Linie proiectivă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică și mai precis în geometria proiectivă , linia proiectivă este o extensie a liniei , obținută prin adăugarea „punctului la infinit”.

În cazul liniei reale , aceasta se distinge de linia extinsă , care se obține prin adăugarea a două puncte la infinit, unul pentru fiecare direcție: Și .

Spre deosebire de linia extinsă, care este definită doar pentru numerele reale , conceptul de linie proiectivă este apoi aplicat oricărui câmp (de exemplu, câmpului complexelor ) și este versiunea 1-dimensională a conceptului mai general de spațiu proiectiv .

Definiție

O definiție informală a unei linii proiective, dependentă de un câmp , ar putea fi dat prin simpla adăugare a unui punct la , numit „infinit” sau . Cu toate acestea, o definiție de acest tip nu arată cum trebuie luat în considerare acest nou punct în noua structură: de aceea (ca în toate spațiile proiective ) se alege o definiție mai formală și omogenă, aparent foarte diferită, care ia în considerare imediat toate punctele la același nivel. Prin urmare, cele două descrieri vin să coincidă atunci când se decide că un punct dat este „cel la infinit”.

Coeficient

Este un câmp . Linia proiectivă este definit pornind de la plan

înlăturând originea și citând după relația de echivalență

care identifică două puncte obținute una de cealaltă prin redimensionarea pentru un factor real diferit de zero . Cu alte cuvinte, identifică toate punctele prezente pe fiecare linie dreaptă care trece prin origine, excluzând originea însăși. Oficial:

Coordonate omogene

Ca în orice spațiu proiectiv, fiecare punct al liniei proiective este, prin urmare, identificat printr-o pereche de coordonate omogene

unde vrem să spunem că prin multiplicarea ambelor valori Și pentru un număr obții același punct :

Arată spre infinit

Folosind aceste coordonate, este posibil să derivăm cea mai familiară descriere a unei linii proiective ca o uniune a unei linii normale și un „punct la infinit”. Intr-adevar

de vreme ce dacă nu redimensionează fiecare pereche nu poate fi exprimată decât într-unul din modurile descrise. În această descriere, „punctul la infinit” este . Cu toate acestea, fiecare punct al liniei proiective poate fi identificat ca un „punct la infinit” într-o descriere adecvată.

Exemple

Caz real

De sine este câmpul numerelor reale , linia proiectivă se obține prin adăugarea unui punct la infinit la dreapta reală . Din punct de vedere topologic , spațiul obținut este o circumferință .

Caz complex

Linia proiectivă complexă este sfera Riemann , obținută prin adăugarea punctului la infinit la planul complex .

Cazul complex prezintă un interes considerabil în matematică și geometrie. Linia proiectivă complexă se obține prin adăugarea unui punct la planul complex . Topologic, așa cum se poate vedea din proiecția stereografică , este o sferă , numită sferă Riemann . Sfera Riemann este un obiect important, care are multe conexiuni cu diverse domenii ale geometriei: este centrală, de fapt, atât în geometria proiectivă, cât și în cea diferențială .

Câmpuri finite

Definiția este în mod evident valabilă și în cazul în care câmpul este un câmp finit , cu elemente. În acest caz, linia proiectivă constă din elemente.

Elemente conexe

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică