Repunit

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematica recreativă , un repunit (din „ englezărep eated unit ", unități repetate) este un număr întreg care conține doar cifra 1 , cum ar fi 11 sau 1111111. Termenul a fost inventat de Albert Beiler în 1964 în cartea sa din Recreațiile Teoria numerelor .

În baza 10 , repuneri sunt definite ca:

unde este este numărul de bază 10 format din n repetări ale cifrei 1.

Secvența de repunere este 1 , 11 , 111 , 1111, 11111, ... (secvența A002275 a OEIS ).

Generalizare

Definiția repunitului este un concept care depinde de baza în care este exprimat numărul; credeți că fiecare număr întreg N poate fi rescris ca 11 ( unu-unu ) dacă este exprimat în baza N-1, aceasta dintr-un motiv simplu: un număr dintr-un sistem pozițional poate fi reprezentat cu o serie geometrică a motivului baza de numerotare b :

unde , cu , reprezintă n cifre prezente în baza b . Deci, dacă dorim ca un număr N să fie reprezentat cu 11, rezolvați ecuația: de la care , acesta este:

Pe bază unitară , de exemplu, fiecare număr ar fi reprezentat de câte 1 ca valoarea lui N:

  • 2 = 11
  • 3 = 111
  • 6 = 111111

Prin urmare, este evident că nu trebuie să confundăm reprezentarea numărului cu numărul în sine, care în schimb este un obiect matematic care poate găsi, în funcție de convenții, reprezentări diferite; totuși, atunci când reprezentarea are și propria sa justificare, ca în acest caz, ea poate fi ea însăși o sursă de proprietăți matematice bine întemeiate, proprietăți precum cele ale repunităților pentru care, totuși, este convenabil să gândim în termeni generali, fără a lua în considerare o bază precisă ca referință, așa cum facem de obicei.

Plecând de la conceptul că notația pozițională derivă de fapt dintr-o serie geometrică, ca în cazul repunităților, are toate cifrele egale 1, a i = 1, este posibil să se ajungă la această formulă:

Unde R reprezintă reprezentarea repunității unui număr generic N în baza B și cu n cifre 1. [1] de exemplu:

înseamnă că 31 exprimat în baza 5 este egal cu 111, adică o repunere .

Proprietate

Luând repuniturile pentru fiecare bază în general, este posibil să se stabilească cele mai importante caracteristici:

  • Fiecare număr poate fi scris cel puțin sub forma a două repuneri ( 11 ) și
  • Într-o bază egală cu repunitatea sunt doar numere impare; pe o bază impară , repunitele sunt numere pare cu n, de asemenea, și numere impare, dar cu n la rândul lor impare. Aceasta înseamnă că un număr par nu poate fi decât o repunitate cu o bază impară și cu n par.
  • Deoarece în fiecare repunere suma cifrelor este egală cu n , avem congruență .
    deci înseamnă că poate fi rescris ca și acest lucru poate fi folosit pentru a afla, dacă este posibil, pe ce bază un număr poate fi o repunere de tip R n .
  • Dacă a este un multiplu al lui b, atunci Ra este, de asemenea, un multiplu al lui R b

Într-adevăr, reuniunile de bază 2 sunt numerele Mersenne respectabile M n = 2 n - 1. Proiectul Cunningham urmărește să colecteze factorializările (printre altele) ale reuniunilor de bază 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 și 12.

Primele repuneri sunt un subset al primelor permutabile , adică primele care rămân astfel după orice permutare a cifrelor lor.

Determinați N sub formă de repunere

S-a demonstrat deja că fiecare număr poate fi exprimat ca o repunitate bazată pe N-1, dar este de asemenea adevărat că există teoretic posibilități multiple de a exprima același număr sub forma unei repuniri, evident în baze diferite și cu diferite n . Dar determinați pe ce bază un număr este, dacă este, o repunere , nu este întotdeauna ușor, deși cu formula generalizată este posibil și acest lucru se datorează faptului că necesită rezolvarea unei ecuații de grad egale cu n ; cu toate acestea, este posibil să se exploateze unele dintre proprietăți pentru a verifica cel puțin în avans dacă acel număr poate fi a .

Știm, de exemplu, că, dacă N este egal, va fi repunit numai dacă și n este egal, ; că dacă N- n este prim atunci nu poate fi a .
Pentru a găsi baza în care acest număr ar putea fi un repunit există două căi (care nu implică în mod direct o ecuație) , care este să caute printre posibilele divizorii ale N - n, amintindu pentru a adăuga unul, sau prin apropierea prin formula generală, imaginând că pentru N mare, pe bună dreptate, de asemenea, b va fi mare în ciuda lui N și, prin urmare, estimând eventualul pe baza:

Întreaga parte a rădăcinii este luată; dimpotrivă, această aproximare răspunde surprinzător de bine chiar și pentru n mare cu b mic și nu se înrăutățește pe măsură ce n sau orice bază crește.

Evident, estimarea nu oferă baza în care numărul N este cu siguranță repunerea căutată, dar oferă singura bază în care ar fi posibil să se exprime ca ; prin urmare, este necesar să se verifice această bază prin formula generalizată și, dacă răspunsul este negativ, înseamnă că, în orice caz, numărul nu poate fi exprimat sub forma unei repuneri cu acel n special, fără a exclude astfel posibilitatea ca acest lucru să fie posibil în alte baze și evident altele n

Prima repunere

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Repunit (factori) .

Din punct de vedere istoric, definiția repuniților a fost motivată de cercetarea, în cadrul matematicii recreative, a factorilor primi ai acestor numere.

Se poate demonstra cu ușurință că dacă n este divizibil cu o, atunci R n este divizibil cu Ra. De exemplu 9 este divizibil cu 3, iar R 9 este divizibil cu R 3 : 111111111 = 111 · 1001001. Rezultă că o condiție necesară pentru ca R n să fie prim este că n este el însuși un număr prim [2] .

Secvența primelor repuneri cunoscute în prezent este A004022 în OEIS, în timp ce cea mai compactă secvență a lungimilor lor este A004023 în OEIS. R 49081 (descoperit în 1999 de Harvey Dubner), R 86453 (descoperit în octombrie 2000 de Lew Baxter), R 109297 (descoperit de Harvey Dubner și Paul Bourdelais în martie 2007 ) și R 270343 (descoperit în iulie 2007 de Maksym Voznyy și Anton Budnyy) sunt în prezent considerați primi probabili , adică au trecut până acum mai multe teste de primalitate în timp ce încă nu au o demonstrație reală a faptului că sunt de fapt primi. [3]

S-a presupus că, deși extrem de rar, există primele infinite de repunitate [4] .

Notă

  1. ^ Intuitiv, formula poate fi explicată și după cum urmează: fiecare repunitate este invariabil și divizorul altor numere cu cifre repetate , inclusiv cel care corespunde cifrei a b-1 și, deoarece acest număr este, de asemenea, antecedentul unui multiplu al b n , acest multiplu minus unu și împărțit la b-1 , adică b -1, poate fi doar o repunitate de n cifre
  2. ^ Evident, aceasta nu este o condiție suficientă, așa cum se poate verifica cu ușurință cu un contraexemplu imediat: R 3 = 111 = 3 · 37.
  3. ^ The Top Twenty: Repunit
  4. ^ Primul glosar: repunit

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică