Relația lui Poisson

Relația Poisson este un operator liniar care leagă derivata unui vector în raport cu sistemele de referință în mișcare de rotație relativă. ^[1]

Definiție

Fie u un vector generic și să se dea două sisteme de referință, dintre care unul este fix și celălalt se rotește față de primul. Apoi, între derivatele vectorului în cele două sisteme de referință există următoarea relație:

\left({\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}\right)_{1}=\left({\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}\right)_{2}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {u}} {{\ mbox {d}} t}} \ right) _ {1} = \ left ({\ frac {{ \ mbox {d}} \ mathbf {u}} {{\ mbox {d}} t}} \ right) _ {2} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {u}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {u}} {{\ mbox {d}} t}} \ right) _ {1} = \ left ({\ frac {{ \ mbox {d}} \ mathbf {u}} {{\ mbox {d}} t}} \ right) _ {2} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {u}}

unde termenul cu indicele 1 reprezintă derivata calculată în sistemul fix, în timp ce termenul cu indicele 2 reprezintă derivata calculată în sistemul rotativ . Mărimea ω reprezintă în acest caz viteza cu care variază unghiul dintre cele două sisteme de referință, respectiv viteza relativă unghiulară .

Demonstrație

Dat fiind un vector u în spațiu , și _fie A _θ matricea de rotație. Apoi există o bază de spațiu în care matricea poate fi exprimată ca:

A_{\theta }=\left({\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{matrix}}\right)

{\ displaystyle A _ {\ theta} = \ left ({\ begin {matrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta & 0 \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right)}

{\ displaystyle A _ {\ theta} = \ left ({\ begin {matrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta & 0 \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right)}

Această matrice transformă coordonatele sistemului fix în cele ale sistemului rotativ. De asemenea, argumentul θ care apare în expresia matricei este o funcție a variabilei t .

Prin urmare, un vector poate fi exprimat ca o combinație liniară a elementelor celor două baze:

{\mathbf {u} }=u_{x}{\mathbf {i} }+u_{y}{\mathbf {j} }+u_{z}{\mathbf {k} }

{\ displaystyle {\ mathbf {u}} = u_ {x} {\ mathbf {i}} + u_ {y} {\ mathbf {j}} + u_ {z} {\ mathbf {k}}}

{\ displaystyle {\ mathbf {u}} = u_ {x} {\ mathbf {i}} + u_ {y} {\ mathbf {j}} + u_ {z} {\ mathbf {k}}}

{\mathbf {u} }=u'_{x}{\mathbf {i'} }+u'_{y}{\mathbf {j'} }+u'_{z}{\mathbf {k'} }

{\ displaystyle {\ mathbf {u}} = u '_ {x} {\ mathbf {i'}} + u '_ {y} {\ mathbf {j'}} + u '_ {z} {\ mathbf {k '}}}

{\ displaystyle {\ mathbf {u}} = u '_ {x} {\ mathbf {i'}} + u '_ {y} {\ mathbf {j'}} + u '_ {z} {\ mathbf {k '}}}

cu versori accentuati reprezentand baza sistemului rotativ. Derivând prima formă obținem:

{\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}={\frac {{\mbox{d}}u_{x}}{{\mbox{d}}t}}\mathbf {i} +{\frac {{\mbox{d}}u_{y}}{{\mbox{d}}t}}\mathbf {j} +{\frac {{\mbox{d}}u_{z}}{{\mbox{d}}t}}\mathbf {k} =:\left({\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}\right)_{1}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {u}} {{\ mbox {d}} t}} = {\ frac {{\ mbox {d}} u_ {x}} {{ \ mbox {d}} t}} \ mathbf {i} + {\ frac {{\ mbox {d}} u_ {y}} {{\ mbox {d}} t}} \ mathbf {j} + {\ frac {{\ mbox {d}} u_ {z}} {{\ mbox {d}} t}} \ mathbf {k} =: \ left ({\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {u }} {{\ mbox {d}} t}} \ right) _ {1}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {u}} {{\ mbox {d}} t}} = {\ frac {{\ mbox {d}} u_ {x}} {{ \ mbox {d}} t}} \ mathbf {i} + {\ frac {{\ mbox {d}} u_ {y}} {{\ mbox {d}} t}} \ mathbf {j} + {\ frac {{\ mbox {d}} u_ {z}} {{\ mbox {d}} t}} \ mathbf {k} =: \ left ({\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {u }} {{\ mbox {d}} t}} \ right) _ {1}}

care exprimă derivata vectorului u în sistemul fix.

Acum, versorii unității sistemului rotativ pot fi determinați folosind matricea de rotație:

\left({\begin{matrix}\mathbf {i} ^{\prime }\\\mathbf {j} ^{\prime }\\\mathbf {k} ^{\prime }\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {i} \\\mathbf {j} \\\mathbf {k} \end{matrix}}\right)\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}\mathbf {i} ^{\prime }=\mathbf {i} \cos \theta +\mathbf {j} \sin \theta \\\mathbf {j} ^{\prime }=-\mathbf {i} \sin \theta +\mathbf {j} \cos \theta \\\mathbf {k} ^{\prime }=\mathbf {k} \end{cases}}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} \ mathbf {i} ^ {\ prime} \\\ mathbf {j} ^ {\ prime} \\\ mathbf {k} ^ {\ prime} \ end {matrix }} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta & 0 \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end { matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} \ mathbf {i} \\\ mathbf {j} \\\ mathbf {k} \ end {matrix}} \ right) \ qquad \ Rightarrow \ qquad { \ begin {cases} \ mathbf {i} ^ {\ prime} = \ mathbf {i} \ cos \ theta + \ mathbf {j} \ sin \ theta \\\ mathbf {j} ^ {\ prime} = - \ mathbf {i} \ sin \ theta + \ mathbf {j} \ cos \ theta \\\ mathbf {k} ^ {\ prime} = \ mathbf {k} \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} \ mathbf {i} ^ {\ prime} \\\ mathbf {j} ^ {\ prime} \\\ mathbf {k} ^ {\ prime} \ end {matrix }} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta & 0 \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end { matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} \ mathbf {i} \\\ mathbf {j} \\\ mathbf {k} \ end {matrix}} \ right) \ qquad \ Rightarrow \ qquad { \ begin {cases} \ mathbf {i} ^ {\ prime} = \ mathbf {i} \ cos \ theta + \ mathbf {j} \ sin \ theta \\\ mathbf {j} ^ {\ prime} = - \ mathbf {i} \ sin \ theta + \ mathbf {j} \ cos \ theta \\\ mathbf {k} ^ {\ prime} = \ mathbf {k} \ end {cases}}}

Derivând acum a doua formă de u avem:

{\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}={\frac {{\mbox{d}}u_{x}^{\prime }}{{\mbox{d}}t}}\mathbf {i} ^{\prime }+{\frac {{\mbox{d}}u_{y}^{\prime }}{{\mbox{d}}t}}\mathbf {j} ^{\prime }+{\frac {{\mbox{d}}u_{z}^{\prime }}{{\mbox{d}}t}}\mathbf {k} ^{\prime }+u_{x}^{\prime }{\frac {{\mbox{d}}\mathbf {i} ^{\prime }}{{\mbox{d}}t}}+u_{y}^{\prime }{\frac {{\mbox{d}}\mathbf {j} ^{\prime }}{{\mbox{d}}t}}+u_{z}^{\prime }{\frac {{\mbox{d}}\mathbf {k} ^{\prime }}{{\mbox{d}}t}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {u}} {{\ mbox {d}} t}} = {\ frac {{\ mbox {d}} u_ {x} ^ {\ prime}} {{\ mbox {d}} t}} \ mathbf {i} ^ {\ prime} + {\ frac {{\ mbox {d}} u_ {y} ^ {\ prime}} {{\ mbox {d}} t}} \ mathbf {j} ^ {\ prime} + {\ frac {{\ mbox {d}} u_ {z} ^ {\ prime}} {{\ mbox {d}} t}} \ mathbf {k} ^ {\ prime} + u_ {x} ^ {\ prime} {\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {i} ^ {\ prime}} {{\ mbox {d}} t}} + u_ {y} ^ {\ prime} {\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {j} ^ {\ prime}} {{\ mbox {d}} t}} + u_ {z } ^ {\ prime} {\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {k} ^ {\ prime}} {{\ mbox {d}} t}}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {u}} {{\ mbox {d}} t}} = {\ frac {{\ mbox {d}} u_ {x} ^ {\ prime}} {{\ mbox {d}} t}} \ mathbf {i} ^ {\ prime} + {\ frac {{\ mbox {d}} u_ {y} ^ {\ prime}} {{\ mbox {d}} t}} \ mathbf {j} ^ {\ prime} + {\ frac {{\ mbox {d}} u_ {z} ^ {\ prime}} {{\ mbox {d}} t}} \ mathbf {k} ^ {\ prime} + u_ {x} ^ {\ prime} {\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {i} ^ {\ prime}} {{\ mbox {d}} t}} + u_ {y} ^ {\ prime} {\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {j} ^ {\ prime}} {{\ mbox {d}} t}} + u_ {z } ^ {\ prime} {\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {k} ^ {\ prime}} {{\ mbox {d}} t}}}

Primii trei termeni sunt, prin definiție, derivata vectorului u calculată în sistemul rotativ; restul de trei termeni pot fi rescriși ca:

{\dot {\theta }}(u_{x}^{\prime }\mathbf {j} ^{\prime }-u_{y}^{\prime }\mathbf {i} ^{\prime })

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} (u_ {x} ^ {\ prime} \ mathbf {j} ^ {\ prime} -u_ {y} ^ {\ prime} \ mathbf {i} ^ {\ prime })}

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} (u_ {x} ^ {\ prime} \ mathbf {j} ^ {\ prime} -u_ {y} ^ {\ prime} \ mathbf {i} ^ {\ prime })}

Cu toate acestea, este recunoscut faptul că a spus ${\dot {\theta }}=\omega$ ${\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = \ omega}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = \ omega}$ , această expresie este exact determinantul matricei:

{\begin{vmatrix}\mathbf {i} ^{\prime }&\mathbf {j} ^{\prime }&\mathbf {k} ^{\prime }\\0&0&{\dot {\theta }}\\u_{x}^{\prime }&u_{y}^{\prime }&u_{z}^{\prime }\end{vmatrix}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u}

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i} ^ {\ prime} & \ mathbf {j} ^ {\ prime} & \ mathbf {k} ^ {\ prime} \\ 0 & 0 & {\ dot {\ theta}} \\ u_ {x} ^ {\ prime} & u_ {y} ^ {\ prime} & u_ {z} ^ {\ prime} \ end {vmatrix}} = {\ boldsymbol {\ omega} } \ times \ mathbf {u}}

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i} ^ {\ prime} & \ mathbf {j} ^ {\ prime} & \ mathbf {k} ^ {\ prime} \\ 0 & 0 & {\ dot {\ theta}} \\ u_ {x} ^ {\ prime} & u_ {y} ^ {\ prime} & u_ {z} ^ {\ prime} \ end {vmatrix}} = {\ boldsymbol {\ omega} } \ times \ mathbf {u}}

În cele din urmă, prin echivalarea celor două expresii obținem teza:

\left({\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}\right)_{1}=\left({\frac {{\mbox{d}}\mathbf {u} }{{\mbox{d}}t}}\right)_{2}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {u}} {{\ mbox {d}} t}} \ right) _ {1} = \ left ({\ frac {{ \ mbox {d}} \ mathbf {u}} {{\ mbox {d}} t}} \ right) _ {2} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {u}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {u}} {{\ mbox {d}} t}} \ right) _ {1} = \ left ({\ frac {{ \ mbox {d}} \ mathbf {u}} {{\ mbox {d}} t}} \ right) _ {2} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {u}}

Liniaritatea relației derivă evident din liniaritatea operatorului derivat.

Aplicații

Pentru acest punct

Același subiect în detaliu: teorema lui Coriolis .

La corpul rigid

Luați în considerare mai general un sistem de referință cu axe ortonormale conform convenției levorotatorii S ' integral cu un corp rigid și în mișcare față de un sistem cu aceeași bază ortonormală, dar fix.

Atunci să fie A matricea ale cărei coloane sunt compuse din vectorii bazei lui S ' măsurați în S. Apoi, pentru derivata acestei matrice se menține următoarea relație:

{\dot {A}}=AB

{\ displaystyle {\ dot {A}} = AB}

{\ displaystyle {\ dot {A}} = AB}

unde B este o matrice antisimetrică.

Demonstrație

Deoarece A este ortogonală, satisface proprietatea

A^{T}A=\operatorname {Id}

{\ displaystyle A ^ {T} A = \ operatorname {Id}}

{\ displaystyle A ^ {T} A = \ operatorname {Id}}

Se obține derivarea acestei expresii

{\dot {A}}^{T}A+A^{T}{\dot {A}}=0

{\ displaystyle {\ dot {A}} ^ {T} A + A ^ {T} {\ dot {A}} = 0}

{\ displaystyle {\ dot {A}} ^ {T} A + A ^ {T} {\ dot {A}} = 0}

și, numită B matricea

B=A^{T}{\dot {A}}

{\ displaystyle B = A ^ {T} {\ dot {A}}}

{\ displaystyle B = A ^ {T} {\ dot {A}}}

verificăm că B = - B ^T , deci B este antisimetric. Înmulțind această matrice cu A obținem

AB=AA^{T}{\dot {A}}\quad \Rightarrow {\dot {A}}=AB

{\ displaystyle AB = AA ^ {T} {\ dot {A}} \ quad \ Rightarrow {\ dot {A}} = AB}

{\ displaystyle AB = AA ^ {T} {\ dot {A}} \ quad \ Rightarrow {\ dot {A}} = AB}

Va fi atunci:

\operatorname {D} {\begin{pmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-\alpha &\beta \\\alpha &0&-\gamma \\-\beta &\gamma &0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ operatorname {D} {\ begin {pmatrix} \ mathbf {i} '& \ mathbf {j}' & \ mathbf {k} '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf { i} '& \ mathbf {j}' & \ mathbf {k} '\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & - \ alpha & \ beta \\\ alpha & 0 & - \ gamma \\ - \ beta & \ gamma & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ operatorname {D} {\ begin {pmatrix} \ mathbf {i} '& \ mathbf {j}' & \ mathbf {k} '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf { i} '& \ mathbf {j}' & \ mathbf {k} '\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & - \ alpha & \ beta \\\ alpha & 0 & - \ gamma \\ - \ beta & \ gamma & 0 \ end {pmatrix}}}

Acum, așa cum s-a văzut deja mai sus, derivata unei unități vectoriale este direct proporțională cu viteza cu care își variază direcția și, prin urmare, cu viteza unghiulară de-a lungul direcției celorlalte unități vectoriale. Rezultă că coeficienții matricei antisimetrice vor fi viteze unghiulare. Atunci să fie ω vectorul

{\boldsymbol {\omega }}={\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ begin {pmatrix} \ omega _ {1} \\\ omega _ {2} \\\ omega _ {3} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ begin {pmatrix} \ omega _ {1} \\\ omega _ {2} \\\ omega _ {3} \ end {pmatrix}}}

Din calculul ω × i 'avem:

{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {i} '={\begin{vmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\\\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}\\1&0&0\end{vmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\omega _{3}\\-\omega _{2}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {i} '= {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i}' & \ mathbf {j} '& \ mathbf {k}' \\\ omega _ {1} & \ omega _ {2} & \ omega _ {3} \\ 1 & 0 & 0 \ end {vmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\\ omega _ {3} \\ - \ omega _ {2} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {i} '= {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i}' & \ mathbf {j} '& \ mathbf {k}' \\\ omega _ {1} & \ omega _ {2} & \ omega _ {3} \\ 1 & 0 & 0 \ end {vmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\\ omega _ {3} \\ - \ omega _ {2} \ end {pmatrix}}}

în timp ce din calculul lui ω × j ' rezultă că:

{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {j} '={\begin{vmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\\\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}\\0&1&0\end{vmatrix}}={\begin{pmatrix}-\omega _{3}\\0\\\omega _{1}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {j} '= {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i}' & \ mathbf {j} '& \ mathbf {k}' \\\ omega _ {1} & \ omega _ {2} & \ omega _ {3} \\ 0 & 1 & 0 \ end {vmatrix}} = {\ begin {pmatrix} - \ omega _ {3} \\ 0 \\ \ omega _ {1} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {j} '= {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i}' & \ mathbf {j} '& \ mathbf {k}' \\\ omega _ {1} & \ omega _ {2} & \ omega _ {3} \\ 0 & 1 & 0 \ end {vmatrix}} = {\ begin {pmatrix} - \ omega _ {3} \\ 0 \\ \ omega _ {1} \ end {pmatrix}}}

Din aceasta concluzionăm că α = ω ₃ , β = ω ₂ și γ = ω ₁ . Relația Poisson devine atunci

\operatorname {D} {\begin{pmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-\omega _{3}&\omega _{2}\\\omega _{3}&0&-\omega _{1}\\-\omega _{2}&\omega _{1}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {i} '&{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {j} '&{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {k} '\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ operatorname {D} {\ begin {pmatrix} \ mathbf {i} '& \ mathbf {j}' & \ mathbf {k} '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf { i} '& \ mathbf {j}' & \ mathbf {k} '\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & - \ omega _ {3} & \ omega _ {2} \\\ omega _ {3} & 0 & - \ omega _ {1} \\ - \ omega _ {2} & \ omega _ {1} & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ boldsymbol {\ omega }} \ times \ mathbf {i} '& {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {j}' & {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {k} '\ end {pmatrix}} }

{\ displaystyle \ operatorname {D} {\ begin {pmatrix} \ mathbf {i} '& \ mathbf {j}' & \ mathbf {k} '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf { i} '& \ mathbf {j}' & \ mathbf {k} '\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & - \ omega _ {3} & \ omega _ {2} \\\ omega _ {3} & 0 & - \ omega _ {1} \\ - \ omega _ {2} & \ omega _ {1} & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ boldsymbol {\ omega }} \ times \ mathbf {i} '& {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {j}' & {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {k} '\ end {pmatrix}} }

Pentru a descrie poziția unui corp rigid solid cu sistemul S ' față de sistemul S , vectorii de poziție ai unui punct generic P al corpului rigid sunt considerați

\mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} _{OO'}+\mathbf {r'} _{P}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {P} = \ mathbf {r} _ {OO '} + \ mathbf {r'} _ {P}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {P} = \ mathbf {r} _ {OO '} + \ mathbf {r'} _ {P}}

Derivând și aplicând relația Poisson tocmai obținută, se determină

\mathbf {v} _{P}=\mathbf {v} _{OO'}+\mathbf {v'} _{P}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r'} _{P}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = \ mathbf {v} _ {OO '} + \ mathbf {v'} _ {P} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ' } _ {P}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = \ mathbf {v} _ {OO '} + \ mathbf {v'} _ {P} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ' } _ {P}}

Notă

^ Formulele lui Poisson , pe www.youmath.it . Adus de 25 septembrie 2020.

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] Formulele lui Poisson , pe www.youmath.it . Adus de 25 septembrie 2020.

[1]