Reacție-difuzie

Modelul matematic de reacție-difuzie este ecuația parabolică a cărei omogenă asociată este ecuația de difuzie : termenul sursă se numește „termen de reacție”, deoarece în cea mai frecventă aplicație, unde funcția necunoscută este concentrația unui compus, este asociată cu un reacție chimică la care participă compusul. Ecuația este utilizată atât pentru a descrie concentrația unei reacții chimice, cât și pentru a caracteriza difuzia materiei în spațiu.

Modelul general constă în ecuația căldurii (ecuația difuziei) cu funcție necunoscută $u(x,t)$ ${\ displaystyle u (x, t)}$ $u (x, t)$ în care există un termen neomogen $f(u,x,t)$ ${\ displaystyle f (u, x, t)}$ ${\ displaystyle f (u, x, t)}$ , adică:

{\frac {\partial u}{\partial t}}-d\nabla ^{2}u=f(u,x,t)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - d \ nabla ^ {2} u = f (u, x, t)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - d \ nabla ^ {2} u = f (u, x, t)}

unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este coeficientul de difuzie ( difuzivitatea materiei ). Această relație este cunoscută sub numele de ecuație reacție-difuzie .

Datorită termenului de reacție neomogen $f(u,x,t)$ ${\ displaystyle f (u, x, t)}$ ${\ displaystyle f (u, x, t)}$ , în general, ecuația nu este supusă unui principiu global de conservare a cantității $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este densitatea.

O componentă

Cea mai simplă versiune a ecuației se referă la concentrare $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ dintr-o singură substanță într-o singură dimensiune:

\partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u)

{\ displaystyle \ partial _ {t} u = D \ partial _ {x} ^ {2} u + R (u)}

{\ displaystyle \ partial _ {t} u = D \ partial _ {x} ^ {2} u + R (u)}

cunoscută în literatura engleză sub numele de ecuația KPP (Kolmogorov-Petrovsky-Piskounov). ^[1]

Dacă termenul de reacție dispare, se obține un proces de difuzie pur, a cărui ecuație corespunzătoare este a doua lege a lui Fick .
De sine $R(u)=u(1-u)$ ${\ displaystyle R (u) = u (1-u)}$ ${\ displaystyle R (u) = u (1-u)}$ obținem ecuația Fisher , utilizată inițial pentru a descrie răspândirea pe teritoriul unei populații biologice. ^[2]
În schimb, avem ecuația Newell-Whitehead-Segel când $R(u)=u(1-u^{2})$ ${\ displaystyle R (u) = u (1-u ^ {2})}$ ${\ displaystyle R (u) = u (1-u ^ {2})}$ , care permite descrierea convecției Rayleigh-Benard . ^[3] ^[4]
Cu $R(u)=u(1-u)(u-\alpha )$ ${\ displaystyle R (u) = u (1-u) (u- \ alpha)}$ ${\ displaystyle R (u) = u (1-u) (u- \ alpha)}$ Și $0<\alpha <1$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha <1}$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha <1}$ există ecuația mai generală a lui Zeldovich, utilizată în teoria arderii . ^[5] Cazul degenerat particular este uneori identificat cu același nume $R(u)=u^{2}-u^{3}$ ${\ displaystyle R (u) = u ^ {2} -u ^ {3}}$ ${\ displaystyle R (u) = u ^ {2} -u ^ {3}}$ . ^[6]

Ecuația lui Fisher

Același subiect în detaliu: ecuația lui Fisher (matematică) .

Un caz particular al modelului general de reacție-difuzie, care poate fi considerat o extensie a ecuației logistice care ia în considerare difuzia spațială, a fost propus de Fisher:

{\frac {\partial u}{\partial t}}-d\nabla ^{2}u=au-bu^{2}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - d \ nabla ^ {2} u = au-bu ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - d \ nabla ^ {2} u = au-bu ^ {2}}

unde termenul de reacție este descris prin contribuția neliniară $f(u)=au-bu^{2}$ ${\ displaystyle f (u) = au-bu ^ {2}}$ ${\ displaystyle f (u) = au-bu ^ {2}}$ , compusă din generația malthusiană , care este proporțională cu densitatea $la tu$ ${\ displaystyle au}$ ${\ displaystyle au}$ , și limitarea neliniară $-bu^{2}$ ${\ displaystyle -bu ^ {2}}$ ${\ displaystyle -bu ^ {2}}$ la creșterea densității $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , proporțional cu pătratul densității. Acest termen definește o valoare critică locală a densității $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ dat de $u^{*}=a/b$ ${\ displaystyle u ^ {*} = a / b}$ ${\ displaystyle u ^ {*} = a / b}$ , pentru care termenul de reacție este anulat și procesul devine local de difuzie pură. Această densitate critică definește limita locală superioară, dincolo de care densitatea nu poate crește în condiții stabile.

Sistem bicomponent

O idee propusă inițial de Alan Turing este că o stare stabilă în sistemul local ar putea deveni instabilă în prezența difuziei. ^[7]

Cu toate acestea, o analiză de stabilitate liniară arată că prin linearizarea sistemului cu două componente:

{\begin{pmatrix}\partial _{t}u&\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ partial _ {t} u & \ partial _ {t} v \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} D_ {u} & 0 \\ 0 & D_ {v } \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ partial _ {xx} u \\\ partial _ {xx} v \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} F (u, v) \\ G (u, v) \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ partial _ {t} u & \ partial _ {t} v \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} D_ {u} & 0 \\ 0 & D_ {v } \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ partial _ {xx} u \\\ partial _ {xx} v \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} F (u, v) \\ G (u, v) \ end {pmatrix}}}

o tulburare ${\tilde {\boldsymbol {q}}}_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ boldsymbol {q}}} _ {\ boldsymbol {k}} ({\ boldsymbol {x}}, t)}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ boldsymbol {q}}} _ {\ boldsymbol {k}} ({\ boldsymbol {x}}, t)}$ unda plană a soluției staționare și omogene:

{\tilde {\boldsymbol {q}}}_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}

{\ displaystyle {\ tilde {\ boldsymbol {q}}} _ {\ boldsymbol {k}} ({\ boldsymbol {x}}, t) = {\ begin {pmatrix} {\ tilde {u}} (t) \\ {\ tilde {v}} (t) \ end {pmatrix}} e ^ {i {\ boldsymbol {k}} \ cdot {\ boldsymbol {x}}}}

{\ displaystyle {\ tilde {\ boldsymbol {q}}} _ {\ boldsymbol {k}} ({\ boldsymbol {x}}, t) = {\ begin {pmatrix} {\ tilde {u}} (t) \\ {\ tilde {v}} (t) \ end {pmatrix}} e ^ {i {\ boldsymbol {k}} \ cdot {\ boldsymbol {x}}}}

satisface:

{\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}+{\boldsymbol {R}}^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ partial _ {t} {\ tilde {u}} _ {\ boldsymbol {k}} (t) \\\ partial _ {t} {\ tilde {v}} _ { \ boldsymbol {k}} (t) \ end {pmatrix}} = - k ^ {2} {\ begin {pmatrix} D_ {u} {\ tilde {u}} _ {\ boldsymbol {k}} (t) \\ D_ {v} {\ tilde {v}} _ {\ boldsymbol {k}} (t) \ end {pmatrix}} + {\ boldsymbol {R}} ^ {\ prime} {\ begin {pmatrix} { \ tilde {u}} _ {\ boldsymbol {k}} (t) \\ {\ tilde {v}} _ {\ boldsymbol {k}} (t) \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ partial _ {t} {\ tilde {u}} _ {\ boldsymbol {k}} (t) \\\ partial _ {t} {\ tilde {v}} _ { \ boldsymbol {k}} (t) \ end {pmatrix}} = - k ^ {2} {\ begin {pmatrix} D_ {u} {\ tilde {u}} _ {\ boldsymbol {k}} (t) \\ D_ {v} {\ tilde {v}} _ {\ boldsymbol {k}} (t) \ end {pmatrix}} + {\ boldsymbol {R}} ^ {\ prime} {\ begin {pmatrix} { \ tilde {u}} _ {\ boldsymbol {k}} (t) \\ {\ tilde {v}} _ {\ boldsymbol {k}} (t) \ end {pmatrix}}}

Ideea lui Turing poate fi realizată în patru clase de echivalență a sistemelor, caracterizate prin semne diferite ale matricei iacobiene ${\boldsymbol {R}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}}}$ a funcției de reacție.

Exemplu de „Brussiatore”

Lasa-i sa fie $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ Și $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ densitatea a două substanțe chimice $X_{1}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ Și $X_{2}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$ $X_ {2}$ interacționând conform reacției chimice studiate de G. Nicolis și Prigogine (1977):

\mathrm {A} \longrightarrow _{k_{1}}\mathrm {X_{1}}

{\ displaystyle \ mathrm {A} \ longrightarrow _ {k_ {1}} \ mathrm {X_ {1}}}

{\ displaystyle \ mathrm {A} \ longrightarrow _ {k_ {1}} \ mathrm {X_ {1}}}

\mathrm {2X_{1}} +\mathrm {X_{2}} \longrightarrow _{k_{2}}\mathrm {3X_{1}}

{\ displaystyle \ mathrm {2X_ {1}} + \ mathrm {X_ {2}} \ longrightarrow _ {k_ {2}} \ mathrm {3X_ {1}}}

{\ displaystyle \ mathrm {2X_ {1}} + \ mathrm {X_ {2}} \ longrightarrow _ {k_ {2}} \ mathrm {3X_ {1}}}

\mathrm {B} +\mathrm {X_{1}} \longrightarrow _{k_{3}}\mathrm {X_{2}} +\mathrm {C}

{\ displaystyle \ mathrm {B} + \ mathrm {X_ {1}} \ longrightarrow _ {k_ {3}} \ mathrm {X_ {2}} + \ mathrm {C}}

{\ displaystyle \ mathrm {B} + \ mathrm {X_ {1}} \ longrightarrow _ {k_ {3}} \ mathrm {X_ {2}} + \ mathrm {C}}

\mathrm {X_{1}} \longrightarrow _{k_{4}}\mathrm {D}

{\ displaystyle \ mathrm {X_ {1}} \ longrightarrow _ {k_ {4}} \ mathrm {D}}

{\ displaystyle \ mathrm {X_ {1}} \ longrightarrow _ {k_ {4}} \ mathrm {D}}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ desemnați substanțe a căror concentrație este menținută constantă în timpul reacției, atunci avem următoarele ecuații diferențiale parțiale:

{\frac {\partial x_{1}}{\partial t}}-d_{1}\nabla ^{2}x_{1}=k_{1}a-(k_{4}+k_{3}b)x_{1}+k_{2}x_{1}^{2}x_{2}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial x_ {1}} {\ partial t}} - d_ {1} \ nabla ^ {2} x_ {1} = k_ {1} a- (k_ {4} + k_ { 3} b) x_ {1} + k_ {2} x_ {1} ^ {2} x_ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial x_ {1}} {\ partial t}} - d_ {1} \ nabla ^ {2} x_ {1} = k_ {1} a- (k_ {4} + k_ { 3} b) x_ {1} + k_ {2} x_ {1} ^ {2} x_ {2}}

{\frac {\partial x_{2}}{\partial t}}-d_{2}\nabla ^{2}x_{2}=k_{3}bx_{1}-k_{2}x_{1}^{2}x_{2}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial x_ {2}} {\ partial t}} - d_ {2} \ nabla ^ {2} x_ {2} = k_ {3} bx_ {1} -k_ {2} x_ {1} ^ {2} x_ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial x_ {2}} {\ partial t}} - d_ {2} \ nabla ^ {2} x_ {2} = k_ {3} bx_ {1} -k_ {2} x_ {1} ^ {2} x_ {2}}

Acest model ia numele de Brussiatore .

Notă

^ A. Kolmogorov și colab., Moscova Univ. Bull. Matematica. A 1 (1937): 1
^ RA Fisher, Ann. Eug. 7 (1937): 355
^ AC Newell și JA Whitehead, J. Fluid Mech. 38 (1969): 279
^ LA Segel, J. Fluid Mech. 38 (1969): 203
^ YB Zeldovich și DA Frank-Kamenetsky, Acta Physicochim. 9 (1938): 341
^ BH Gilding și R. Kersner, Traveling Waves in Nonlinear Diffusion Convection Reaction, Birkhäuser (2004)
^ AM Turing, Phil. Tranzactie. Royal Soc. B 237 (1952): 37

Bibliografie

(EN) Fisher, RA, „Valul avansat al genelor avantajoase”, Annals of Eugenics, 7: 355-369, 1937.
( EN ) Kaliappan, P. "O soluție exactă pentru valurile călătoare ale $u_{t}==Du_{(}xx)+u-u^{k}.$ ${\ displaystyle u_ {t} == Du _ {(} xx) + uu ^ {k}.}$ ${\ displaystyle u_ {t} == Du _ {(} xx) + u-u ^ {k}.}$ "Physica D 11, 368-374, 1984.
( EN ) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, ediția a III-a. Boston, MA: Academic Press, p. 131, 1997.

Elemente conexe

Controlul autorității	LCCN (EN) sh90003490 · GND (DE) 4323967-5 · BNF (FR) cb12286340z (data)

Portalul de biologie	Portalul chimiei
Portalul de fizică	Portalul de matematică

[1] A. Kolmogorov și colab., Moscova Univ. Bull. Matematica. A 1 (1937): 1

[2] RA Fisher, Ann. Eug. 7 (1937): 355

[3] AC Newell și JA Whitehead, J. Fluid Mech. 38 (1969): 279

[4] LA Segel, J. Fluid Mech. 38 (1969): 203

[5] YB Zeldovich și DA Frank-Kamenetsky, Acta Physicochim. 9 (1938): 341

[6] BH Gilding și R. Kersner, Traveling Waves in Nonlinear Diffusion Convection Reaction, Birkhäuser (2004)

[7] AM Turing, Phil. Tranzactie. Royal Soc. B 237 (1952): 37

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]