De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
În matematică , regulile de derivare și derivatele fundamentale sunt reguli concepute pentru a evita să calculeze limita raportului incremental de funcții de fiecare dată și utilizate pentru a facilita derivarea funcțiilor de complexitate mai mare.
Reguli de derivare
Lasa-i sa fie {\ displaystyle f (x)} Și {\ displaystyle g (x)} funcții reale ale variabilei reale {\ displaystyle x} derivabil, și așa să fie {\ displaystyle \ mathrm {D}} operația de derivare cu privire la {\ displaystyle x} :
- {\ displaystyle \ mathrm {D} [f (x)] = f '(x) \ qquad \ mathrm {D} [g (x)] = g' (x)}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} [\ alpha f (x) + \ beta g (x)] = \ alpha f '(x) + \ beta g' (x) \ qquad \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} [{f (x) \ cdot g (x)}] = f '(x) \ cdot g (x) + f (x) \ cdot g' (x)}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} \! \ left [{f (x) \ over g (x)} \ right] = {f '(x) \ cdot g (x) -f (x) \ cdot g' (x) \ peste g (x) ^ {2}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} \! \ left [{1 \ over f (x)} \ right] = - {f '(x) \ over f (x) ^ {2}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} [f ^ {- 1} (y)] = {1 \ over f '(x)}}
- cu:
- {\ displaystyle y = {f (x)} \ qquad x = {f ^ {- 1} (y)}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} \ left [f \ left (g (x) \ right) \ right] = f '\ left (g (x) \ right) \ cdot g' (x)}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} \ left [f (x) ^ {g (x)} \ right] = f (x) ^ {g (x)} \ left [g '(x) \ ln (f ( x)) + {\ frac {g (x) f '(x)} {f (x)}} \ right]}
Derivate fundamentale
Fiecare dintre aceste funcții, dacă nu se specifică altfel, poate fi diferențiată în întregul său domeniu de existență .
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (a) = 0 \ ,, \, a {\ mbox {constant}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x) = 1}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (ax) = a \ ,, \, a {\ mbox {constant}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x ^ {2}) = 2x}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x ^ {3}) = 3x ^ {2}}
Demonstrație |
---|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (a) = \ lim _ {h \ to 0} {{f (x + h) -f (x)} \ over {h}} = \ lim _ {h \ to 0 } {{aa} \ over {h}} = 0}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x) = \ lim _ {h \ to 0} {{f (x + h) -f (x)} \ over {h}} = \ lim _ {h \ to 0 } {{(x + h) -x} \ over {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {{h} \ over {h}} = 1}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x ^ {2}) = \ lim _ {h \ to 0} {{f (x + h) -f (x)} \ over {h}} = \ lim _ { h \ to 0} {{(x + h) ^ {2} -x ^ {2}} \ over {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {{x ^ {2} + 2hx + h ^ {2} -x ^ {2}} \ over {h}} = \ lim _ {h \ to 0} (2x + h) = 2x}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x ^ {3}) = \ lim _ {h \ to 0} {{f (x + h) -f (x)} \ over {h}} = \ lim _ { h \ to 0} {{(x + h) ^ {3} -x ^ {3}} \ over {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {{x ^ {3} + 3x ^ { 2} h + 3xh ^ {2} + h ^ {3} -x ^ {3}} \ over {h}} = \ lim _ {h \ to 0} (3x ^ {2} + 3xh + h ^ { 2}) = 3x ^ {2}}
|
Mai general, avem:
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x ^ {n}) = nx ^ {n-1} \ quad \ mathrm {cu} \ n \ in \ mathbb {N}}
Demonstrație |
---|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x ^ {n}) = \ lim _ {h \ to 0} {{f (x + h) -f (x)} \ over {h}} = \ lim _ { h \ to 0} {{(x + h) ^ {n} -x ^ {n}} \ peste {h}}}
- Aplicarea teoremei binomului :
- {\ displaystyle (a + b) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} a ^ {nk} b ^ {k}}
- iar proprietățile coeficienților binomiali se obțin:
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x ^ {n}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {x ^ {n} + nx ^ {n-1} h + {n \ choose 2} x ^ {n-2} h ^ {2} + {n \ alege 3} x ^ {n-3} h ^ {3} + \ ldots + {n \ alege n-2} x ^ {2} h ^ {n-2} + nxh ^ {n-1} + h ^ {n} -x ^ {n}} {h}} =}
- {\ displaystyle = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {nx ^ {n-1} h + {n \ alege 2} x ^ {n-2} h ^ {2} + {n \ alege 3 } x ^ {n-3} h ^ {3} + \ ldots + {n \ alege n-2} x ^ {2} h ^ {n-2} + nxh ^ {n-1} + h ^ {n }} {h}} =}
- {\ displaystyle = \ lim _ {h \ to 0} \ left (nx ^ {n-1} + {n \ alege 2} x ^ {n-2} h + {n \ alege 3} x ^ {n- 3} h ^ {2} + \ ldots + {n \ choose n-2} x ^ {2} h ^ {n-3} + nxh ^ {n-2} + h ^ {n-1} \ right) = nx ^ {n-1}}
|
Din această ultimă relație rezultă că dacă {\ displaystyle f (x)} este un polinom generic de grad {\ displaystyle n} , asa de {\ displaystyle D \ left (f (x) \ right)} este în general un polinom de grad {\ displaystyle n-1} .
Demonstrație |
---|
- De sine {\ displaystyle f (x)} este un polinom generic de grad {\ displaystyle n} , atunci poate fi exprimat în formă
- {\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {a_ {k} x ^ {k}} \ quad \ mathrm {con} \; a_ {k} \ in \ mathbb {R }, \ forall k.}
- Atunci:
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (f (x)) = \ lim _ {h \ to 0} {{f (x + h) -f (x)} \ over {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ sum _ {k = 0} ^ {n} {a_ {k} (x + h) ^ {k}} - \ sum _ {k = 0} ^ {n} {a_ {k} x ^ {k}} \ over h} = \ lim _ {h \ to 0} {\ sum _ {k = 0} ^ {n} {a_ {k} \ left [(x + h) ^ {k} -x ^ {k} \ right]} \ over h}}
- iar aplicarea liniarității limitei se obține
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (f (x)) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left (\ lim _ {h \ to 0} a_ {k} {(x + h) ^ {k} -x ^ {k} \ over h} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {a_ {k} \ mathrm {D} (x ^ {k})} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (a_ {k} k) x ^ {k-1} = a_ {1} + a_ {2} x + \ cdots + (a_ {n} n) x ^ {n - 1}}
- Această ultimă relație, așa cum se poate vedea, coincide exact cu expresia unui polinom de grad {\ displaystyle n-1} .
|
Puteri, rădăcini și valoare absolută
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x ^ {\ alpha}) = \ alpha x ^ {\ alpha -1} \ quad \ mathrm {con} \ \ alpha \ in \ mathbb {R}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ({\ sqrt [{2}] {x}}) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt [{2}] {x}}}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ({\ sqrt [{n}] {x ^ {m}}}) = {{\ frac {m} {n}} {\ sqrt [{n}] {x ^ { mn}}}} \ quad {\ mbox {se}} x> 0}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (| x |) = {\ dfrac {| x |} {x}} = {\ dfrac {x} {| x |}}}
Demonstrație |
---|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x ^ {\ alpha}) = \ mathrm {D} \ left (\ mathrm {e} ^ {\ alpha \ ln x} \ right)}
- aplicând regula de diferențiere a unei funcții compuse:
- {\ displaystyle \ mathrm {D} \ left (\ mathrm {e} ^ {\ alpha \ ln x} \ right) = \ mathrm {e} ^ {\ alpha \ ln x} \ cdot {\ frac {\ alpha} {x}} = x ^ {\ alpha} \ cdot {\ frac {\ alpha} {x}} = \ alpha x ^ {\ alpha -1}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ({\ sqrt [{n}] {x ^ {m}}}) = \ mathrm {D} \ left (x ^ {\ frac {m} {n}} \ right) }
- Aplicând regula demonstrată mai sus {\ displaystyle \ \ mathrm {D} (x ^ {\ alpha}) = \ alpha x ^ {\ alpha -1} \} primesti:
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ({\ sqrt [{n}] {x ^ {m}}}) = {\ frac {m} {n}} x ^ {{\ frac {m} {n}} -1} = {\ frac {m} {n}} x ^ {\ frac {mn} {n}} = {\ frac {m} {n}} {\ sqrt [{n}] {x ^ {mn }}}}
|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ log _ {b} x) = {\ frac {\ log _ {b} \ mathrm {e}} {x}} = {\ frac {1} {x \ ln \ ! b}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ ln x) = {\ frac {1} {x}}}
Demonstrație |
---|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ log _ {b} x) = \ lim _ {h \ to 0} {{f (x + h) -f (x)} \ over {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {{\ log _ {b} (x + h) - \ log _ {b} (x)} \ over {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1} {h}} \ cdot \ log _ {b} {\ frac {x + h} {x}}}
- Aplicând din nou proprietățile logaritmilor, obținem:
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ log _ {b} x) = \ lim _ {h \ to 0} \ log _ {b} {\ left ({\ frac {x + h} {x}} \ dreapta)} ^ {\ frac {1} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} \ log _ {b} {\ left (1 + {\ frac {h} {x}} \ right)} ^ {\ frac {1} {h}}}
- Aplicarea limitei notabile {\ displaystyle \ lim _ {z \ to 0} {\ left (1+ \ theta z \ right)} ^ {\ frac {1} {z}} = \ mathrm {e} ^ {\ theta}} unde este {\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {x}}} primesti:
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ log _ {b} x) = \ log _ {b} \ mathrm {e} ^ {\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ log _ {b } \ mathrm {e}} {x}} = {\ frac {1} {x \ ln b}}}
- Din regulă {\ displaystyle D (\ log _ {b} x) = {\ frac {\ log _ {b} \ mathrm {e}} {x}}} rezultate:
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ ln x) = {\ frac {\ log _ {\ mathrm {e}} \ mathrm {e}} {x}} = {\ frac {1} {x}}}
|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (e ^ {x}) = \ mathrm {e} ^ {x}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (a ^ {x}) = a ^ {x} \ ln a}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x ^ {x}) = x ^ {x} (1+ \ ln x)}
Demonstrație |
---|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ mathrm {e} ^ {x}) = \ lim _ {h \ to 0} {{f (x + h) -f (x)} \ over {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x + h} - \ mathrm {e} ^ {x}} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} { \ frac {\ mathrm {e} ^ {x} \ mathrm {e} ^ {h} - \ mathrm {e} ^ {x}} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac { \ mathrm {e} ^ {x} (\ mathrm {e} ^ {h} -1)} {h}} = \ mathrm {e} ^ {x} \ lim _ {h \ to 0} {\ frac { \ mathrm {e} ^ {h} -1} {h}} = \ mathrm {e} ^ {x}}
- de la limita notabilă {\ displaystyle \ lim _ {z \ to 0} {\ frac {k ^ {z} -1} {z}} = \ ln k \,}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (a ^ {x}) = \ lim _ {h \ to 0} {{f (x + h) -f (x)} \ over {h}} = \ lim _ { h \ to 0} {\ frac {a ^ {x + h} -a ^ {x}} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {a ^ {x} a ^ {h } -a ^ {x}} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {a ^ {x} (a ^ {h} -1)} {h}} = a ^ {x } \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {a ^ {h} -1} {h}} = a ^ {x} \ ln a}
- de la limita notabilă {\ displaystyle \ lim _ {z \ to 0} {\ frac {k ^ {z} -1} {z}} = \ ln k \,}
- Un alt sistem este următorul. Aplicarea proprietăților logaritmilor :
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (a ^ {x}) = \ mathrm {D} \ left (\ mathrm {e} ^ {x \ ln a} \ right)}
- și aplicând regula de diferențiere a unei funcții compuse:
- {\ displaystyle \ mathrm {D} \ left (\ mathrm {e} ^ {x \ ln a} \ right) = \ mathrm {e} ^ {x \ ln a} \ cdot \ ln a = a ^ {x} \ ln a}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ ln (f (x))) = {{f '(x)} \ over {f (x)}} \ Rightarrow f (x) \ mathrm {D} (\ ln (f (x))) = f '(x)}
- prin urmare
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (x ^ {x}) = x ^ {x} \ mathrm {D} (\ ln (x ^ {x})) = x ^ {x} \ left (\ ln (x ) + x \ left ({{1} \ over {x}} \ right) \ right) = x ^ {x} \ left (1+ \ ln (x) \ right)}
|
Demonstrație |
---|
- Având în vedere funcția {\ displaystyle y = a ^ {x}} aplicând regula de derivare a funcției inverse , în acest caz {\ displaystyle x = \ log _ {a} y} , și avem:
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (a ^ {x}) = {\ frac {1} {\ mathrm {D} (\ log _ {a} y)}} = {\ frac {1} {{\ frac {1} {y}} \ log _ {a} \ mathrm {e}}} = y \ ln a = a ^ {x} \ ln a}
- Aplicarea regulii derivării {\ displaystyle \ mathrm {D} (a ^ {x}) = a ^ {x} \ ln a} rezultate:
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ mathrm {e} ^ {x}) = \ mathrm {e} ^ {x} \ ln \ mathrm {e} = \ mathrm {e} ^ {x}}
|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ sin x) = \ cos x}
Demonstrație |
---|
- Mai întâi scrieți limita raportului incremental, pentru creșterea care tinde la 0, a funcției:
- {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ sin (x + h) - \ sin (x)} {h}}}
- Folosind proprietățile trigonometrice ale adunării:
- {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ sin (x + h) - \ sin (x)} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ sin (x) \ cos (h) + \ cos (x) \ sin (h) - \ sin (x)} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {- \ sin (x) \ cdot \ left (1- \ cos (h) \ right) + \ cos (x) \ sin (h)} {h}}}
- În acest moment, amintindu-ne de limitările notabile
- {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1- \ cos (h)} {h}} = 0, \ qquad \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ sin (h )} {h}} = 1}
- aplicând liniaritatea limitei obținem:
- {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} - \ sin (x) {\ frac {1- \ cos (h)} {h}} + \ lim _ {h \ to 0} \ cos (x) { \ frac {\ sin (h)} {h}} = - \ sin (x) \ cdot 0+ \ cos (x) \ cdot 1 = \ cos (x)}
|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ cos x) = - \ sin x}
Demonstrație |
---|
- Mai întâi scrieți limita raportului incremental, pentru creșterea care tinde la 0, a funcției:
- {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ cos (x + h) - \ cos (x)} {h}}}
- Acum să profităm de proprietățile trigonometrice ale adunării:
- {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ cos (x + h) - \ cos (x)} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ cos (x) \ cos (h) - \ sin (x) \ sin (h) - \ cos (x)} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {- \ cos (x) \ cdot \ left (1- \ cos (h) \ right) - \ sin (x) \ sin (h)} {h}}}
- În acest moment, amintindu-ne de limitările notabile
- {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1- \ cos (h)} {h}} = 0, \ qquad \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ sin (h )} {h}} = 1}
- aplicând liniaritatea limitei obținem:
- {\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} - \ cos (x) {\ frac {1- \ cos (h)} {h}} + \ lim _ {h \ to 0} - \ sin (x) {\ frac {\ sin (h)} {h}} = - \ cos (x) \ cdot 0- \ sin (x) \ cdot 1 = - \ sin (x)}
|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ tan x) = 1 + \ tan ^ {2} x = {1 \ over \ cos ^ {2} x}}
Demonstrație |
---|
- Mai întâi scriem funcția tangentă ca raport între sinus și cosinus:
- {\ displaystyle \ tan (x) = {\ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)}}}
- Acum puteți utiliza derivata relației dintre două funcții:
- {\ displaystyle \ mathrm {D} \! \! \ left ({\ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)}} \ right) = {\ frac {\ cos (x) \ cos (x ) + \ sin (x) \ sin (x)} {\ cos ^ {2} (x)}} = {\ frac {\ cos ^ {2} (x) + \ sin ^ {2} (x)} {\ cos ^ {2} (x)}}}
- În acest moment, relația poate fi dezvoltată în două moduri:
- {\ displaystyle {\ frac {\ cos ^ {2} (x) + \ sin ^ {2} (x)} {\ cos ^ {2} (x)}} = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} (x)}}}
- {\ displaystyle {\ frac {\ cos ^ {2} (x) + \ sin ^ {2} (x)} {\ cos ^ {2} (x)}} = {\ frac {\ cos ^ {2} (x)} {\ cos ^ {2} (x)}} + {\ frac {\ sin ^ {2} (x)} {\ cos ^ {2} (x)}} = 1+ \ tan ^ { 2} (x)}
|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ cot x) = - (1+ \ cot ^ {2} x) = - {\ frac {1} {\ sin ^ {2} x}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ sec x) = \ tan x \ sec x}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ csc x) = - \ cot x \ csc x}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ arcsin x) = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
Demonstrație |
---|
- Notatiile {\ displaystyle \ arcsin} Și {\ displaystyle \ sin ^ {- 1}} indicați aceeași funcție. Scrierea funcției {\ displaystyle \ y = \ sin ^ {- 1} (x)} și înmulțiți pe ambele părți {\ displaystyle \ cdot \ sin} astfel încât să obțină {\ displaystyle \ sin (y) = x} . Diferențierea expresiei găsite obținem:
- {\ displaystyle \ cos (y) \ cdot y '= 1}
- în consecință, avem:
- {\ displaystyle \ y '= {\ frac {1} {\ cos (y)}}} .
- Amintindu-mi că:
- {\ displaystyle \ cos (y) = {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} (y)}} \ qquad {\ sqrt {1-sin ^ {2} (y)}} = {\ sqrt {1 -x ^ {2}}}}
- înlocuind derivatul și obțineți formula pe care o căutați:
- {\ displaystyle \ y '= {\ frac {1} {cos (y)}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} .
|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ arccos x) = - {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
Demonstrație |
---|
- Notatiile {\ displaystyle \ arccos} Și {\ displaystyle \ cos ^ {- 1}} indicați aceeași funcție. Scrierea funcției {\ displaystyle y = \ cos ^ {- 1} (x)} și înmulțiți pe ambele părți {\ displaystyle \ cdot \ cos} astfel încât să obțină {\ displaystyle \ cos (y) = x} . Diferențierea expresiei găsite obținem:
- {\ displaystyle \ -sin (y) \ cdot y '= 1}
- în consecință, avem:
- {\ displaystyle \ y '= - {\ frac {1} {sin (y)}}} .
- Amintindu-mi că:
- {\ displaystyle \ sin (y) = {\ sqrt {1-cos ^ {2} (y)}} \ qquad {\ sqrt {1-cos ^ {2} (y)}} = {\ sqrt {1- x ^ {2}}}}
- înlocuind derivatul și obțineți formula pe care o căutați:
- {\ displaystyle \ y '= - {\ frac {1} {sin (y)}} = - {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} .
|
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ arctan x) = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ operatorname {arccot} x) = {- 1 \ over 1 + x ^ {2}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ operatorname {arcsec} x) = {1 \ over | x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ operatorname {arccsc} x) = {- 1 \ over | x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ sinh x) = \ cosh x}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ cosh x) = \ sinh x}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ tanh x) = 1- \ tanh ^ {2} x = {1 \ over \ cosh ^ {2} x}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ({\ mbox {coth}} \, x) = - {\ mbox {csch}} ^ {2} \, x}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ({\ mbox {sech}} \, x) = - \ tanh x \; {\ mbox {sech}} \, x}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ({\ mbox {csch}} \, x) = - {\ mbox {coth}} \, x \; {\ mbox {csch}} \, x}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ({\ mbox {settsinh}} \, x) = {1 \ over {\ sqrt {x ^ {2} +1}}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ({\ mbox {settanh}} \, x) = {1 \ over 1-x ^ {2}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ({\ mbox {settcoth}} \, x) = {1 \ peste 1-x ^ {2}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ({\ mbox {settsech}} \, x) = {- 1 \ over x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ({\ mbox {settcsch}} \, x) = {- 1 \ over | x | {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}
Derivate ale funcțiilor compuse
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (| f (x) |) = f '(x) {\ dfrac {f (x)} {| f (x) |}} = f' (x) {\ dfrac { | f (x) |} {f (x)}}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} ([f (x)] ^ {n}) = n \ cdot f (x) ^ {n-1} \ cdot f '(x)}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ ln f (x)) = {f '(x) \ peste f (x)}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ ln | f (x) |) = {f '(x) \ peste f (x)}}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ mathrm {e} ^ {f (x)}) = \ mathrm {e} ^ {f (x)} \ cdot f '(x)}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (a ^ {f (x)}) = a ^ {f (x)} \ cdot f '(x) \ cdot \ ln a}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ sin f (x)) = \ cos f (x) \ cdot f '(x)}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ cos f (x)) = - \ sin f (x) \ cdot f '(x)}
- {\ displaystyle \ mathrm {D} (\ tan f (x)) = {f '(x) \ over \ cos ^ {2} f (x)}}
- {\ displaystyle D (\ arcsin f (x)) = {f '(x) \ over {\ sqrt {1- [f (x)] ^ {2}}}}}
- {\ displaystyle D (\ arccos f (x)) = {- f '(x) \ over {\ sqrt {1- [f (x)] ^ {2}}}}}
- {\ displaystyle D (\ arctan f (x)) = {f '(x) \ over 1+ [f (x)] ^ {2}}}
- {\ displaystyle D (f (x) ^ {g (x)}) = f (x) ^ {g (x)} \ cdot \ left [g '(x) \ cdot \ ln f (x) + g ( x) \ cdot {f '(x) \ peste f (x)} \ right]}
Demonstrație |
---|
- {\ displaystyle {f (x) ^ {g (x)}} = {e ^ {{\ ln} {f (x) ^ {g (x)}}}} = {e ^ {g (x) \ cdot {{\ ln} f (x)}}}} și, prin urmare, derivăm urmând regula lui{\ displaystyle D ({e ^ {f (x)}})} și produsul
|
- {\ displaystyle D (x ^ {f (x)}) = x ^ {f (x)} \ cdot \ left [f '(x) \ cdot \ ln x + {f (x) \ over x} \ right ]}
Elemente conexe