Retragere

În matematică , mai exact în topologie , retragerea este o funcție continuă specială care „proiectează” un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe un subset $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Când retragerea este realizată printr-o deformare continuă, subsetul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o retractare de deformare a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și își păstrează multe dintre proprietățile sale topologice.

Definiție

Retragere

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu topologic e $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un subset de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . O funcție continuă

r:X\to A

{\ displaystyle r: X \ to A}

{\ displaystyle r: X \ to A}

este o retragere a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă restrângerea sa la punctele de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este funcția de identitate , adică dacă

r(a)=a\ \forall a\in A.

{\ displaystyle r (a) = a \ \ forall a \ în A.}

{\ displaystyle r (a) = a \ \ forall a \ în A.}

Un subset $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o retractare a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ dacă există o retragere a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Retras prin deformare

O funcție continuă

F:X\times [0,1]\to X

{\ displaystyle F: X \ times [0,1] \ to X}

{\ displaystyle F: X \ times [0,1] \ to X}

este o retragere de deformare a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă următoarele relații sunt satisfăcute

F(x,0)=x,\;F(a,1)=a,\;F(x,1)\in A.

{\ displaystyle F (x, 0) = x, \; F (a, 1) = a, \; F (x, 1) \ în A.}

{\ displaystyle F (x, 0) = x, \; F (a, 1) = a, \; F (x, 1) \ în A.}

pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Cu alte cuvinte, o retragere de deformare este o omotopie între o retragere și funcția de identitate activată $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Un subset $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o retractare de deformare a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ dacă există o retragere de deformare a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

În cele din urmă, o retragere de deformare $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ spune tare dacă

F(a,t)=a

{\ displaystyle F (a, t) = a}

{\ displaystyle F (a, t) = a}

pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ în $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ . Cu alte cuvinte, deformarea nu mișcă punctele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . În acest caz $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o retragere puternică a deformării.

Exemple

Retrageri

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ orice spațiu e $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ un punct. Funcția constantă

f:X\to \{x_{0}\}\,\!

{\ displaystyle f: X \ to \ {x_ {0} \} \, \!}

{\ displaystyle f: X \ to \ {x_ {0} \} \, \!}

este o retragere. Mai general, puteți alege un punct din fiecare componentă conectată a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și trimiteți toate componentele conectate în același punct: rezultatul este întotdeauna o retragere. Pe de altă parte, nu este posibil să se construiască o retragere a unui spațiu conectat pe două dintre punctele sale, deoarece imaginea unui conectat printr-o funcție continuă este întotdeauna conectată.

Deformări

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un subset convex de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ care conține originea, cum ar fi mingea unitară sau toate $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Functia

F:X\times [0,1]\to X

{\ displaystyle F: X \ times [0,1] \ to X}

{\ displaystyle F: X \ times [0,1] \ to X}

F:(x,t)\mapsto (1-t)x\,\!

{\ displaystyle F: (x, t) \ mapsto (1-t) x \, \!}

{\ displaystyle F: (x, t) \ mapsto (1-t) x \, \!}

este o retragere de deformare a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ asupra originii $A=\{0\}$ ${\ displaystyle A = \ {0 \}}$ ${\ displaystyle A = \ {0 \}}$ .

Proprietate

Retrageri

O retragere

r:X\to A

{\ displaystyle r: X \ to A}

{\ displaystyle r: X \ to A}

trimite fiecare componentă conectată $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ într-un subgrup conectat de $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ .

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este conectat și prin șiruri $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este și a indus homomorfism

r_{*}:\pi (X)\to \pi (A)

{\ displaystyle r _ {*}: \ pi (X) \ to \ pi (A)}

{\ displaystyle r _ {*}: \ pi (X) \ to \ pi (A)}

printre grupurile lor fundamentale este surjectiv . Plus includerea

i:A\to X

{\ displaystyle i: A \ to X}

{\ displaystyle i: A \ to X}

induce o funcție injectivă

i_{*}:\pi (A)\to \pi (X).

{\ displaystyle i _ {*}: \ pi (A) \ to \ pi (X).}

{\ displaystyle i _ {*}: \ pi (A) \ to \ pi (X).}

Ambele proprietăți derivă din faptul că compoziția

r\circ i:A\to A

{\ displaystyle r \ circ i: A \ to A}

{\ displaystyle r \ circ i: A \ to A}

este funcția identitară și, prin urmare, induce omomorfismul identitar

(r\circ i)_{*}=r_{*}\circ i_{*}:\pi (A)\to \pi (A).

{\ displaystyle (r \ circ i) _ {*} = r _ {*} \ circ i _ {*}: \ pi (A) \ to \ pi (A).}

{\ displaystyle (r \ circ i) _ {*} = r _ {*} \ circ i _ {*}: \ pi (A) \ to \ pi (A).}

Întrucât aceasta este compoziția homomorfismelor $i_{*}$ ${\ displaystyle i _ {*}}$ $_ {*}$ Și $r_{*}$ ${\ displaystyle r _ {*}}$ ${\ displaystyle r _ {*}}$ , primul trebuie să fie injectiv și al doilea surjectiv. Aceleași rezultate sunt valabile și pentru grupurile cu homotopie superioară.

Deformări

Dacă retragerea $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este indus de o deformare, este identitate omotopa și, prin urmare, induce o echivalență homotopică între $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . În special, hărțile $r_{*}$ ${\ displaystyle r _ {*}}$ ${\ displaystyle r _ {*}}$ Și $i_{*}$ ${\ displaystyle i _ {*}}$ $_ {*}$ ambele sunt izomorfisme .