Relație (matematică)

În matematică, o relație este un subset al produsului cartezian din două sau mai multe seturi .

Definiție

Relația dintre două seturi

O relație între două seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ (sau relația binară ) este un subset al produsului lor cartezian, $R\subset A\times B$ ${\ displaystyle R \ subset A \ times B}$ ${\ displaystyle R \ subset A \ times B}$ .

Notările sunt utilizate într-un mod echivalent

(a,b)\in R

{\ displaystyle (a, b) \ în R}

{\ displaystyle (a, b) \ în R}

R(a,b)

{\ displaystyle R (a, b)}

{\ displaystyle R (a, b)}

la R. b

{\ displaystyle aRb}

{\ displaystyle aRb}

iar când sunt verificate se spune că $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Este în legătură cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ (conform raportului $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ ).

Relațiile dintre n seturi

O relație între n seturi $S_{1},\ldots ,S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {1}, \ ldots, S_ {n}}$ ${\ displaystyle S_ {1}, \ ldots, S_ {n}}$ este un subset al produsului lor cartezian $S_{1}\times \ldots \times S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {1} \ times \ ldots \ times S_ {n}}$ ${\ displaystyle S_ {1} \ times \ ldots \ times S_ {n}}$ , adică un set de n -upluri ordonate $(s_{1},\ldots ,s_{n})$ ${\ displaystyle (s_ {1}, \ ldots, s_ {n})}$ ${\ displaystyle (s_ {1}, \ ldots, s_ {n})}$ . Se mai spune raportul n -air (în cazuri specifice și ternare, cuaternare etc.). Notările sunt utilizate într-un mod echivalent

(s_{1},\ldots ,s_{n})\in R

{\ displaystyle (s_ {1}, \ ldots, s_ {n}) \ în R}

{\ displaystyle (s_ {1}, \ ldots, s_ {n}) \ în R}

R(s_{1},\ldots ,s_{n})

{\ displaystyle R (s_ {1}, \ ldots, s_ {n})}

{\ displaystyle R (s_ {1}, \ ldots, s_ {n})}

Cu notație diferită, o relație pe o familie de seturi ${\mathcal {F}}=\{S_{i}\}_{i\in I}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {S_ {i} \} _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {S_ {i} \} _ {i \ in I}}$ este un subset al produsului lor cartezian $\prod _{i\in I}S_{i}$ ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i}}$ ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i}}$ .

În mod formal, este posibil să se definească o relație pe un singur set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (numită și relație unară sau de proprietate ):

R=\{a\in A\mid R(a)\}

{\ displaystyle R = \ {a \ în A \ mid R (a) \}}

{\ displaystyle R = \ {a \ în A \ mid R (a) \}}

Întregul $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este (banal) ansamblul de elemente care se bucură de proprietatea de a aparține $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ .

Proprietate

Se spune că o relație binară $R\subset A\times A$ ${\ displaystyle R \ subset A \ times A}$ ${\ displaystyle R \ subset A \ times A}$ este o relație de echivalență , sau mai simplu o echivalență , dacă este:

Grijuliu: $\forall a\in A,\ aRa$ ${\ displaystyle \ forall a \ în A, \ aRa}$ ${\ displaystyle \ forall a \ în A, \ aRa}$
Simetric: $\forall a,b\in A,\ aRb\Rightarrow bRa$ ${\ displaystyle \ forall a, b \ în A, \ aRb \ Rightarrow bRa}$ ${\ displaystyle \ forall a, b \ în A, \ aRb \ Rightarrow bRa}$
Tranzitiv : $\forall a,b,c\in A,\ aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$ ${\ displaystyle \ forall a, b, c \ în A, \ aRb \ wedge bRc \ Rightarrow aRc}$ ${\ displaystyle \ forall a, b, c \ în A, \ aRb \ wedge bRc \ Rightarrow aRc}$

Se spune că $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este o relație de ordine , sau mai simplu o ordine , dacă este:

Grijuliu: $\forall a\in A,\ aRa$ ${\ displaystyle \ forall a \ în A, \ aRa}$ ${\ displaystyle \ forall a \ în A, \ aRa}$
Antisimetric: $\forall a,b\in A,\ aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b$ ${\ displaystyle \ forall a, b \ in A, \ aRb \ wedge bRa \ Rightarrow a = b}$ ${\ displaystyle \ forall a, b \ in A, \ aRb \ wedge bRa \ Rightarrow a = b}$
Tranzitiv: $\forall a,b,c\in A,\ aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$ ${\ displaystyle \ forall a, b, c \ în A, \ aRb \ wedge bRc \ Rightarrow aRc}$ ${\ displaystyle \ forall a, b, c \ în A, \ aRb \ wedge bRc \ Rightarrow aRc}$

În plus, este total dacă liniaritatea sau totalitatea dețin:

Totalitate: $\forall a,b\in A,\ aRb\vee bRa$ ${\ displaystyle \ forall a, b \ in A, \ aRb \ vee bRa}$ ${\ displaystyle \ forall a, b \ in A, \ aRb \ vee bRa}$ .

Exemple

Ordinea strictă mai mare pentru numerele reale se referă la perechi de numere reale

R=\{(a,b)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid a>b\}

{\ displaystyle R = \ {(a, b) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ mid a> b \}}

{\ displaystyle R = \ {(a, b) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ mid a> b \}}

adică $a\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in \ mathbb {R}$ are o relație mai mare cu $b\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$ cand $a>b$ ${\ displaystyle a> b}$ $a> b$ (acesta este $la R. b$ ${\ displaystyle aRb}$ ${\ displaystyle aRb}$ ).

În ceea ce privește numerele naturale, diferența $a-b=c$ ${\ displaystyle ab = c}$ ${\ displaystyle a-b = c}$ relatează triple $(a,b,c)$ ${\ displaystyle (a, b, c)}$ $(a, b, c)$ conform

R=\{(a,b,c)\in \mathbb {N} ^{3}\mid a-b=c\}

{\ displaystyle R = \ {(a, b, c) \ in \ mathbb {N} ^ {3} \ mid ab = c \}}

{\ displaystyle R = \ {(a, b, c) \ in \ mathbb {N} ^ {3} \ mid a-b = c \}}

Fiecare funcție $f\colon A\to B$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to B}$ $f \ colon A \ to B$ este o relație

R_{f}=\{(a,b)\in A\times B\mid f(a)=b\}

{\ displaystyle R_ {f} = \ {(a, b) \ în A \ times B \ mid f (a) = b \}}

{\ displaystyle R_ {f} = \ {(a, b) \ în A \ times B \ mid f (a) = b \}}

și poate fi identificat cu graficul său .

Pe numere reale, pozitivitatea ( $x\geqslant 0$ ${\ displaystyle x \ geqslant 0}$ ${\ displaystyle x \ geqslant 0}$ ) este o relație:

R=\{x\in \mathbb {R} \mid x\geqslant 0\}

{\ displaystyle R = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geqslant 0 \}}

{\ displaystyle R = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geqslant 0 \}}

O relație de echivalență este o relație.

Aplicații

Informatică

„Relațiile” care sunt utilizate în bazele de date sunt într-adevăr relații:

în modelul entitate-relație , relațiile sunt relații între seturi de entități ;
în modelul relațional , relațiile sunt relații între seturi de domenii ; reprezentarea tabelară a t-tuplurilor este reprezentarea prin listarea n-tuplurilor (în engleză t-tuples ).