Constrângere

O constrângere este o condiție care limitează mișcarea unui corp . În mecanică , deoarece doar forțele sunt capabile să modifice starea de repaus sau mișcare a unui sistem, acțiunea constrângerilor se aplică printr-un set de forțe, numite forțe de constrângere sau reacții de constrângere, care acționează asupra punctelor sistemului, limitându-și motocicleta.

Tipuri de constrângeri

Prezența constrângerilor se traduce prin relații funcționale între coordonatele generalizate , nu neapărat coordonatele carteziene , care generează spațiul configurațiilor în cadrul cărora este descrisă mișcarea sistemului.

În funcție de tipul de legătură de coordonate, constrângerile sunt împărțite în:

constrângeri holonomice și bilaterale : dacă relația funcțională este de tipul $f({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},...,{\vec {r}}_{n},t)=0$ ${\ displaystyle f ({\ vec {r}} _ {1}, {\ vec {r}} _ {2}, ..., {\ vec {r}} _ {n}, t) = 0}$ $f ({\ vec r} _ {1}, {\ vec r} _ {2}, ..., {\ vec r} _ {n}, t) = 0$ , adică constrângerea depinde de poziție și eventual de timp ;
constrângeri holonomice integrabile : dacă acestea depind de viteze și pot fi urmărite înapoi la poziții, până la o constantă, prin intermediul integralelor ; exemplu: o tijă rigidă fixată la un capăt
constrângeri nonholonomice : toate cele care nu satisfac relații funcționale de tipul de mai sus. exemplu: o sferă care se rostogolește fără să se târască pe un plan orizontal
constrângeri unilaterale sau unilaterale în cazul în care relația funcțională este de tipul $f({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},...,{\vec {r}}_{n},t)\leq 0$ ${\ displaystyle f ({\ vec {r}} _ {1}, {\ vec {r}} _ {2}, ..., {\ vec {r}} _ {n}, t) \ leq 0 }$ $f ({\ vec r} _ {1}, {\ vec r} _ {2}, ..., {\ vec r} _ {n}, t) \ leq 0$ sau se menține inegalitatea opusă. Această inegalitate definește un domeniu a cărui graniță este ecuația respectivă pentru constrângeri bilaterale; în cazul unei suprafețe închise domeniul poate fi extern sau intern în funcție de semnul inegalității. Combinând ecuații și inegalități, se obțin constrângeri holonomice unilaterale, adică constrângeri care limitează spațiul configurațiilor accesibile, constând dintr-o suprafață cu o margine sau un arc al unei curbe. Exemplu: solul.

În funcție de dependența de timp, constrângerile sunt împărțite în:

constrângeri scleronomice sau fixe dacă nu depind de timp; exemplu: o tijă rigidă fixată la un capăt
constrângeri reonomice sau mobile dacă acestea depind de timp. Exemplu: un inel care se rotește la o viteză unghiulară fixă.

În funcție de reacția de legare pe care o produc:

constrângeri netede dacă reacția de constrângere este întotdeauna direcționată de-a lungul direcției componentei cinematice constrânse;
constrângeri aspre dacă reacția de constrângere are și componente de-a lungul direcțiilor componentelor cinematice nelimitate.

În mecanica rațională constrângerile sunt descrise prin relații funcționale care leagă coordonatele ${\vec {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec x}$ a sistemului mecanic.

Sisteme constrânse

Același subiect în detaliu: Statica structurilor § Sisteme constrânse .

Un sistem constrâns este un sistem mecanic supus constrângerilor cinematice. Condițiile de constrângere sunt reprezentate prin relații funcționale care pot fi interpretate în sens geometric. În cazul unui sistem mecanic format din N puncte materiale, un sistem de constrângeri m holonomice și bilaterale are următoarea reprezentare

f_{1}({\vec {x}})=0,\dots ,{\vec {f}}_{m}({\vec {x}})=0

{\ displaystyle f_ {1} ({\ vec {x}}) = 0, \ dots, {\ vec {f}} _ {m} ({\ vec {x}}) = 0}

f_ {1} ({\ vec x}) = 0, \ dots, {\ vec f} _ {m} ({\ vec x}) = 0

Aceasta poate fi interpretată geometric ca reprezentarea matematică a unei suprafețe sub formă implicită cufundată în spațiul 3N- dimensional al coordonatelor sistemului

${\vec {x}}=(x_{1},y_{1},z_{1},\dots \,x_{N},y_{N},z_{N})\in \mathbb {R} ^{3N}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}, \ dots \, x_ {N}, y_ {N}, z_ {N}) \ in \ mathbb {R} ^ {3N}}$ ${\ vec x} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}, \ dots \, x_ {N}, y_ {N}, z_ {N}) \ in {\ mathbb {R}} ^ {{3N}}$

Această suprafață are dimensiune $n=3N-m$ ${\ displaystyle n = 3N-m}$ $n = 3N-m$ , și n este numărul de grade de libertate a sistemului. Suprafața în sine este numită spațiul de configurare a sistemului .

Un sistem cu n grade de libertate are n coordonate independente care, în formalismul lagrangian , reprezintă $n=3N-r$ ${\ displaystyle n = 3N-r}$ $n = 3N-r$ coordonatele generalizate ale sistemului.

Exemple de constrângeri

O particulă constrânsă să se deplaseze pe o linie dreaptă , coordonatele sale x și y (de exemplu carteziene ) sunt legate de o relație precum: $y=mx+p$ ${\ displaystyle y = mx + p}$ $y = mx + p$ . Constrângere tipic holonomică.
O particulă constrânsă să se miște pe o suprafață a spațiului: $f(x,y,z)=0$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = 0}$ $f (x, y, z) = 0$ .
O particulă care se poate mișca în spațiul de deasupra unui plan este un tip de constrângere unilaterală reprezentată de o inegalitate evidentă.
Căruciorul (sau suportul simplu ), o constrângere simplă care împiedică mișcarea punctului constrâns de-a lungul axei ortogonale către planul de alunecare al căruciorului. Oferă corpului două libertăți de mișcare: translația de-a lungul planului glisant al căruciorului și rotația în jurul punctului constrâns. Reacția de constrângere corespunde unei forțe aplicate în punctul constrâns și direcționată de-a lungul direcției ortogonale către planul de alunecare. Centrul de rotație instantanee poate fi oricare dintre punctele aparținând axei ortogonale planului de alunecare.
Balama , o dublă constrângere care previne deplasarea punctului constrâns de-a lungul oricărei direcții a planului problemei. Lăsați corpul liber să se rotească în jurul punctului în sine. Reacționează cu o forță aplicată punctului și direcționată în funcție de orice direcție aparținând planului problemei: această forță poate fi reprezentată de cele două componente ale sale pe două axe ortogonale. Centrul de rotație instantaneu coincide cu balama în sine.
Blocarea , o triplă constrângere care împiedică corpul atât de componentele de translație, cât și de cele de rotație. Reacționează prin două componente de forță în două direcții diferite și o pereche. Nu există un centru de rotație instantanee, deoarece articulația nu permite mișcarea.
Pendulul (sau biela) este o constrângere simplă echivalentă cu căruciorul: împiedică mișcarea punctului constrâns de-a lungul axei bielei și permite corpului să se deplaseze ortogonal către această axă și să se rotească în jurul punctului. Reacționează cu o forță aplicată punctului și direcționată de-a lungul axei bielei. Centrul de rotație instantanee, ca în cazul căruciorului, poate fi oricare dintre punctele aparținând axei ortogonale planului de alunecare.
Pendulul dublu dublu (sau pendulul dublu sau pendulul cvadruplu sau pendulul sau pantograful necorespunzător) este o constrângere simplă care previne rotațiile corpului. Lasă corpul liber să traducă. Reacționează printr-un cuplu. Centrul de rotație instantanee sunt toate punctele necorespunzătoare ale planului.
Constrângerea de rulare pură este un exemplu de constrângere holonomică integrabilă, deoarece chiar dacă impune că viteza la punctul de rotație instantanee este zero, o relație poate fi dedusă doar între coordonatele sistemului, până la o constantă.

În mecanica rațională și mecanica structurilor , cele mai importante constrângeri sunt: balama , articulație , suport simplu sau cărucior , rulare pură , pendul dublu , pendul dublu dublu .

Sisteme constrânse

Un sistem constrâns este un sistem mecanic supus constrângerilor cinematice . Condițiile de constrângere sunt reprezentate prin relații funcționale care pot fi interpretate în sens geometric.

