Regula lui Cramer

Metoda lui Cramer este o teoremă algebră liniară , numită după matematicianul Gabriel Cramer , utilă pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind determinantul , în cazul în care sistemul are exact o soluție.

Ca algoritm de calcul este ineficient. Prin urmare, poate fi de fapt folosit doar pentru a rezolva sisteme de câteva ecuații. Cu toate acestea, are o mare importanță teoretică, deoarece oferă o expresie explicită pentru soluția sistemului.

Regula

Un sistem de ecuații liniare poate fi reprezentat folosindmultiplicarea matricii, cum ar fi:

Ax=c

{\ displaystyle Ax = c}

Ax = c

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ sunt doi vectori. De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice pătrată (adică numărul de necunoscute ale sistemului este egal cu numărul de ecuații) și este, de asemenea, inversabilă (alt determinant decât zero, adică rangul matricei egal cu numărul de necunoscute), teorema Rouché-Capelli afirmă că sistemul are exact o singură soluție.

În acest caz, regula lui Cramer oferă un algoritm pentru calcularea soluției $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $(x_ {1}, \ ldots, x_ {n})$ folosind determinantul după cum urmează:

x_{i}={\det(A_{i}) \over \det(A)}

{\ displaystyle x_ {i} = {\ det (A_ {i}) \ over \ det (A)}}

x_ {i} = {\ det (A_ {i}) \ over \ det (A)}

unde este $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ este matricea formată prin substituirea $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -a coloana a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu vector $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Rețineți că starea de inversibilitate a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ garantează că numitorul $\det(A)$ ${\ displaystyle \ det (A)}$ $\ det (A)$ este diferit de zero și, prin urmare, expresia descrisă are întotdeauna sens.

Demonstrație

Dovada ia în considerare două proprietăți ale determinanților :

Dacă adăugați o coloană la alta, valoarea determinantului nu se modifică;
Dacă înmulțiți fiecare element al unei coloane cu un anumit factor, determinantul va fi înmulțit cu același.

Având în vedere un sistem de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ecuații liniare în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$ $x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}$ :

\left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\cdots +a_{n,n}x_{n}&=&b_{n}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ cdots + a_ {1, n} x_ {n} & = & b_ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ cdots + a_ {2, n} x_ {n} & = & b_ {2} \ \ & \ vdots & \\ a_ {n, 1} x_ {1} + a_ {n, 2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n, n} x_ {n} & = & b_ {n} \ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {matrix} a _ {{1,1}} x_ {1} + a _ {{1,2}} x_ {2} + \ cdots + a _ {{1, n}} x_ {n} & = & b_ {1} \\ a _ {{2,1}} x_ {1} + a _ {{2,2}} x_ {2} + \ cdots + a _ {{2, n}} x_ {n} & = & b_ {2} \\ & \ vdots & \\ a _ {{n, 1}} x_ {1} + a _ {{n, 2}} x_ {2} + \ cdots + a _ {{n, n}} x_ {n} & = & b_ {n} \ end {matrix}} \ right.

Regula lui Cramer dă, pentru valoarea $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ , expresia:

{\frac {\det \left|{\begin{matrix}b_{1}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\b_{2}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}{\det \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}}

{\ displaystyle {\ frac {\ det \ left | {\ begin {matrix} b_ {1} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ b_ {2} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ b_ {n} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right |}}}

{\ frac {\ det \ left | {\ begin {matrix} b_ {1} & a _ {{12}} & \ ldots & a _ {{1n}} \\ b_ {2} & a _ {{22 }} & \ ldots & a_ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ b_ {n} & a _ {{n2}} & \ ldots & a _ {{nn}} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11}} & a _ {{12}} & \ ldots & a _ {{1n}} \\ a _ {{21}} & a _ {{22}} & \ ldots & a_ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{n1}} & a _ {{n2}} & \ ldots & a _ {{nn}} \ end {matrix}} \ right |}}

care poate fi verificată folosind proprietățile menționate mai sus ale determinantului. De fapt, conform sistemului, coeficientul raportat este echivalent cu:

{\frac {\det \left|{\begin{matrix}(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n})&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\(a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n})&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n})&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}{\det \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}}

{\ displaystyle {\ frac {\ det \ left | {\ begin {matrix} (a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + \ cdots + a_ {1n} x_ {n}) & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ (a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + \ cdots + a_ {2n} x_ {n}) & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ (a_ {n1} x_ {1} + a_ {n2} x_ {2} + \ cdots + a_ {nn} x_ {n}) & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right |}}}

{\ frac {\ det \ left | {\ begin {matrix} (a _ {{11}} x_ {1} + a _ {{12}} x_ {2} + \ cdots + a _ {{1n}} x_ {n}) & a _ {{12}} & \ ldots & a _ {{1n}} \\ (a _ {{21}} x_ {1} + a _ {{22}} x_ {2} + \ cdots + a _ {{2n}} x_ {n}) & a _ {{22}} & \ ldots & a _ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ (a _ {{n1}} x_ {1} + a_ {{n2}} x_ {2} + \ cdots + a _ {{nn}} x_ {n}) & a _ {{n2}} & \ ldots & a _ {{nn}} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11}} & a _ {{12}} & \ ldots & a _ {{1n}} \\ a _ {{21}} & a _ {{22}} & \ ldots & a_ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{n1}} & a _ {{n2}} & \ ldots & a _ {{nn}} \ end {matrix}} \ right |}}

Prin scăderea celui de-al doilea înmulțit cu din prima coloană $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ , a treia coloană înmulțită cu $x_{3}$ ${\ displaystyle x_ {3}}$ $x_3$ etc., și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -a coloană înmulțită cu $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ , obținem expresia:

{\frac {\det \left|{\begin{matrix}a_{11}x_{1}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}x_{1}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}x_{1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}{\det \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}}

{\ displaystyle {\ frac {\ det \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} x_ {1} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} x_ {1} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} x_ {1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right |}}}

{\ frac {\ det \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11}} x_ {1} & a _ {{12}} & \ ldots & a _ {{1n}} \\ a _ { {21}} x_ {1} & a _ {{22}} & \ ldots & a _ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{n1}} x_ {1} & a _ {{n2}} & \ ldots & a _ {{nn}} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11} } & a _ {{12}} & \ ldots & a _ {{1n}} \\ a _ {{21}} & a _ {{22}} & \ ldots & a _ {{2n}} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{n1}} & a _ {{n2}} & \ ldots & a _ {{nn}} \ end {matrix}} \ right |}}

și, conform celei de-a doua proprietăți a determinantului, aceasta este echivalentă cu:

{\frac {x_{1}\det \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}{\det \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}}=x_{1}

{\ displaystyle {\ frac {x_ {1} \ det \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right |}} = x_ {1}}

{\ frac {x_ {1} \ det \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11}} & a _ {{12}} & \ ldots & a _ {{1n}} \\ a _ { {21}} & a_ {{22}} & \ ldots & a _ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{n1}} & a _ {{n2 }} & \ ldots & a _ {{nn}} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11}} & a _ {{12}} & \ ldots & a _ {{1n}} \\ a _ {{21}} & a _ {{22}} & \ ldots & a _ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{n1}} & a _ {{n2}} & \ ldots & a _ {{nn}} \ end {matrix}} \ right |}} = x_ {1}

În mod similar, dacă $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este situat în locul $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -a coloana a matricei sistemului de ecuații, rezultatul va fi egal cu $x_{k}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ $x_k$ . Prin urmare, obținem:

x_{1}={\frac {\det \left|{\begin{matrix}b_{1}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\b_{2}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}{\det \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}},\ \ x_{2}={\frac {\det \left|{\begin{matrix}a_{11}&b_{1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&b_{2}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&b_{n}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}{\det \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}},\ \ \ldots ,\ \ x_{n}={\frac {\det \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &b_{n}\end{matrix}}\right|}{\det \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right|}}

{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {\ det \ left | {\ begin {matrix} b_ {1} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ b_ {2} & a_ {22 } & \ ldots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ b_ {n} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right | } {\ det \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \ \\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right |}}, \ \ x_ {2} = {\ frac {\ det \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & b_ {1} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & b_ {2} & \ ldots & a_ {2n } \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} & b_ {n} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | { \ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right |}}, \ \ \ ldots, \ \ x_ {n} = {\ frac {\ det \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & b_ {1} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & b_ {2} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & b_ {n} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | {\ begin { matrice} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \ \\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} & a_ {n2} & \ ldots & a_ {nn} \ end {matrix}} \ right |}}}

x_ {1} = {\ frac {\ det \ left | {\ begin {matrix} b_ {1} & a _ {{12}} & \ ldots & a _ {{1n}} \\ b_ {2} & a _ {{22}} & \ ldots & a _ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ b_ {n} & a _ {{n2}} & \ ldots & a _ {{nn}} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11}} & a _ {{12}} & \ ldots & a _ { {1n}} \\ a _ {{21}} & a _ {{22}} & \ ldots & a _ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ { {n1}} & a _ {{n2}} & \ ldots & a _ {{nn}} \ end {matrix}} \ right |}}, \ \ x_ {2} = {\ frac {\ det \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11}} & b_ {1} & \ ldots & a _ {{1n}} \ \ a _ {{21}} & b_ {2} & \ ldots & a _ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{n1}} & b_ {n} & \ ldots & a_ {{nn}} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11}} & a _ {{12}} & \ ldots & a _ {{1n}} \\ a_ {{21}} & a _ {{22}} & \ ldots & a _ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{n1}} & a _ {{n2}} & \ ldots & a _ {{nn}} \ end {matrix}} \ right |}}, \ \ \ ldots, \ \ x_ {n} = {\ frac {\ det \ left | {\ begin {matrix} a _ { {11}} & a _ {{12}} & \ ldots & b _ {{1}} \\ a _ {{21}} & a _ {{22}} & \ ldots & b _ {{2} } \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{n1}} & a _ {{n2}} & \ ldots & b _ {{n}} \ end {matrix}} \ right |} {\ det \ left | {\ begin { matrice} a _ {{11}} & a _ {{12}} & \ ldots & a _ {{1n}} \\ a _ {{21}} & a _ {{22}} & \ ldots & a _ {{2n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{n1}} & a _ {{n2}} & \ ldots & a _ {{nn}} \ end { matrice}} \ dreapta |}}

Interpretarea geometrică

Interpretarea geometrică a regulii lui Cramer. Zonele celui de-al doilea și al treilea paralelogram sunt egale, în timp ce aria celui de-al doilea este

x_{1}

{\ displaystyle x_ {1}}

x_1

ori mai mare decât cea a primului. Din această egalitate urmează regula.

Regula lui Cramer poate fi arătată folosind interpretarea sa geometrică. Luați în considerare cazul a două ecuații cu două necunoscute:

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} & = b_ {1} \\ a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2 } & = b_ {2} \ end {matrix}}}

{\ begin {matrix} a _ {{11}} x_ {1} + a _ {{12}} x_ {2} & = b_ {1} \\ a _ {{21}} x_ {1} + a _ {{22}} x_ {2} & = b_ {2} \ end {matrix}}

care poate fi văzută ca o ecuație între vectori:

x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}

{\ displaystyle x_ {1} {\ binom {a_ {11}} {a_ {21}}} + x_ {2} {\ binom {a_ {12}} {a_ {22}}} = {\ binom {b_ {1}} {b_ {2}}}}

x_ {1} {\ binom {a _ {{11}}} {a _ {{21}}}} + x_ {2} {\ binom {a _ {{12}}} {a _ {{22} }}} = {\ binom {b_ {1}} {b_ {2}}}

Zona paralelogramului determinată de:

{\binom {a_{11}}{a_{21}}}\quad ;\quad {\binom {a_{12}}{a_{22}}}

{\ displaystyle {\ binom {a_ {11}} {a_ {21}}} \ quad; \ quad {\ binom {a_ {12}} {a_ {22}}}}

{\ binom {a _ {{11}}} {a _ {{21}}}} \ quad; \ quad {\ binom {a _ {{12}}} {a _ {{22}}}}

este dat de determinantul sistemului:

\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {matrix}} \ right |}

\ left | {\ begin {matrix} a _ {{11}} & a _ {{12}} \\ a _ {{21}} & a _ {{22}} \ end {matrix}} \ right |

În general, atunci când există ecuații multiple de variabile multiple, determinantul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ vectori de lungime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dă volumul paralelipipedului pe care îl formează în spațiul euclidian de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Prin urmare, aria paralelogramului determinată de:

x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}\quad ;\quad {\binom {a_{12}}{a_{22}}}

{\ displaystyle x_ {1} {\ binom {a_ {11}} {a_ {21}}} \ quad; \ quad {\ binom {a_ {12}} {a_ {22}}}}

x_ {1} {\ binom {a _ {{11}}} {a _ {{21}}}} \ quad; \ quad {\ binom {a _ {{12}}} {a _ {{22} }}}

trebuie să fie și el $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ de ori aria primei, deoarece una dintre laturi a fost înmulțită cu acest factor. Acest ultim paralelogram are, după principiul Cavalieri , aceeași zonă cu paralelogramul format din:

{\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}\quad ;\quad {\binom {a_{12}}{a_{22}}}

{\ displaystyle {\ binom {b_ {1}} {b_ {2}}} = x_ {1} {\ binom {a_ {11}} {a_ {21}}} + x_ {2} {\ binom {a_ {12}} {a_ {22}}} \ quad; \ quad {\ binom {a_ {12}} {a_ {22}}}}

{\ binom {b_ {1}} {b_ {2}}} = x_ {1} {\ binom {a _ {{11}}} {a _ {{21}}}} + x_ {2} {\ binom {a _ {{12}}} {a _ {{22}}}} \ quad; \ quad {\ binom {a _ {{12}}} {a _ {{22}}}}

Prin echivalarea ariilor ultimului și celui de-al doilea paralelogram, obținem ecuația:

\left|{\begin{matrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{matrix}}\right|=x_{1}\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|

{\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} b_ {1} & a_ {12} \\ b_ {2} & a_ {22} \ end {matrix}} \ right | = \ left | {\ begin {matrix } a_ {11} x_ {1} & a_ {12} \\ a_ {21} x_ {1} & a_ {22} \ end {matrix}} \ right | = x_ {1} \ left | {\ begin { matrice} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {matrix}} \ right |}

\ left | {\ begin {matrix} b_ {1} & a _ {{12}} \\ b_ {2} & a _ {{22}} \ end {matrix}} \ right | = \ left | {\ începe {matrix} a _ {{11}} x_ {1} & a _ {{12}} \\ a _ {{21}} x_ {1} & a _ {{22}} \ end {matrix}} \ right | = x_ {1} \ left | {\ begin {matrix} a _ {{11}} & a _ {{12}} \\ a _ {{21}} & a _ {{22}} \ end {matrix}} \ right |

de aici urmează regula lui Cramer.

Exemplu

Doi pentru doi

Un sistem cu 2 ecuații și 2 necunoscute:

{\begin{array}{l}ax+by={\color {red}e}\\cx+dy={\color {red}f}\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {l} ax + by = {\ color {red} e} \\ cx + dy = {\ color {red} f} \ end {array}}}

{\ begin {array} {l} ax + by = {\ color {red} e} \\ cx + dy = {\ color {red} f} \ end {array}}

exprimat în formă matricială ca:

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ color { roșu} e} \\ {\ culoare {roșu} f} \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ color {red} e } \\ {\ color {red} f} \ end {bmatrix}}

are o singură soluție dacă și numai dacă determinantul:

