ {- i \ omega t} \ right] dt = 0 + i \ omega S (\ omega)}

De aici și transformarea $ds(t)/dt$ ${\ displaystyle ds (t) / dt}$ ${\ displaystyle ds (t) / dt}$ Și $i\omega S(\omega )$ ${\ displaystyle i \ omega S (\ omega)}$ ${\ displaystyle i \ omega S (\ omega)}$ și transformarea $d^{n}s(t)/dt^{n}$ ${\ displaystyle d ^ {n} s (t) / dt ^ {n}}$ ${\ displaystyle d ^ {n} s (t) / dt ^ {n}}$ Și $(i\omega )^{n}S(\omega )$ ${\ displaystyle (i \ omega) ^ {n} S (\ omega)}$ ${\ displaystyle (i \ omega) ^ {n} S (\ omega)}$ .

Spectrul integralei unui semnal este dat în schimb de împărțirea prin $i\omega$ ${\ displaystyle i \ omega}$ ${\ displaystyle i \ omega}$ a transformării semnalului (neintegrată). Este $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ un semnal e $S(\omega )$ ${\ displaystyle S (\ omega)}$ ${\ displaystyle S (\ omega)}$ transformarea sa, apoi transformarea integralei semnalului:

\int _{-\infty }^{t}s(\tau )d\tau

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {t} s (\ tau) d \ tau}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {t} s (\ tau) d \ tau}

este raportul:

{\frac {1}{i\omega }}S(\omega )

{\ displaystyle {\ frac {1} {i \ omega}} S (\ omega)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {i \ omega}} S (\ omega)}

Produs din două semnale

O caracteristică deosebit de utilă a reprezentării spectrale este că convoluția a două funcții în timp este echivalentă cu produsul algebric al transformărilor lor în domeniul frecvenței. Într-adevăr, scriind transformarea produsului $s(t)=u(t)\cdot v(t)$ ${\ displaystyle s (t) = u (t) \ cdot v (t)}$ ${\ displaystyle s (t) = u (t) \ cdot v (t)}$ a două semnale precum:

S(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }u(t)\cdot v(t)e^{-i\omega t}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }u(t)\left[\int _{-\infty }^{+\infty }V(\xi )e^{i\xi t}\,d\xi \right]e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }V(\xi )\left[\int _{-\infty }^{+\infty }u(t)e^{-i(\omega -\xi )t}\,dt\right]d\xi

{\ displaystyle S (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} u (t) \ cdot v (t) e ^ {- i \ omega t} dt = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} u (t) \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} V (\ xi) e ^ {i \ xi t} \, d \ xi \ right] e ^ {- i \ omega t} \, dt = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } V (\ xi) \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} u (t) e ^ {- i (\ omega - \ xi) t} \, dt \ right] d \ xi }

{\ displaystyle S (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} u (t) \ cdot v (t) e ^ {- i \ omega t} dt = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} u (t) \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} V (\ xi) e ^ {i \ xi t} \, d \ xi \ right] e ^ {- i \ omega t} \, dt = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } V (\ xi) \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} u (t) e ^ {- i (\ omega - \ xi) t} \, dt \ right] d \ xi }

unde în primul pas funcția de pornire a fost scrisă ca antitransformă a transformării (între paranteze pătrate), în timp ce în al doilea termenul între paranteze pătrate este transformarea $U(\omega -\xi )$ ${\ displaystyle U (\ omega - \ xi)}$ ${\ displaystyle U (\ omega - \ xi)}$ a funcției $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ tradus prin multiplicare prin exponențial. Prin urmare:

S(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }V(\xi )\cdot U(\omega -\xi )d\xi

{\ displaystyle S (\ omega) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} V (\ xi) \ cdot U (\ omega - \ xi) d \ xi}

{\ displaystyle S (\ omega) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} V (\ xi) \ cdot U (\ omega - \ xi) d \ xi}

această integrală este un produs al convoluției și este scrisă simbolic ca:

s(t)=u(t)\cdot v(t)\qquad S(\omega )=U(\omega )*V(\omega )

{\ displaystyle s (t) = u (t) \ cdot v (t) \ qquad S (\ omega) = U (\ omega) * V (\ omega)}

{\ displaystyle s (t) = u (t) \ cdot v (t) \ qquad S (\ omega) = U (\ omega) * V (\ omega)}

Inversul este, de asemenea, adevărat, dacă avem produsul obișnuit din două spectre:

S_{1}(\omega )\cdot S_{2}(\omega )\qquad s_{1}(t)*s_{2}(t)

{\ displaystyle S_ {1} (\ omega) \ cdot S_ {2} (\ omega) \ qquad s_ {1} (t) * s_ {2} (t)}

{\ displaystyle S_ {1} (\ omega) \ cdot S_ {2} (\ omega) \ qquad s_ {1} (t) * s_ {2} (t)}

Paritate

Transformarea unui semnal real $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ poate fi scris generic ca:

S(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\,\cos(\omega t)\,dt-i\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\,\sin(\omega t)\,dt=A(\omega )-iB(\omega )

{\ displaystyle S (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) \, \ cos (\ omega t) \, dt-i \ cdot \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} s (t) \, \ sin (\ omega t) \, dt = A (\ omega) -iB (\ omega)}

{\ displaystyle S (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} s (t) \, \ cos (\ omega t) \, dt-i \ cdot \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} s (t) \, \ sin (\ omega t) \, dt = A (\ omega) -iB (\ omega)}

cu $A(\omega )=A(-\omega )$ ${\ displaystyle A (\ omega) = A (- \ omega)}$ ${\ displaystyle A (\ omega) = A (- \ omega)}$ este partea reală a transformării și este o funcție uniformă, în timp ce $B(\omega )=-B(-\omega )$ ${\ displaystyle B (\ omega) = - B (- \ omega)}$ ${\ displaystyle B (\ omega) = - B (- \ omega)}$ este partea imaginară a spectrului și este o funcție ciudată . Dacă se efectuează antitransformarea, semnalul real se obține din nou în timp:

s(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }[A(\omega )-iB(\omega )]\cdot [\cos(\omega t)+i\cdot \sin(\omega t)]\,d\omega

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} [A (\ omega) -iB (\ omega)] \ cdot [ \ cos (\ omega t) + i \ cdot \ sin (\ omega t)] \, d \ omega}

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} [A (\ omega) -iB (\ omega)] \ cdot [ \ cos (\ omega t) + i \ cdot \ sin (\ omega t)] \, d \ omega}

Prin dezvoltarea produsului în cadrul integralei avem:

s(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }[A(\omega )\cos(\omega t)+B(\omega )\sin(\omega t)]+i\cdot [A(\omega )\sin(\omega t)-B(\omega )\cos(\omega t)]\,d\omega

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} [A (\ omega) \ cos (\ omega t) + B ( \ omega) \ sin (\ omega t)] + i \ cdot [A (\ omega) \ sin (\ omega t) -B (\ omega) \ cos (\ omega t)] \, d \ omega}

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} [A (\ omega) \ cos (\ omega t) + B ( \ omega) \ sin (\ omega t)] + i \ cdot [A (\ omega) \ sin (\ omega t) -B (\ omega) \ cos (\ omega t)] \, d \ omega}

Pentru ca semnalul să fie real, trebuie să se întâmple în mod necesar ca partea reală și imaginară să fie ambele nule, adică:

\int _{-\infty }^{+\infty }A(\omega )\sin(\omega t)\,d\omega =0\,\,\,\,\,\int _{-\infty }^{+\infty }B(\omega )\cos(\omega t)\,d\omega t=0

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} A (\ omega) \ sin (\ omega t) \, d \ omega = 0 \, \, \, \, \, \ int _ { - \ infty} ^ {+ \ infty} B (\ omega) \ cos (\ omega t) \, d \ omega t = 0}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} A (\ omega) \ sin (\ omega t) \, d \ omega = 0 \, \, \, \, \, \ int _ { - \ infty} ^ {+ \ infty} B (\ omega) \ cos (\ omega t) \, d \ omega t = 0}

iar această condiție este îndeplinită numai dacă partea reală este pară și partea imaginară este ciudată. Reversul este, de asemenea, adevărat, deci dacă partea reală a transformării unui semnal este pară și partea imaginară este impară, atunci se obține un semnal real.

Notă

^ S. Lang , pagina 158 .
^ W. Rudin , pagina 89 .
^ W. Rudin , pagina 88 .
^ W. Rudin , pagina 180 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară, Torino, Bollati Basic Books, 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

Portal de inginerie

Portalul de matematică

[1] S. Lang , pagina 158 .

[2] W. Rudin , pagina 89 .

[3] W. Rudin , pagina 88 .

[4] W. Rudin , pagina 180 .

[1]

[2]

[3]

[4]