În cazul unui sistem mecanic format din N puncte materiale, un sistem de constrângeri m holonomice și bilaterale va avea n grade de libertate determinate de lege $n=3N-m$ ${\ displaystyle n = 3N-m}$ $n = 3N-m$ .

Un sistem cu n grade de libertate va avea n coordonate independente care, în formalismul lagrangian , reprezintă coordonatele generalizate ale sistemului.

Suprafața în care se sprijină sistemul se numește spațiu de configurare a sistemului .

Constrângeri perfecte

În cazul unui sistem compus dintr-o singură particulă P, dacă constrângerea este netedă și bilaterală, în orice moment t, reacția de constrângere Φ pe P este ortogonală cu constrângerea din P.

În special:

dacă constrângerea este fixă viteza ${\bar {\mathbf {v} }}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {v}}}}$ ${\ bar {\ mathbf {v}}}$ lui P, în orice moment t, este tangent la constrângerea de la P, aceasta implică faptul că puterea exercitată de reacția de constrângere este zero, deoarece: $W^{\Phi }=\phi \cdot {\bar {\mathbf {v} }}=0$ ${\ displaystyle W ^ {\ Phi} = \ phi \ cdot {\ bar {\ mathbf {v}}} = 0}$ ${\ displaystyle W ^ {\ Phi} = \ phi \ cdot {\ bar {\ mathbf {v}}} = 0}$
dacă constrângerea este mobilă, viteza ${\bar {\mathbf {v} }}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {v}}}}$ ${\ bar {\ mathbf {v}}}$ lui P este dat de suma vitezei de tragere a constrângerii și a vitezei virtuale ( ${\bar {\mathbf {v} }}={\bar {\mathbf {v} }}^{*}+{\widehat {\mathbf {v} }}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {v}}} = {\ bar {\ mathbf {v}}} ^ {*} + {\ widehat {\ mathbf {v}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {v}}} = {\ bar {\ mathbf {v}}} ^ {*} + {\ widehat {\ mathbf {v}}}}$ ); Comparativ cu cazul precedent, viteza virtuală va fi perpendiculară pe reacția de constrângere, făcând puterea virtuală zero: ${\widehat {W}}^{\Phi }=\phi \cdot {\widehat {\mathbf {v} }}=0$ ${\ displaystyle {\ widehat {W}} ^ {\ Phi} = \ phi \ cdot {\ widehat {\ mathbf {v}}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ widehat {W}} ^ {\ Phi} = \ phi \ cdot {\ widehat {\ mathbf {v}}} = 0}$

Fie de data aceasta un sistem de n particule $P_{\alpha }$ ${\ displaystyle P _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle P _ {\ alpha}}$ astfel încât $\alpha =1,2,...,N$ ${\ displaystyle \ alpha = 1,2, ..., N}$ ${\ displaystyle \ alpha = 1,2, ..., N}$ supuse constrângerilor bilaterale care provoacă reacții de constrângere asupra n particulelor $\phi _{\alpha }$ ${\ displaystyle \ phi _ {\ alpha}}$ $\ phi _ {\ alpha}$ cu $\alpha =1,2,...,N$ ${\ displaystyle \ alpha = 1,2, ..., N}$ ${\ displaystyle \ alpha = 1,2, ..., N}$ , Constrângerile sistemului sunt numite perfecte (sau ideale ) dacă se menține următoarea condiție:

${\widehat {W}}^{\phi }=\sum _{k=1}^{N}\phi _{k}.{\widehat {\mathbf {v} }}=0$ ${\ displaystyle {\ widehat {W}} ^ {\ phi} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ phi _ {k}. {\ widehat {\ mathbf {v}}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ widehat {W}} ^ {\ phi} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ phi _ {k}. {\ widehat {\ mathbf {v}}} = 0}$

Deci, dacă suma puterilor virtuale ale sistemului generate de reacțiile de constrângere este zero (nu este necesar ca toate puterile să fie zero și, prin urmare, toate constrângerile să fie netede, ci doar că suma este zero).

În toate corpurile rigide constrângerile de rigiditate sunt perfecte.

Bibliografie

Feliks Ruvimovič Gantmacher , Lecții de mecanică analitică - ediția I 1980 - Editori Riuniti Mir Editions, Roma
Vittorino Talamini, Luisa Arlotti , Curs de mecanică rațională - 1998 - Forum Edizioni