Rezoluția la identitate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , rezoluția identității este o formulă care are implicații practice importante în algebra liniară și analiza funcțională , în special în rezolvarea problemelor legate de spații vectoriale cu o bază ortonormală .

Relația

Este un operator autoadjunct și un set de Borel . Spus funcția indicator a , asa de este o proiecție auto-adăugată pe și rezoluția identității:

este o măsură cu proiector . De sine este amplasat într-un spațiu Hilbert , măsura lui în comparație cu este operatorul de identitate su .

Folosind notația Dirac , în care reprezintă vectori în Și covectori (adică funcționale liniare ) în spațiul dual , este posibil să se reprezinte orice vector sub forma:

unde mulțimea vectorilor este o bază ortonormală a acestui spațiu cu privire la produsul Hermitian definit pe . Normalizarea este dată de: [1]

În special, deoarece baza este ortonormală, avem:

unde este este delta Kronecker . Rezoluția identității este dată de raportul de completitudine:

unde este este identitatea pe ca dimensiune .

Într-un spațiu Hilbert mărit , de dimensiune infinită (și nenumărată), scriem:

unde integralul este extins asupra întregului set de variabilitate a .

Demonstrație

Prin liniaritatea produsului Hermitian, având în vedere orice vector:

proprietatea merită:

Prin urmare, putem scrie identitatea:

din care coboară

unde este este funcția nulă activată , aceasta este teza.

Notă

  1. ^ Prin sesquilinearitatea produsului Hermitian, numărul este real pentru fiecare vector .

Bibliografie

  • F. Riesz, B. Szökefalvi-Nagy, Analiza funcțională , F. Ungar (1955)
  • NI Akhiezer, IM Glazman, Teoria operatorilor liniari într-un spațiu Hilbert , 1-2, F. Ungar (1961-1963)
  • LV Kantorovich, GP Akilov, Analiza funcțională în spații normate , Pergamon (1964)

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică