Regula lanțului

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În analiza matematică , regula lanțului este o regulă de derivare care permite calcularea derivatei funcției constă din două funcții derivabile.

Definiție

Derivata funcției compuse este produsul dintre derivata funcției externe, având ca argument funcția internă, pentru derivata funcției interne:

Notatiile Și indicați același sens al derivatului.

Formula este valabilă și pentru funcțiile reale ale mai multor variabile și funcții vectoriale . Derivarea teoremei funcțiilor compuse afirmă că dacă:

este un vector al ale căror componente sunt funcții diferențiate:

si daca Este o funcție diferențiată în , apoi funcția compusă:

este diferențiat în variabilă și avem:

unde este Este gradientul Și Este produsul scalar euclidian .

De exemplu, dacă este o funcție compusă din două variabile după funcția vectorială , acesta este , asa de:

De asemenea, dacă Și sunt două funcții vectoriale diferențiabile, atunci:

unde este Este multiplicarea matricei și Este matricea iacobiană a .

Demonstrație

Să nu greșim notația, , de la care . Să definim acum

Așadar

.

În plus, pentru ipoteza diferențierii , Și

.

Să examinăm acum raportul incremental al :

.

Spargând fracția, avem

Și apoi mergând la limită

CVD .

Demonstrație cu „o” mică

Luați în considerare două funcții și funcția compusă atunci este posibil să scrieți rapoarte incrementale ale funcțiilor în acest fel:

În acest moment trecem la rescrierea ținând cont de faptul că de aceea avem:

Vă rog să vă amintiți asta de aceea avem:

Din care se face o înlocuire și si scrii:

De aici sun Si deasemenea

Teorema este dovedită

Observații

care este util pentru rezolvarea mnemonică a rezultatului (ca și cum ar fi „simplificat” în cele două fracții), chiar dacă evident nu constituie o demonstrație.

  • Prin aplicarea iterativă a formulei, se poate calcula derivata unei compoziții de trei sau mai multe funcții. De exemplu:

si asa mai departe.

Exemplu

Este , , . Atunci:

Și

Derivate ulterioare

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Formula Faa di Bruno .

Extinderea formulei pentru calcularea derivatelor de ordin superior se datorează lui Faa di Bruno . În special, dacă posedă toate derivatele necesare, apoi se dovedește:

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică