O anuitate financiară este o succesiune de sume, numite rate , care trebuie colectate (sau plătite) în momente diferite, numite scadențe, la intervale de timp specifice.
Prin urmare, o renta S este identificată prin 3 argumente:
{\ displaystyle R_ {k} \;} : rata care trebuie colectată (sau plătită) la scadență {\ displaystyle t_ {k} \;}
{\ displaystyle t_ {k} \;} : expirare, adică momentul din intervalul K în care rata este colectată (sau plătită) {\ displaystyle R_ {k} \;}
{\ displaystyle n \;} : numărul de rate totale
și poate fi indicat cu {\ displaystyle S = (R_ {k}, \; t_ {k} \;)} unde este {\ displaystyle k \; = 0,1,2, ..., n}
Clasificarea anuităților
O anuitate poate fi clasificată în funcție de caracteristicile argumentelor sale:
{\ displaystyle \ mathbf {n}} : numărul de rate
- Dacă n este un număr finit, anuitatea se numește temporară
- Dacă n este stabilit a priori și este independent de orice eveniment, se spune că chiria temporară este sigură
- Dacă, pe de altă parte, n nu este stabilit a priori și depinde, de exemplu, de existența unei persoane în viață, se spune că durează toată viața
- Dacă n este infinit, chiria se numește perpetuă
{\ displaystyle \ mathbf {t_ {k}}} : frecvență și expirare
- Dacă scadențele sunt separate printr-un interval de timp egal, anuitatea este periodică și cantitatea {\ displaystyle p \; = \; t_ {k} \; - \; t_ {k-1}} corespunde unei perioade:
- Dacă p = 1 lună, renta este denumită lunar , dacă p = 1 an, renta este denumită anual , dacă p = 3 luni, renta este denumită trimestrial și așa mai departe.
- Dacă data scadenței este stabilită la începutul unei perioade de timp, renta este avansată
- Dacă scadența este stabilită la sfârșitul unui interval, renta este amânată
{\ displaystyle \ mathbf {R_ {k}}} : data intrării în vigoare
- Dacă prima tranșă este colectată (sau plătită) la început, renta este numită imediată .
-
- Dacă prima tranșă este colectată (sau plătită) începând dintr-un anumit moment {\ displaystyle \; t_ {p}} ulterior {\ displaystyle \; t_ {0}} , anualitatea se spune că este amânată cu o perioadă p.
- Exemplu:
-
-
- Este evident că o anuitate amânată a unei perioade p coincide cu o anualitate amânată a unei perioade p-1
- În cele din urmă, o anuitate poate fi o rată constantă dacă toate ratele diferite de zero au aceeași valoare sau o rată variabilă dacă nu au aceeași valoare
Valoarea unei anuități
Valoarea {\ displaystyle \; V (t_ {j})} a unui venit financiar instantaneu {\ displaystyle \; t_ {j}} este suma stâlpilor ratelor cu scadențe anterioare {\ displaystyle \; t_ {j}} , a valorilor curente ale ratelor cu scadență după {\ displaystyle \; t_ {j}} , și, eventual, rata {\ displaystyle \; R_ {j}} cu expirare {\ displaystyle \; t_ {j}}
În cazul mai general, atunci:
{\ displaystyle V (t_ {j}) = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} R_ {k} \; f (t_ {j} \; - \; t_ {k}) \; + \; R_ {j} \; + \ sum _ {k = j + 1} ^ {n} R_ {k} \; g (t_ {k} \; - \; t_ {j})}
unde este
{\ displaystyle f (t_ {j} \; - \; t_ {k})} este factorul Riser e {\ displaystyle g (t_ {k} \; - \; t_ {j})} este factorul de reducere în schema de capitalizare aleasă.
Valoarea actuală a unei anuități
Valoarea actuală a unei anuități este valoarea acesteia {\ displaystyle \; V (t_ {0})} calculat la momentul respectiv {\ displaystyle \; t = t_ {0}} și este egal cu suma valorilor curente ale ratelor individuale de anuitate din schema de capitalizare aleasă.
Schema de capitalizare compusă
În cazul unei anuități amânate periodice imediate de n rate constante, în regimul de reduceri compuse în care rata dobânzii, pentru o perioadă {\ displaystyle \; p = t_ {k + 1} -t_ {k}} , Și {\ displaystyle \; i} , factorul de reducere pentru o perioadă p este
{\ displaystyle g (t_ {k} -t_ {0}) = {\ frac {1} {(1 + i) ^ {k}}}}
asa de
{\ displaystyle \; V (t_ {0}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} R_ {k} \; g (t_ {k} \; - \; t_ {0}) = \; \ sum _ {k = 0} ^ {n} R_ {k} \; {\ frac {1} {(1 + i) ^ {k}}}}
deoarece renta amânată este imediată și la o rată constantă: {\ displaystyle \; R_ {0} = 0 \ quad} Și {\ displaystyle \; R_ {1} = R_ {2} = ... = R_ {n} = R}
{\ displaystyle \; V (t_ {0}) = R \; \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {(1 + i) ^ {k}}}}
observând că
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {(1 + i) ^ {k}}}} este o serie geometrică a rațiunii {\ displaystyle v = {\ frac {1} {(1 + i)}}}
și știind asta pentru o serie geometrică
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} v ^ {k} \; = \; v \; {\ frac {1-v ^ {n}} {1-v}} \; = \ ; \ left ({\ frac {1} {1 + i}} \ right) \; {\ frac {1 - ({\ frac {1} {1 + i}}) ^ {n}} {1- { \ frac {1} {1 + i}}}} \; = \; {\ frac {1 - ({\ frac {1} {1 + i}}) ^ {n}} {i}} = a_ { n ^ {\ urcorner} i}}
De fapt, luați în considerare o anuitate periodică amânată de n rate unitare, deci cu {\ displaystyle \; R = 1} ; valoarea sa curentă este indicată cu {\ displaystyle a_ {n ^ {\ urcorner} i}} (a se citi ca un n amânat, figurativ, la rata i ). În simboluri:
{\ displaystyle a_ {n ^ {\ urcorner} i} = {\ frac {1 - ({\ frac {1} {1 + i}}) ^ {n}} {i}} = {\ frac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i}}}
de aici și valoarea actuală {\ displaystyle \; V (t_ {0})} a unei rente generice de n rate {\ displaystyle \; R} constantă și amânată poate fi scrisă
{\ displaystyle \; V (t_ {0}) = R \ cdot {\ frac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i}} = R \ cdot a_ {n ^ {\ urcorner} i }}
Să luăm acum în considerare cazul unei anuități, întotdeauna periodice și unitare, dar de data aceasta cu n plăți periodice în avans; valoarea sa curentă este indicată cu {\ displaystyle {\ ddot {a}} _ {n ^ {\ urcorner} i}} (să fie citit ca un preplătit, calculat n, la rata i ). În simboluri:
{\ displaystyle {\ ddot {a}} _ {n ^ {\ urcorner} i} = {\ frac {1 - ({\ frac {1} {1 + i}}) ^ {n}} {\ frac { i} {1 + i}}} = {\ frac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i (1 + i) ^ {- 1}}} = {\ frac {(1 + i ) [1- (1 + i) ^ {- n}]} {i}}}
de aici și valoarea actuală {\ displaystyle \; V (t_ {0})} a rentei generice de n rate {\ displaystyle \; R} constante și anticipate pot fi scrise
{\ displaystyle \; V (t_ {0}) = R \ cdot {\ frac {(1 + i) [1- (1 + i) ^ {- n}]} {i}} = R \ cdot {\ ddot {a}} _ {n ^ {\ urcorner} i}}
Formule și exemple
Valoarea actuală a unei anuități amânate în rate constante la rata i pentru n ani:
- {\ displaystyle \ operatorname {V} \ left ({t_ {0}} \ right) = {\ frac {R \, \ left (1 - {\ frac {1} {{\ left (i + 1 \ right) } ^ {n}}} \ right)} {i}}}
De exemplu, calculați valoarea actualizată a unei anuități amânate de 900 de euro pe an, care durează 17 ani, la o rată de 7,15%. Folosind software-ul wxMaxima avem:
i : 0,0715 ;
n : 17 ;
R : 900 ;
V ( t_0 ) = R * ( 1 - ( 1 + i ) ^ - n ) / i ;
( i ) 0,0715
( n ) 17
( R ) 900
V ( t_0 ) = 8696.338623521242
Rată constantă a unei anuități amânate pentru n ani la rata i cu valoarea actualizată V (t_0):
- {\ displaystyle R = {\ frac {i \, {{\ left (i + 1 \ right)} ^ {n}} \ operatorname {V} \ left ({t_ {0}} \ right)} {{{ \ left (i + 1 \ right)} ^ {n}} - 1}}}
Numărul de rate ale unei anuități amânate la rata i cu rata R și valoarea actualizată V (t_0):
- {\ displaystyle n = {\ frac {\ log {\ left ({\ frac {R} {Ri \ operatorname {V} \ left ({t_ {0}} \ right)}} \ right)}} {\ log {\ left (i + 1 \ right)}}}}
Rata dobânzii unei anuități amânate cu rata R și valoarea actualizată V (t_0) pentru n ani:
De exemplu, valoarea actualizată, calculată cu un an înainte de expirarea primei rate, a unei anuități constând din 9 rate, fiecare din 300, este 1929.868. Determinați ce rată a fost utilizată pentru calculul valorii actuale. Folosind software-ul wxMaxima obțineți o rată de 7,3%:
V : 1929,868 ;
n : 9 ;
R : 300 ;
to_poly_solve ([ V = R * ( 1 - ( 1 + r ) ^ - n ) / r ], [ r ]);
% Union ([r = .07300001206811242], [r = *% -0.7835774717891064 -0.9178453579311091], [r = *% -0.6467956796649063 -1.411920484012052], [r = *% -0.5890569779386072 -0.4132408829284167], [r = -0.2486807974679337 *% i -1.715767757965928], [r = -1.715767757965928 .2486807974679337 *% i], [r = .5890569779386072 *% i -0.4132408829284167], [r = -1.411920484012052 0.6467956796649063 *% i], [r = .7835774717891064 *% i -0.9178453579311091] )
Valoarea actuală a unei anuități plătite în rate constante:
- {\ displaystyle \ operatorname {V} \ left ({t_ {0}} \ right) = {\ frac {R \, \ left (i + 1 \ right) \, \ left (1 - {\ frac {1} {{\ left (i + 1 \ right)} ^ {n}}} \ right)} {i}}}
De exemplu, calculați valoarea actuală a unei anuități anuale, care are 10 plăți în avans, fiecare din 1680 la 7%. Folosind software-ul wxMaxima avem:
i : 0,07 ;
n : 10 ;
R : 1680 ;
V ( t_0 ) = R * ( 1 + i ) * ( 1 - ( 1 + i ) ^ - n ) / i ;
( i ) 0,07
( n ) 10
( R ) 1680
V ( t_0 ) = 12625,59017798044
Rata constantă a unei anuități avansate pentru n ani la rata i cu valoarea actualizată V (t_0):
- {\ displaystyle R = {\ frac {i \, {{\ left (i + 1 \ right)} ^ {n}} \ operatorname {V} \ left ({t_ {0}} \ right)} {{{ \ left (i + 1 \ right)} ^ {n + 1}} - i-1}}}
Numărul de rate ale unei rente anticipate la rata i cu rata R și valoarea actualizată V (t_0):
- {\ displaystyle n = {\ frac {\ log {\ left ({\ frac {Ri} {- i \ operatorname {V} \ left ({t_ {0}} \ right) + Ri + R}} + {\ frac {R} {- i \ operatorname {V} \ left ({t_ {0}} \ right) + Ri + R}} \ right)}} {\ log {\ left (i + 1 \ right)}} }}
Suma unei anuități
Valoarea unei anuități este valoarea {\ displaystyle \; V (t_ {n})} calculat la momentul respectiv {\ displaystyle \; t = t_ {n}} și este echivalent cu suma sumelor ratelor individuale calculate la sfârșitul anuității în schema de capitalizare aleasă.