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}

este diferit de zero. În acest caz, soluția $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ este dat de:

x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}

{\ displaystyle x = {\ frac {\ begin {vmatrix} \ color {red} {e} & b \\\ color {red} {f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}} = {{\ color {red} e} db {\ color {red} f} \ over ad-bc}}

x = {\ frac {{\ begin {vmatrix} \ color {red} {e} & b \\\ color {red} {f} & d \ end {vmatrix}}} {{\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}}} = {{\ color {red} e} db {\ color {red} f} \ over ad-bc}

y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}

{\ displaystyle y = {\ frac {\ begin {vmatrix} a & \ color {red} {e} \\ c & \ color {red} {f} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}} = {a {\ color {red} f} - {\ color {red} e} c \ over ad-bc}}

y = {\ frac {{\ begin {vmatrix} a & \ color {red} {e} \\ c & \ color {red} {f} \ end {vmatrix}}} {{\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}}} = {a {\ color {red} f} - {\ color {red} e} c \ over ad-bc}

Trei câte trei

În mod similar, un sistem cu 3 ecuații și 3 necunoscute:

\left\{{\begin{matrix}ax+by+cz={\color {red}j}\ \\dx+ey+fz={\color {red}k}\ \\gx+hy+iz={\color {red}l}\ \end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} ax + by + cz = {\ color {red} j} \ \\ dx + ey + fz = {\ color {red} k} \ \\ gx + hy + iz = {\ color {red} l} \ \ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {matrix} ax + by + cz = {\ color {red} j} \ \\ dx + ey + fz = {\ color {red} k} \ \\ gx + hy + iz = {\ color {red} l} \ \ end {matrix}} \ right.

poate fi scris ca produs al matricilor și vectorilor după cum urmează:

{\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end { bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ color {red} j} \\ {\ color {red} k} \\ {\ color {red} l} \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ color {red} j} \\ {\ color {red} k} \\ {\ color {red} l} \ end {bmatrix}}

Dacă matricea $3\times 3$ ${\ displaystyle 3 \ times 3}$ $3 \ ori 3$ are alt determinant decât zero, sistemul are o singură soluție $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ dat de:

x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}\qquad y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}\qquad z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}

{\ displaystyle x = {\ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {red} j} & b & c \\ {\ color {red} k} & e & f \\ {\ color {red} l} & h & i \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}}} \ qquad y = {\ frac { \ begin {vmatrix} a & {\ color {red} j} & c \\ d & {\ color {red} k} & f \\ g & {\ color {red} l} & i \ end {vmatrix} } {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}}} \ qquad z = {\ frac {\ begin {vmatrix} a & b & {\ color {red} j} \\ d & e & {\ color {red} k} \\ g & h & {\ color {red} l} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}}}}

x = {\ frac {{\ begin {vmatrix} {\ color {red} j} & b & c \\ {\ color {red} k} & e & f \\ {\ color {red} l} & h & i \ end {vmatrix}}} {{\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}}}} qqad y = {\ frac {{\ begin {vmatrix} a & {\ color {red} j} & c \\ d & {\ color {red} k} & f \\ g & {\ color {red} l} & i \ end { vmatrix}}} {{\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}}}} qqad z = {\ frac {{\ begin { vmatrix} a & b & {\ color {red} j} \\ d & e & {\ color {red} k} \\ g & h & {\ color {red} l} \ end {vmatrix}}} { {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}}}}

Determinantul unei matrice 3 pe 3 poate fi calculat folosind regula lui Sarrus .

Aplicații la geometria diferențială

Regula lui Cramer este extrem de utilă pentru scrierea formulelor în geometrie diferențială . De exemplu, dați două ecuații:

F(x,y,u,v)=0\qquad G(x,y,u,v)=0

{\ displaystyle F (x, y, u, v) = 0 \ qquad G (x, y, u, v) = 0}

F (x, y, u, v) = 0 \ qquad G (x, y, u, v) = 0

în patru variabile, dintre care două depind de celelalte după cum urmează:

x=X(u,v)\qquad y=Y(u,v)

{\ displaystyle x = X (u, v) \ qquad y = Y (u, v)}

x = X (u, v) \ qquad y = Y (u, v)

este posibil să se calculeze (presupunând că toate aceste funcții sunt suficient de diferențiate):

\partial x/\partial u

{\ displaystyle \ partial x / \ partial u}

\ partial x / \ partial u

folosind regula lui Cramer, după cum urmează.

Mai întâi calculați primele derivate ale $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ :

dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0

{\ displaystyle dF = {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} dy + {\ frac {\ partial F} {\ partial u} } du + {\ frac {\ partial F} {\ partial v}} dv = 0}

dF = {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} dy + {\ frac {\ partial F} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial F} {\ partial v}} dv = 0

dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0

{\ displaystyle dG = {\ frac {\ partial G} {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} dy + {\ frac {\ partial G} {\ partial u} } du + {\ frac {\ partial G} {\ partial v}} dv = 0}

dG = {\ frac {\ partial G} {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} dy + {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial G} {\ partial v}} dv = 0

dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv

{\ displaystyle dx = {\ frac {\ partial X} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial X} {\ partial v}} dv}

dx = {\ frac {\ partial X} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial X} {\ partial v}} dv

dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv

{\ displaystyle dy = {\ frac {\ partial Y} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial Y} {\ partial v}} dv}

dy = {\ frac {\ partial Y} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial Y} {\ partial v}} dv

Prin înlocuire $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ , $d y$ ${\ displaystyle dy}$ $dy$ în $d F.$ ${\ displaystyle dF}$ $dF$ si in $d G.$ ${\ displaystyle dG}$ $dG$ , avem:

dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0

{\ displaystyle dF = \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial y} } {\ frac {\ partial y} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial u}} \ right) du + \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial x }} {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial v}} + {\ frac { \ partial F} {\ partial v}} \ right) dv = 0}

dF = \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial u}} \ right) du + \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial x}} { \ frac {\ partial x} {\ partial v}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial v}} + {\ frac {\ partial F } {\ partial v}} \ right) dv = 0

dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0

{\ displaystyle dG = \ left ({\ frac {\ partial G} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial y} } {\ frac {\ partial y} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} \ right) du + \ left ({\ frac {\ partial G} {\ partial x }} {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial v}} + {\ frac { \ partial G} {\ partial v}} \ right) dv = 0}

dG = \ left ({\ frac {\ partial G} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} \ right) du + \ left ({\ frac {\ partial G} {\ partial x}} { \ frac {\ partial x} {\ partial v}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial v}} + {\ frac {\ partial G } {\ partial v}} \ right) dv = 0

Atâta timp cât $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ sunt ambii independenți, coeficienții lui $d tu$ ${\ displaystyle du}$ $du$ , $d v$ ${\ displaystyle dv}$ $dv$ trebuie să fie zero. Deci, puteți scrie ecuațiile pentru coeficienți:

{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} {\ frac { \ partial y} {\ partial u}} = - {\ frac {\ partial F} {\ partial u}}}

{\ frac {\ partial F} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y } {\ partial u}} = - {\ frac {\ partial F} {\ partial u}}

{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial G} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} {\ frac { \ partial y} {\ partial u}} = - {\ frac {\ partial G} {\ partial u}}}

{\ frac {\ partial G} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y } {\ partial u}} = - {\ frac {\ partial G} {\ partial u}}

{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} {\ frac { \ partial y} {\ partial v}} = - {\ frac {\ partial F} {\ partial v}}}

{\ frac {\ partial F} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y } {\ partial v}} = - {\ frac {\ partial F} {\ partial v}}

{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial G} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} {\ frac { \ partial y} {\ partial v}} = - {\ frac {\ partial G} {\ partial v}}}

{\ frac {\ partial G} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} + {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y } {\ partial v}} = - {\ frac {\ partial G} {\ partial v}}

Acum, din regula lui Cramer, vedem că:

{\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} = {\ frac {\ begin {vmatrix} - {\ frac {\ partial F} {\ partial u}} și {\ frac {\ partial F } {\ partial y}} \\ - {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} și {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix } {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial G} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} \ end {vmatrix}}}}

{\ frac {\ partial x} {\ partial u}} = {\ frac {{\ begin {vmatrix} - {\ frac {\ partial F} {\ partial u}} și {\ frac {\ partial F} { \ partial y}} \\ - {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} și {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} \ end {vmatrix}}} {{\ begin {vmatrix } {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial G} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial G} {\ partial y}} \ end {vmatrix}}}}

Aceasta este acum o formulă în termenii a doi iacobeni :

{\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} = - {\ frac {\ left ({\ frac {\ partial \ left (F, G \ right)} {\ partial \ left (y, u \ right)}} \ right)} {\ left ({\ frac {\ partial \ left (F, G \ right)} {\ partial \ left (x, y \ right)}} \ right)}}}

{\ frac {\ partial x} {\ partial u}} = - {\ frac {\ left ({\ frac {\ partial \ left (F, G \ right)} {\ partial \ left (y, u \ right )}} \ right)} {\ left ({\ frac {\ partial \ left (F, G \ right)} {\ partial \ left (x, y \ right)}} \ right)}}

Formule similare pot fi derivate pentru $\partial x/\partial v$ ${\ displaystyle \ partial x / \ partial v}$ $\ partial x / \ partial v$ , $\partial y/\partial u$ ${\ displaystyle \ partial y / \ partial u}$ $\ partial y / \ partial u$ Și $\partial y/\partial v$ ${\ displaystyle \ partial y / \ partial v}$ $\ partial y / \ partial v$ .

Probleme în aplicație

După cum sa menționat în introducere, metoda lui Cramer este potrivită pentru calcularea soluției sistemelor liniare $N\times N$ ${\ displaystyle N \ times N}$ $N \ ori N$ , doar dacă $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ e foarte mic. În practică, metoda necesită calcularea $N+1$ ${\ displaystyle N + 1}$ $N + 1$ determinanți ai matricilor $N\times N$ ${\ displaystyle N \ times N}$ $N \ ori N$ . Aplicând regula Leibnitz , fiecare dintre acestea necesită $Nu.!$ ${\ displaystyle N!}$ $N!$ multiplicări, pentru un total de $(N+1)!$ ${\ displaystyle (N + 1)!}$ $(N + 1)!$ multiplicări. Un număr care devine rapid imens ca $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ . Dacă neglijați timpul necesar pentru a adăuga, un calculator care face un milion de înmulțiri pe secundă ar dura aproximativ opt luni pentru a rezolva un sistem liniar de 15 ecuații, un timp care ar depăși un milion și jumătate de ani dacă ecuațiile ar fi 20.

Alternativ, $N+1$ ${\ displaystyle N + 1}$ $N + 1$ determinanții pot fi calculați utilizând algoritmul Gauss, care este extrem de rapid, $O(N^{3})$ ${\ displaystyle O (N ^ {3})}$ ${\ displaystyle O (N ^ {3})}$ multiplicări. Cu toate acestea, acesta este un produs secundar al metodei de eliminare gaussiană pentru soluția unui sistem liniar asociat cu aceeași matrice. Prin urmare, este mult mai rapid să rezolvi sistemul liniar de pornire folosind metoda lui Gauss direct o singură dată.

Bibliografie

(EN) Colin MacLaurin, Un tratat de algebră, în trei părți. , 1748.
( EN ) Carl B. Boyer , A History of Mathematics , 2nd, Wiley, 1968, p. 431.
( EN ) Victor Katz, A History of Mathematics , Brief, Pearson Education, 2004, pp. 378-379.
( EN ) Bruce A. Hedman, An Early Date for "Cramer's Rule" , în Historia Mathematica , 4 (26), n. 4, 1999, pp. 365-368, DOI : 10.1006 / hmat.1999.2247 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere conform regulii lui Cramer

linkuri externe

( FR ) Cramer, Gabriel, Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques , su europeana.eu , Geneva, Europeana, 1750, pp. 656-659. Adus la 18 mai 2012 .
(EN) Dovada regulii lui Cramer , a planetmath.org.
( EN ) WebApp rezolvând descriptiv sisteme de ecuații liniare cu regula lui Cramer , pe sole.ooz.ie. Adus la 19 ianuarie 2014 (arhivat din original la 25 aprilie 2011) .
( EN ) Calculator online al sistemului de ecuații liniare , pe elektro-energetika.cz . Adus la 19 ianuarie 2014 (arhivat din original la 22 ianuarie 2014) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema