Drept

Reprezentarea tipică a unei linii drepte ca un segment cu limite punctate.

Linia dreaptă sau linia dreaptă este una dintre cele trei entități geometrice fundamentale ale geometriei euclidiene . Este definit de Euclid în Elementele sale ca un concept primitiv . Un fir de bumbac sau sfoară bine întins între două puncte este un model material care ne poate ajuta să înțelegem ce este linia dreaptă, o entitate geometrică imaterială fără grosime și cu o singură dimensiune .

Linia este nelimitată în ambele direcții și, pe lângă aceasta, conține puncte infinite, adică este infinită . În general, este marcat cu o literă minusculă a alfabetului latin (de obicei cu r ).

Definiție geometrică

Linia dreaptă este a doua entitate fundamentală a geometriei ; lipsit geometric de orice grosime, are o singură dimensiune: lungimea .

Exemplu de linii drepte coplanare, dintre care 2 paralele și unul incident și perpendicular pe ambele celelalte două.

O linie dreaptă poate să se întindă (adică să fie conținută) în plan sau în spațiul tridimensional.

Două linii în plan pot fi:

Accidente dacă au un singur punct în comun.
- Un caz particular de linii incidente apare atunci când cele două linii formează patru unghiuri drepte la punctul de intersecție, în acest caz ele sunt numite perpendiculare
Paralel dacă nu se intersectează sau dacă au toate punctele în comun; în acest caz sunt coincidente. Două linii paralele în plan mențin întotdeauna aceeași distanță între ele (această caracteristică, tipică geometriei euclidiene , nu este verificată de exemplu în geometria hiperbolică , unde două linii paralele pot diverga).

Două linii în spațiu pot fi:

Coplanar dacă există un plan care le conține pe amândouă. În acest caz, sunt accidente dacă se intersectează și se paralelează altfel.
Distorsionate dacă nu sunt cuprinse într-un plan comun și, prin urmare, nu au puncte în comun și nici nu sunt paralele.

Având în vedere două linii înclinate, pentru fiecare dintre ele trece un singur plan paralel cu cealaltă linie. Distanța dintre aceste două planuri este egală cu distanța dintre cele două linii.

Linie în plan cartezian

Același subiect în detaliu: Linie în plan cartezian .

O linie dreaptă în plan cartezian este descrisă printr-o ecuație liniară

ax+by+c=0

{\ displaystyle ax + by + c = 0}

ax + cu + c = 0

unde coeficienții $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ sunt numere reale fixe, cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ nu simultan nul.

De sine $b\neq 0$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ $b \ neq 0$ sau $a\neq 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ , este posibil să descrieți aceeași linie în mod explicit într-una din următoarele două forme, respectiv:

y=mx+q

{\ displaystyle y = mx + q}

y = mx + q

sau

x=m'y+q'

{\ displaystyle x = m'y + q '}

x = m'y + q '

unde este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ se numește coeficient unghiular și cuantifică panta liniei. În prima dintre ecuațiile de mai sus, termenul este cunoscut $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ reprezintă ordonata punctului de intersecție al liniei cu axa lui $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ( comandat la origine sau la interceptare ), în al doilea termen cunoscut $q^{'}$ ${\ displaystyle q '}$ $q '$ reprezintă abscisa punctului de intersecție a liniei cu axa lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Linie în spațiul euclidian tridimensional

În spațiul euclidian tridimensional, o linie dreaptă poate fi descrisă prin intermediul ecuațiilor carteziene ca locul de intersecție a două planuri neparalele:

\left\{{\begin{matrix}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=0\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} ax + by + cz + d = 0 \\ a'x + b'y + c'z + d '= 0 \ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {matrix} ax + by + cz + d = 0 \\ a'x + b'y + c'z + d '= 0 \ end {matrix}} \ right.

În acest caz, soluțiile de sistem depind de un singur parametru $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ și este întotdeauna posibil să se obțină un set de ecuații parametrice pentru linie:

\left\{{\begin{matrix}x=x_{o}+lt\\y=y_{o}+mt\\z=z_{o}+nt\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x = x_ {o} + lt \\ y = y_ {o} + mt \\ z = z_ {o} + nt \ end {matrix}} \ right. }

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x = x_ {o} + lt \\ y = y_ {o} + mt \\ z = z_ {o} + nt \ end {matrix}} \ right. }

unde vectorul ${\mathbf {v} }=l{\mathbf {i} }+m{\mathbf {j} }+n{\mathbf {k} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v}} = l {\ mathbf {i}} + m {\ mathbf {j}} + n {\ mathbf {k}}}$ ${{\ mathbf v}} = l {{\ mathbf i}} + m {{\ mathbf j}} + n {{\ mathbf k}}$ este un vector paralel cu linia și punctul $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ displaystyle P (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ $P (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})$ este un punct aparținând liniei. De sine $L, m, n$ ${\ displaystyle l, m, n}$ $l, m, n$ sunt toate diferite de zero, este posibil să se obțină așa-numitele ecuații simetrice ale liniei:

{\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}}

{\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {l}} = {\ frac {y-y_ {0}} {m}} = {\ frac {z-z_ {0}} {n}} }

{\ frac {x-x_ {0}} {l}} = {\ frac {y-y_ {0}} {m}} = {\ frac {z-z_ {0}} {n}}

Atât ecuațiile carteziene, cât și ecuațiile parametrice ale liniei nu sunt determinate în mod unic și sunt de fapt infinite.

Linie într-un spațiu euclidian n-dimensional

În spațiul euclidian $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , o linie dreaptă este un set de puncte de tip

r=\{\mathbf {x} _{0}+t\mathbf {v} \ |\ t\in \mathbb {R} \}

{\ displaystyle r = \ {\ mathbf {x} _ {0} + t \ mathbf {v} \ | \ t \ in \ mathbb {R} \}}

r = \ {{\ mathbf {x}} _ {0} + t {\ mathbf {v}} \ | \ t \ in {\ mathbb {R}} \}

unde este $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _0$ Și $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ sunt doi vectori fixați în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ cu $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ non-zero. Vectorul $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ descrie direcția liniei, în timp ce $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _0$ este orice punct de pe linie. Diferite alegeri de transportatori $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ $\ mathbf {x} _0$ Și $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ pot descrie aceeași linie.

Această definiție a unei linii în spațiul dimensiunii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este o extensie a reprezentării explicite în planul descris mai sus. Pe de altă parte, descrierea unei linii drepte sub formă implicită ca un set de vectori care satisfac ecuații liniare este mai complicată, deoarece pentru teorema Rouché-Capelli sunt necesare $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ ecuații.

Distanța dintre linii

Este definită ca distanța dintre două linii $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $r^{'}$ ${\ displaystyle r '}$ $r '$ distanța minimă dintre două puncte $P\in r$ ${\ displaystyle P \ in r}$ $P \ in r$ Și $P'\in r'$ ${\ displaystyle P '\ in r'}$ $P '\ in r'$ .

Această distanță este evident zero în cazul a două linii care se intersectează. Pentru examinarea celor două cazuri rămase ( linii paralele și înclinate ) va fi utilizată reprezentarea parametrică, care permite un tratament unitar pentru toate dimensiunile. Deci, haideți să dăm două linii drepte $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ Și $\mathbf {r'}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r '}}$ ${\ mathbf {r '}}$ de ecuații parametrice, respectiv:

\mathbf {r} =\mathbf {a} +\mathbf {b} t\qquad e\qquad \mathbf {r'} =\mathbf {c} +\mathbf {d} t'

{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {a} + \ mathbf {b} t \ qquad și \ qquad \ mathbf {r '} = \ mathbf {c} + \ mathbf {d} t'}

{\ mathbf {r}} = {\ mathbf {a}} + {\ mathbf {b}} t \ qquad și \ qquad {\ mathbf {r '}} = {\ mathbf {c}} + {\ mathbf { d}} t '

unde este $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ Și $\mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ ${\ mathbf {d}}$ sunt vectorii lor direcționali și $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf {a}$ Și $\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ $\ mathbf {c}$ vectorii asociați punctului $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ a liniei $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ și la obiect ${T.}^{'}$ ${\ displaystyle T '}$ $T '$ a liniei $\mathbf {r'}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r '}}$ ${\ mathbf {r '}}$ , relativ la triplul cartezian $\mathbf {\mathit {XYZ}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ mathit {XYZ}}}$ ${\ mathbf {{\ mathit {XYZ}}}}$ .

Distanța dintre liniile paralele

Deoarece liniile sunt paralele putem măsura distanța începând din orice punct al primei linii. Alegem punctul de $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ marcat de vector $\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf {a}$ . Fiecare punct al liniei $\mathbf {r'}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r '}}$ ${\ mathbf {r '}}$ poate fi exprimat sub formă $\mathbf {c} +t'\mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c} + t '\ mathbf {d}}$ ${\ mathbf {c}} + t '{\ mathbf {d}}$ . Dacă sun $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ ${\ mathbf {q}}$ vectorul ortogonal a $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ care marchează distanța față de cealaltă linie, apoi prin proprietățile produsului scalar

0=\mathbf {q} \cdot \mathbf {b} =(\mathbf {c} +t'\mathbf {d} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b}

{\ displaystyle 0 = \ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {b} = (\ mathbf {c} + t '\ mathbf {d} - \ mathbf {a}) \ cdot \ mathbf {b}}

0 = {\ mathbf {q}} \ cdot {\ mathbf {b}} = ({\ mathbf {c}} + t '{\ mathbf {d}} - {\ mathbf {a}}) \ cdot {\ mathbf {b}}

Obținut $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ ${\ mathbf {q}}$ rezolvarea ecuației anterioare (necunoscută în $t^{'}$ ${\ displaystyle t '}$ $nu$ ) este suficient să se calculeze norma de $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ ${\ mathbf {q}}$ deci cu referire la ecuația parametrică distanța $d(r,s)$ ${\ displaystyle d (r, s)}$ $d (r, s)$ între două linii paralele $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ poate fi scris ca:

Linii înclinate.

d(r,s)=\left|\mathbf {rs} \times {\frac {\mathbf {v} }{\left|\mathbf {v} \right|}}\right|

{\ displaystyle d (r, s) = \ left | \ mathbf {rs} \ times {\ frac {\ mathbf {v}} {\ left | \ mathbf {v} \ right |}} \ right |}

d (r, s) = \ left | {\ mathbf {rs}} \ times {\ frac {{\ mathbf {v}}} {\ left | {\ mathbf {v}} \ right |}} \ right |

unde vectorul $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ este un vector paralel cu liniile și vectorul $\mathbf {rs}$ ${\ displaystyle \ mathbf {rs}}$ ${\ mathbf {rs}}$ este vectorul care leagă un punct $R(x_{r},y_{r},z_{r})$ ${\ displaystyle R (x_ {r}, y_ {r}, z_ {r})}$ $R (x_ {r}, y_ {r}, z_ {r})$ a liniei $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și un punct $S(x_{s},y_{s},z_{s})$ ${\ displaystyle S (x_ {s}, y_ {s}, z_ {s})}$ $S (x_ {s}, y_ {s}, z_ {s})$ a liniei $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ adică distanța dintre două linii paralele este dată de proiecția vectorului $\mathbf {rs}$ ${\ displaystyle \ mathbf {rs}}$ ${\ mathbf {rs}}$ în direcția ortogonală la aceeași.

Dovadă: din formulele produsului vector , modulele unităților vectoriale sunt unitare, rămâne: $\ \left|\mathbf {rs} \right|\,\mathrm {sin} \,\theta$ ${\ displaystyle \ \ left | \ mathbf {rs} \ right | \, \ mathrm {sin} \, \ theta}$ $\ \ left | {\ mathbf {rs}} \ right | \, {\ mathrm {{sin}}} \, \ theta$

Distanța dintre liniile înclinate

Dacă definim $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ ${\ mathbf {q}}$ ca vectorul ortogonal a $\mathbf {b} {\mbox{ e }}\mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} {\ mbox {e}} \ mathbf {d}}$ ${\ mathbf {b}} {\ mbox {e}} {\ mathbf {d}}$ , a cărei normă este distanța dintre cele două linii, problema noastră se reduce la găsirea normei de $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ ${\ mathbf {q}}$ . Cei trei transportatori $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ ${\ mathbf {q}}$ , $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ Și $\mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ ${\ mathbf {d}}$ sunt o bază și, prin urmare, putem descompune cu ușurință vectorul $\mathbf {a} -\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} - \ mathbf {c}}$ ${\ mathbf {a}} - {\ mathbf {c}}$ de-a lungul celor trei componente. Prin urmare

(\mathbf {a} -\mathbf {c} )={\frac {(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\cdot \mathbf {b} }{\|b\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\|b\|}}+{\frac {(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\cdot \mathbf {d} }{\|d\|}}{\frac {\mathbf {d} }{\|d\|}}+{\frac {(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\cdot \mathbf {q} }{\|q\|}}{\frac {\mathbf {q} }{\|q\|}}

{\ displaystyle (\ mathbf {a} - \ mathbf {c}) = {\ frac {(\ mathbf {a} - \ mathbf {c}) \ cdot \ mathbf {b}} {\ | b \ |}} {\ frac {\ mathbf {b}} {\ | b \ |}} + {\ frac {(\ mathbf {a} - \ mathbf {c}) \ cdot \ mathbf {d}} {\ | d \ | }} {\ frac {\ mathbf {d}} {\ | d \ |}} + {\ frac {(\ mathbf {a} - \ mathbf {c}) \ cdot \ mathbf {q}} {\ | q \ |}} {\ frac {\ mathbf {q}} {\ | q \ |}}}

({\ mathbf {a}} - {\ mathbf {c}}) = {\ frac {({\ mathbf {a}} - {\ mathbf {c}}) \ cdot {\ mathbf {b}}} { \ | b \ |}} {\ frac {{\ mathbf {b}}} {\ | b \ |}} + {\ frac {({\ mathbf {a}} - {\ mathbf {c}}) \ cdot {\ mathbf {d}}} {\ | d \ |}} {\ frac {{\ mathbf {d}}} {\ | d \ |}} + {\ frac {({\ mathbf {a}} - {\ mathbf {c}}) \ cdot {\ mathbf {q}}} {\ | q \ |}} {\ frac {{\ mathbf {q}}} {\ | q \ |}}

Pur și simplu rezultă că

(\mathbf {a} -\mathbf {c} )-{\frac {(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\cdot \mathbf {b} }{\|b\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\|b\|}}-{\frac {(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\cdot \mathbf {d} }{\|d\|}}{\frac {\mathbf {d} }{\|d\|}}={\frac {(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\cdot \mathbf {q} }{\|q\|}}{\frac {\mathbf {q} }{\|q\|}}=\mathbf {q}

{\ displaystyle (\ mathbf {a} - \ mathbf {c}) - {\ frac {(\ mathbf {a} - \ mathbf {c}) \ cdot \ mathbf {b}} {\ | b \ |}} {\ frac {\ mathbf {b}} {\ | b \ |}} - {\ frac {(\ mathbf {a} - \ mathbf {c}) \ cdot \ mathbf {d}} {\ | d \ | }} {\ frac {\ mathbf {d}} {\ | d \ |}} = {\ frac {(\ mathbf {a} - \ mathbf {c}) \ cdot \ mathbf {q}} {\ | q \ |}} {\ frac {\ mathbf {q}} {\ | q \ |}} = \ mathbf {q}}

({\ mathbf {a}} - {\ mathbf {c}}) - {\ frac {({\ mathbf {a}} - {\ mathbf {c}}) \ cdot {\ mathbf {b}}} { \ | b \ |}} {\ frac {{\ mathbf {b}}} {\ | b \ |}} - {\ frac {({\ mathbf {a}} - {\ mathbf {c}}) \ cdot {\ mathbf {d}}} {\ | d \ |}} {\ frac {{\ mathbf {d}}} {\ | d \ |}} = {\ frac {({\ mathbf {a}} - {\ mathbf {c}}) \ cdot {\ mathbf {q}}} {\ | q \ |}} {\ frac {{\ mathbf {q}}} {\ | q \ |}} = {\ mathbf {q}}

cu referire la ecuația parametrică distanța $d(r,s)$ ${\ displaystyle d (r, s)}$ $d (r, s)$ între două linii strâmbe $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ poate fi scris ca:

d(r,s)=\left|\mathbf {rs} \cdot {\frac {\mathbf {n} }{\left|\mathbf {n} \right|}}\right|

{\ displaystyle d (r, s) = \ left | \ mathbf {rs} \ cdot {\ frac {\ mathbf {n}} {\ left | \ mathbf {n} \ right |}} \ right |}

d (r, s) = \ left | {\ mathbf {rs}} \ cdot {\ frac {{\ mathbf {n}}} {\ left | {\ mathbf {n}} \ right |}} \ right |

unde vectorul $\mathbf {rs}$ ${\ displaystyle \ mathbf {rs}}$ ${\ mathbf {rs}}$ este vectorul care leagă un punct $R(x_{r},y_{r},z_{r})$ ${\ displaystyle R (x_ {r}, y_ {r}, z_ {r})}$ $R (x_ {r}, y_ {r}, z_ {r})$ a liniei $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ care are vector paralel $\mathbf {vr}$ ${\ displaystyle \ mathbf {vr}}$ ${\ mathbf {vr}}$ și un punct $S(x_{s},y_{s},z_{s})$ ${\ displaystyle S (x_ {s}, y_ {s}, z_ {s})}$ $S (x_ {s}, y_ {s}, z_ {s})$ a liniei $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ care are vector paralel $\mathbf {vs}$ ${\ displaystyle \ mathbf {vs}}$ ${\ mathbf {vs}}$ , vectorul $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf {n}$ este vectorul ortogonal $\mathbf {n} =\mathbf {vr} \times \mathbf {vs}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} = \ mathbf {vr} \ times \ mathbf {vs}}$ ${\ mathbf {n}} = {\ mathbf {vr}} \ times {\ mathbf {vs}}$ adică distanța dintre două linii înclinate este dată de proiecția vectorului $\mathbf {rs}$ ${\ displaystyle \ mathbf {rs}}$ ${\ mathbf {rs}}$ în direcția vectorului $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf {n}$ .

Dovadă: din formulele produsului scalar modulul versorului unității este unitar, rămâne: $\left|\mathbf {rs} \right|\cos \theta$ ${\ displaystyle \ left | \ mathbf {rs} \ right | \ cos \ theta}$ $\ left | {\ mathbf {rs}} \ right | \ cos \ theta$