Schema de capitalizare compusă
În cazul sumei unei anuități periodice anticipate imediate de n rate, în regimul dobânzii compuse în care rata dobânzii, pentru o perioadă {\ displaystyle \; p = t_ {k + 1} -t_ {k}} , Și {\ displaystyle \; i} , factorul ascendent este
{\ displaystyle \; f (t_ {n} -t_ {k}) = (1 + i) ^ {nk}}
asa de
{\ displaystyle \; V (t_ {n}) = \; \ sum _ {k = 0} ^ {n} R_ {k} \; f (t_ {n} \; - \; t_ {k}) = \; \ sum _ {k = 0} ^ {n} R_ {k} \; (1 + i) ^ {nk}}
deoarece renta anticipată este imediată și la o rată constantă, ultima rată este plătită instantaneu {\ displaystyle t_ {n-1}} , asa de {\ displaystyle \; R_ {n} = 0} , Și {\ displaystyle \; R_ {0} = R_ {1} = R_ {2} = ... = R_ {n-1} = R}
{\ displaystyle V (t_ {n}) = \; R \; \ left [(1 + i) ^ {n} + (1 + i) ^ {n-1} + .... + (1 + i ) \ right] \; = \; R \; \ sum _ {k = 1} ^ {n} \; (1 + i) ^ {k}}
observând că
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} \; (1 + i) ^ {k}} este o serie geometrică a rațiunii {\ displaystyle \; r = (1 + i)}
și știind asta pentru o serie geometrică
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} r ^ {k} \; = \; r \; {\ frac {1-r ^ {n}} {1-r}} \; = \ ; (1 + i) {\ frac {1- (1 + i) ^ {n}} {1- (1 + i)}} = \; (1 + i) {\ frac {1- (1 + i ) ^ {n}} {- i}} = \; (1 + i) {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}} = {\ ddot {s}} _ {n ^ {\ urcorner} i}}
De fapt, luați în considerare o rată anticipată periodică de {\ displaystyle \; n} rate unitare, deci cu {\ displaystyle \; R = 1} ; poziția sa verticală este indicată cu {\ displaystyle {\ ddot {s}} _ {n ^ {\ urcorner} i}} (de citit așa cum s-a anticipat, figurează n, la rata i ). În simboluri:
{\ displaystyle {\ ddot {s}} _ {n ^ {\ urcorner} i} = {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {\ frac {i} {1 + i}}} = (1 + i) \ cdot {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}} = {\ frac {(1 + i) [(1 + i) ^ {n} -1 ]} {the}}}
apoi răsăritul {\ displaystyle \; V (t_ {n})} a unui venit generic de {\ displaystyle \; n} rate {\ displaystyle \; R} constante și anticipate pot fi scrise
{\ displaystyle \; V (t_ {n}) = R \ cdot {\ frac {(1 + i) [(1 + i) ^ {n} -1]} {i}} = R \ cdot {\ ddot {s}} _ {n ^ {\ urcorner} i}}
Acum ia în considerare cazul unei anuități, întotdeauna periodic și unitar, dar de data aceasta cu {\ displaystyle \; n} plăți amânate periodic; poziția sa verticală este indicată cu {\ displaystyle s_ {n ^ {\ urcorner} i}} (a se citi ca amânat s, figurativ n, cu rata i ). În simboluri:
{\ displaystyle s_ {n ^ {\ urcorner} i} = {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}}}
apoi răsăritul {\ displaystyle \; V (t_ {n})} a venitului generic al {\ displaystyle \; n} rate {\ displaystyle \; R} constantă și amânată poate fi scrisă
{\ displaystyle \; V (t_ {n}) = R \ cdot {\ frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}} = R \ cdot s_ {n ^ {\ urcorner} i} }
Formule și exemple
Valoarea unei anuități amânate în rate constante la rata i pentru n ani:
- {\ displaystyle \ operatorname {V} \ left ({t_ {n}} \ right) = {\ frac {R \, \ left ({{\ left (i + 1 \ right)} ^ {n}} - 1 \ dreapta)} {i}}}
De exemplu, calculați suma unei anuități amânate de 225 de euro pe an, care durează 12 ani, la o rată de 5,15%. Folosind software-ul wxMaxima avem:
i : 0,0515 ;
n : 12 ;
R : 225 ;
V ( t_n ) = R * (( 1 + i ) ^ n -1 ) / i ;
( i ) 0,0515
( n ) 12
( R ) 225
V ( t_n ) = 3612.606469918203
Rată constantă a unei anuități amânate pentru n ani la rata i cu suma V (t_n):
- {\ displaystyle R = {\ frac {i \ operatorname {V} \ left ({t_ {n}} \ right)} {{{\ left (i + 1 \ right)} ^ {n}} - 1}} }
Numărul de rate ale unei anuități amânate la rata i cu rata R și suma V (t_n):
- {\ displaystyle n = {\ frac {\ log {\ left ({\ frac {i \ operatorname {V} \ left ({t_ {n}} \ right)} {R}} + 1 \ right)}} { \ log {\ left (i + 1 \ right)}}}}
Rata dobânzii unei anuități amânate cu rata R și suma V (t_n) pentru n ani:
De exemplu, suma, calculată cu un an înainte de expirarea primei rate, a unei anuități constând din 12 rate, fiecare de 225 euro, este de 3612.606. Determinați ce rată a fost utilizată pentru calcularea sumei. Folosind software-ul wxMaxima obțineți o rată de 5,15%:
V : 3612,606 ;
n : 12 ;
R : 225 ;
to_poly_solve ([ V = R * (( 1 + r ) ^ n -1 ) / r ], [ r ]);
% Unire ([r = .05149997702944824], [r = -1.296632309996783 *% i -1.253146252056517], [r = -1.205001868082515 *% i -0.5451415647133405], [r = -0.9856479822954306 *% i -1.253146252056517], [r = -1.205001868082515 *% i -0.5451415647133405], [r = -0.9856479822954306 * *% i -0.0208893551040657], [r = *% -0.3668230430389623 -2.298370447418818], [r = -2.298370447418818 0.3668230430389623 *% i], [r = 0.7441198833435381 *% i -0.0208893551040657], [r = 0.9856479822954306 *% i -1.908202369486541], [r = 1.205001868082515 *% i -0.5451415647133405], [r = 1.296632309996783 *% i -1.253146252056517])
Suma unei anuități în avans în rate constante:
- {\ displaystyle \ operatorname {V} \ left ({t_ {n}} \ right) = {\ frac {R \ left (i + 1 \ right) \ left ({{\ left (i + 1 \ right)} ^ {n}} - 1 \ dreapta)} {i}}}
De exemplu, calculați suma unei anuități anuale, care are câte 13 plăți în avans de câte 340 de euro la 6%. Folosind software-ul wxMaxima avem:
i : 0,06 ;
n : 13 ;
R : 340 ;
V ( t_n ) = R * ( 1 + i ) * (( 1 + i ) ^ n -1 ) / i ;
( i ) 0,06
( n ) 13
( R ) 340
( % o12 ) V ( t_n ) = 6805.12241594175
Rata constantă a unei anuități anticipate pentru n ani la rata i cu suma V (t_n):
- {\ displaystyle R = {\ frac {i \ operatorname {V} \ left ({t_ {n}} \ right)} {\ left (i + 1 \ right) \ left ({{\ left (i + 1 \ dreapta)} ^ {n}} - 1 \ dreapta)}}}
Valoarea actuală a unei anuități cu rate variabile
În secțiunile anterioare am văzut că, dacă plățile sunt periodice (anuale, semestriale etc.) și ratele sunt constante, este posibil să se obțină formule închise pentru valoarea curentă și valoarea unei anuități. Cu toate acestea, în realitate, ratele pot varia. Dacă ratele sunt variabile, dar există o periodicitate a termenelor și dacă ratele variază în mod „regulat”, este totuși posibil să se obțină formule închise. Unele cazuri notabile sunt propuse mai jos, în ipoteza plăților anuale amânate.
Valoarea actuală a unei anuități cu rate variabile în progresie aritmetică
O anuitate anuală amânată în rate variabile, cu progresie aritmetică a motivului {\ displaystyle \ Delta \ in \ mathbb {R}} și prima tranșă {\ displaystyle \ displaystyle R} (cu condiția că {\ displaystyle R + (n-1) \ Delta \ geq 0} ), are valoare curentă
{\ displaystyle A: = Rv + (R + \ Delta) v ^ {2} + \ cdots + (R + (n-1) \ Delta) v ^ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ { n} (R + (k-1) \ Delta) v ^ {k}.}
unde este {\ displaystyle v = {\ frac {1} {1 + i}}} .
Atunci noi avem: {\ displaystyle A = R (v + v ^ {2} + \ cdots + v ^ {n}) + \ Delta (v ^ {2} + 2v ^ {3} + \ cdots + (n-1) v ^ {n}).}
Suma dintre paranteze a primului act adițional este valoarea actuală a unei anuități anuale amânate pe care o cunoaștem deja. Dezvoltăm însumarea între paranteze a celui de-al doilea addend. Noi scriem:
{\ displaystyle S = v ^ {2} + 2v ^ {3} + \ cdots + (n-1) v ^ {n}}
{\ displaystyle (1 + i) S = v + 2v ^ {2} + \ cdots + (n-1) v ^ {n-1}.}
Să luăm în considerare diferența dintre a doua și prima identitate:
{\ displaystyle iS = v + v ^ {2} + \ cdots + v ^ {n-1} + v ^ {n} -nv ^ {n}} {\ displaystyle \ Rightarrow S = {\ frac {a _ {{\ bar {n}} | i} -nv ^ {n}} {i}}.}
Deci valoarea actuală este:
{\ displaystyle A = Ra _ {{\ bar {n}} | i} + \ Delta {\ frac {a _ {{\ bar {n}} | i} -nv ^ {n}} {i}}. }
Dacă anuitatea a fost perpetuă, trecând la limită avem:
{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} Ra _ {{\ bar {n}} | i} + \ Delta {\ frac {a _ {{\ bar {n}} | i} -nv ^ {n}} {i}} = {\ frac {R} {i}} + {\ frac {\ Delta} {i ^ {2}}}.}
Valoarea actuală a unei anuități cu rate variabile în progresie geometrică
O anuitate anuală cu rate amânate {\ displaystyle \ displaystyle R> 0} , variabilă în progresia geometrică a rațiunii {\ displaystyle \ displaystyle q> 0} , are valoarea curentă:
{\ displaystyle A: = Rv + Rqv ^ {2} + \ cdots + Rq ^ {n-1} v ^ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} Rq ^ {k-1} v ^ {k}.}
Observăm că, dacă {\ displaystyle \ displaystyle qv = 1} , asa de:
{\ displaystyle A = \ underbrace {Rv + Rv + \ cdots + Rv} _ {n {\ text {times}}} = nRv.}
Dacă în schimb {\ displaystyle qv \ neq 1} , apoi - colectarea {\ displaystyle \ displaystyle Rv} cu factor comun - avem:
{\ displaystyle A = Rv \ left (1 + qv + \ cdots + (qv) ^ {n-1} \ right).}
În paranteze recunoaștem suma {\ displaystyle \ displaystyle n} termeni în progresia geometrică a rațiunii {\ displaystyle \ displaystyle qv} , prin urmare:
{\ displaystyle A = Rv {\ frac {1- (qv) ^ {n}} {1-qv}}.}
Dacă anuitatea a fost perpetuă, trecând la limită avem:
{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} Rv {\ frac {1- (qv) ^ {n}} {1-qv}} = {\ frac {R} {uq}},}
unde este {\ displaystyle \ displaystyle u = 1 + i.}
linkuri externe