Reguli de derivare

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , regulile de derivare și derivatele fundamentale sunt reguli concepute pentru a evita să calculeze limita raportului incremental de funcții de fiecare dată și utilizate pentru a facilita derivarea funcțiilor de complexitate mai mare.

Reguli de derivare

Lasa-i sa fie Și funcții reale ale variabilei reale derivabil, și așa să fie operația de derivare cu privire la :

cu:

Derivate fundamentale

Fiecare dintre aceste funcții, dacă nu se specifică altfel, poate fi diferențiată în întregul său domeniu de existență .

Funcții polinomiale

Demonstrație

Mai general, avem:

Demonstrație
Aplicarea teoremei binomului :
iar proprietățile coeficienților binomiali se obțin:

Din această ultimă relație rezultă că dacă este un polinom generic de grad , asa de este în general un polinom de grad .

Demonstrație
De sine este un polinom generic de grad , atunci poate fi exprimat în formă
Atunci:
iar aplicarea liniarității limitei se obține
Această ultimă relație, așa cum se poate vedea, coincide exact cu expresia unui polinom de grad .

Puteri, rădăcini și valoare absolută

Demonstrație
aplicând regula de diferențiere a unei funcții compuse:
Aplicând regula demonstrată mai sus primesti:

Funcții logaritmice și exponențiale

Demonstrație
Aplicând din nou proprietățile logaritmilor, obținem:
Aplicarea limitei notabile unde este primesti:
  • Din regulă rezultate:
Demonstrație
de la limita notabilă
de la limita notabilă
Un alt sistem este următorul. Aplicarea proprietăților logaritmilor :
și aplicând regula de diferențiere a unei funcții compuse:
prin urmare
Demonstrație
  • Având în vedere funcția aplicând regula de derivare a funcției inverse , în acest caz , și avem:
  • Aplicarea regulii derivării rezultate:

Funcții goniometrice

Demonstrație
Mai întâi scrieți limita raportului incremental, pentru creșterea care tinde la 0, a funcției:
Folosind proprietățile trigonometrice ale adunării:
În acest moment, amintindu-ne de limitările notabile
aplicând liniaritatea limitei obținem:
Demonstrație
Mai întâi scrieți limita raportului incremental, pentru creșterea care tinde la 0, a funcției:
Acum să profităm de proprietățile trigonometrice ale adunării:
În acest moment, amintindu-ne de limitările notabile
aplicând liniaritatea limitei obținem:
Demonstrație
Mai întâi scriem funcția tangentă ca raport între sinus și cosinus:
Acum puteți utiliza derivata relației dintre două funcții:
În acest moment, relația poate fi dezvoltată în două moduri:
Demonstrație
Notatiile Și indicați aceeași funcție. Scrierea funcției și înmulțiți pe ambele părți astfel încât să obțină . Diferențierea expresiei găsite obținem:
în consecință, avem:
.
Amintindu-mi că:
înlocuind derivatul și obțineți formula pe care o căutați:
.
Demonstrație
Notatiile Și indicați aceeași funcție. Scrierea funcției și înmulțiți pe ambele părți astfel încât să obțină . Diferențierea expresiei găsite obținem:
în consecință, avem:
.
Amintindu-mi că:
înlocuind derivatul și obțineți formula pe care o căutați:
.

Funcții hiperbolice

Derivate ale funcțiilor compuse

Demonstrație
și, prin urmare, derivăm urmând regula lui și produsul

Elemente conexe

Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica