Bravais zăbrele
În geometrie și cristalografie , o rețea de cristal (sau "rețea Bravais", de la francezul Auguste Bravais care a descris-o prima dată în 1848 [1] ) este un set infinit de puncte discrete având o dispunere geometrică care este întotdeauna aceeași în tot spațiul . Punctele rețelei constau dintr-o „bază” (închisă într-o unitate celulară ), adică un set de una sau mai multe entități moleculare ( atomi , molecule sau ioni ), pentru care structura atomică a cristalelor este definită de rețea iar de la baza zăbrelei. [2]
Teoria grupurilor ne permite să definim numărul de rețele Bravais posibile pentru fiecare dimensiune a spațiului.
Definiție
Puneți originea axelor carteziene pe orice punct al rețelei, fiecare punct este identificat printr-un vector . O rețea Bravais este generată de operații de translație în spațiul unui set de vectori, numiți vectori primitivi . Vectorii primitivi sunt liniar independenți și alegerea lor nu este unică.
Definiția generală a rețelei Bravais în dimensiuni d este:
unde este sunt numere întregi și vectorii primitivi ai rețelei.
Rețeaua într-o dimensiune este unică și definită de ecuația:
În două dimensiuni, rețeaua este definită de ecuația:
cu Și , vectori primitivi, care nu sunt paraleli . Există cinci rețele Bravais în două dimensiuni: oblic, dreptunghiular, dreptunghiular centrat, hexagonal și pătrat. Există de fapt patru sisteme cristaline , întrucât dreptunghiularul și dreptunghiularul centrat aparțin aceluiași sistem cristalin.
Rețeaua tridimensională este definită de ecuația:
cu , Și vectori primitivi, care nu sunt coplanari .
Celula primitivă
O celulă primitivă unitară a unei rețele este definită ca un volum de spațiu care, tradus prin toți vectorii unei rețele Bravais, umple complet rețeaua fără suprapunere și fără a lăsa spații goale. O celulă primitivă conține doar un punct al rețelei și are aceeași simetrie ca rețeaua.
În cazul tridimensional, cunoscând volumul, este posibil să se determine densitatea solidului:
Unde este este masa bazei e este volumul celulei unitare. Din punct de vedere geometric se arată că, zicători , , vectori primitivi, volumul celulei unitare este:
În cazul tridimensional pentru o rețea cea mai banală alegere este cea a unui cub lateral .
Tot spațiul unei rețele poate fi umplut cu celule convenționale fără a se suprapune atunci când este tradus printr-un subset al vectorilor rețelei Bravais.
Celula primitivă Wigner-Seitz
Celula Wigner-Seitz din jurul unui punct al unui rețea Bravais este celula primitivă care se bucură de toate proprietățile de simetrie ale structurii.
Rețea reciprocă
Să luăm în considerare un set de puncte care constituie o rețea Bravais și o undă plană , definită de . Un astfel de val, pentru unele valori ale , are periodicitatea rețelei Bravais. Ansamblul vectorilor de undă descrierea undelor plane cu periodicitatea unei rețele Bravais date se numește rețea reciprocă. Din punct de vedere algebric, această condiție corespunde scrierii:
Această relație trebuie să fie valabilă pentru orice rezultă că setul de vectori al rețelei reciproce satisface relația:
pentru toate punctele a zăbrelei Bravais.
Clasificare
Rețelele Bravais sunt clasificate în funcție de forma celulei convenționale, unde fiecare formă corespunde unuia dintre cele șapte sisteme cristaline și prezenței sau absenței punctelor rețelei în centrul corpului sau a fețelor acesteia.
Cele șapte sisteme cristaline sunt:
- cub
- tetragonal
- ortorombic
- monoclinic
- triclină
- hexagonal
- romboedru (sau trigonal )
iar centrarea grătarului poate fi:
- primitiv (P): niciun punct dincolo de vârfurile celulei
- corp centrat (I): un punct din centrul celulei
- centrat pe față (F): un punct în centrul fiecărei fețe
- cu o față centrată (A, B sau C): un punct din centrul celor două fețe într-o singură direcție
Cu toate acestea, nu toate combinațiile cristaline de centrare a sistemului dau naștere la diferite tipuri de rețea, deoarece unele dintre acestea sunt echivalente: de exemplu, o rețea monoclinică I este echivalentă cu o rețea monoclinică C prin schimbarea alegerii vectorilor de bază.
În trei dimensiuni există 14 tipuri de zăbrele Bravais, [1] prezentate mai jos. În ceea ce privește acronimul cu care sunt identificați, se folosește în mod normal notația care derivă din engleză.
Bravais zăbrele | Sistem cristalin | Celula convențională | V C / V P (*) | Generatoare | Caracteristici | Piesă tematică |
---|---|---|---|---|---|---|
Cubic P (simplu) | Cub a = b = c α = β = γ = 90 ° | 1 | a 1 = a a 2 = b a 3 = c | Partea celulei este egală cu dublul razei atomice a elementului considerat; putem crede că atomii sunt reprezentați de sfere rigide și că celula unitară este formată din sfere în contact de-a lungul marginilor cubului. Raportul dintre spațiul ocupat de sfere și volumul celulei dă factorul de ambalare de 0,52. | sc | |
Cubic I (centrat pe corp) | 2 | a 1 = a a 2 = b a 3 = ( a + b + c ) / 2 | structura cubică centrată pe corp conține un atom în structura cubică. Sferele sunt în contact numai de-a lungul diagonalelor celulei cubice. Factorul de ambalare este de 0,68. | bcc | ||
Cubic F (față centrată) | 4 | a 1 = ( a + b ) / 2 a 2 = ( a + c ) / 2 a 3 = ( b + c ) / 2 | Structura cubică centrată pe față este formată din celule elementare care conțin un atom pe fiecare față a structurii cubice. Parametrul rețelei este extins în continuare comparativ cu precedentele. Factorul de ambalare este de 0,74. | fcc | ||
Tetragonal P (simplu) | Tetragonal a = b α = β = γ = 90 ° | 1 | a 1 = a a 2 = b a 3 = c | Sf | ||
Tetragonal I (centrat pe corp) | 2 | a 1 = a a 2 = b a 3 = ( a + b + c ) / 2 | bct | |||
P ortorombic (simplu) | Orthorhombic α = β = γ = 90 ° | 1 | a 1 = a a 2 = b a 3 = c | știu | ||
Orthorhombic I (centrat pe corp) | 2 | a 1 = a a 2 = b a 3 = ( a + b + c ) / 2 | orc | |||
F ortorombic (față centrată) | 4 | a 1 = ( a + b ) / 2 a 2 = ( a + c ) / 2 a 3 = ( b + c ) / 2 | orc | |||
C ortorombic (baza centrată) | 2 | a 1 = a a 2 = ( a + b ) / 2 a 3 = c | orc | |||
Monoclinic P (simplu) | Monoclinic α = γ = 90 ° | 1 | a 1 = a a 2 = b a 3 = c | mcl | ||
Monoclinic C (bază centrată) | 2 | a 1 = a a 2 = ( a + b ) / 2 a 3 = c | mcl | |||
Triclină | Triclină a ≠ b ≠ c | 1 | a 1 = a a 2 = b a 3 = c | |||
Hexagonal | Hexagonal a = b α = β = 90 °, γ = 120 ° | 3 | a 1 = a a 2 = b a 3 = c | Fețele superioare și inferioare ale celulei hexagonale au un atom în centru. Pe un plan intermediar între aceste două fețe există trei atomi dispuși într-un triunghi. Cele trei sfere ale planului intermediar sunt în contact cu cele ale fețelor superioare și inferioare. Factorul de ambalare este de 0,74. | hex | |
Romboedru (sau trigonal) | Romboedru (sau trigonal) (**) a = b = c | 1 | a 1 = a a 2 = b a 3 = c | hex |
(*) raportul dintre volumul celulei convenționale și cel al celulei primitive.
(**) uneori ca celulă romboedrică convențională, în locul celei prezentate în figură, se folosește celula hexagonală, centrată la (2 / 3.1 / 3.1 / 3) și (1 / 3.2 / 3.2 / 3).
Număr de coordonare
Primii vecini sunt punctele rețelei cele mai apropiate de un punct dat al rețelei în sine. Datorită naturii periodice a rețelei Bravais, fiecare punct are același număr de vecini primi. Numărul primilor vecini se numește numărul de coordonare , această magnitudine este o proprietate fundamentală a rețelei. Tabelul oferă numerele de coordonare ale celor trei rețele cubice împreună cu alte proprietăți ale acestor rețele.
Reticul | Fără coordonare | Distanța primilor vecini | elemente pe conv. |
sc | 6 | la | 1 |
bcc | 8 | 2 | |
fcc | 12 | 4 |
Exemple de structură cristalină
Tabelul prezintă tipurile de structuri cristaline pentru cele mai importante elemente metalice. Distanța interatomică se referă la distanța dintre doi atomi ai aceluiași element măsurată cu ajutorul difracției cu raze X.
Metal | Structura | Distanța interatomică (nm) | Raza atomică (nm) |
Argint | fcc | 0,2888 | 0,1444 |
Aluminiu | fcc | 0,2862 | 0.1431 |
Aur | fcc | 0,2882 | 0,1441 |
Beriliu | hex | 0,228 | 0,114 |
Cadmiu | hex | 0,296 | 0,158 |
Cobalt | hex | 0,250 | 0,125 |
Crom | bcc | 0,2498 | 0,1249 |
Cupru | fcc | 0,2556 | 0,1278 |
Fier \ alfa | bcc | 0,2482 | 0,1241 |
Fier \ gamma | fcc | 0,2540 | 0,1270 |
Potasiu | bcc | 0,4624 | 0,2312 |
Litiu | bcc | 0,3038 | 0,1519 |
Magneziu | hex | 0,322 | 0,161 |
Molibden | bcc | 0,2725 | 0,1362 |
Sodiu | bcc | 0,3174 | 0,1857 |
Nichel | fcc | 0,2491 | 0,1264 |
Conduce | fcc | 0,3499 | 0,1750 |
Platină | fcc | 0,2775 | 0,1386 |
Titan \ alfa | hex | 0,293 | 0,164 |
Titan \ beta | bcc | 0,285 | 0,142 |
Vanadiu | bcc | 0,2362 | 0,1316 |
Wolfram (Tungsten) | bcc | 0,2734 | 0.1367 |
Zinc | hex | 0,278 | 0,139 |
Zirconiu | hex | 0,324 | 0,162 |
Notă
- ^ a b Goel , p. 36 .
- ^ Borchardt-Ott , p. 23 .
Bibliografie
- ( EN ) Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Solid State Physics , Holt-Saunders Japonia, 1976.
- ( EN ) Charles Kittel , Introducere în fizica statelor solide , New York, Wiley, 2004.
- ( EN ) JS Blakemore, Fizica statelor solide , Cambridge University Press, 1985.
- ( EN ) A. Goel, Cristalografie , Editura Discovery, 2006, ISBN 81-8356-170-5 .
Elemente conexe
- Constanta rețelei
- Cristal
- Cristalografie
- Sistem cristalin
- Defecte ale rețelelor de cristal
- Energie de rețea
- Factorul de ambalare atomic
- Reticul (grup)
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe rețeaua Bravais
linkuri externe
- ( EN ) Bravais Lattice / Bravais Lattice (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.