Răspunsul în frecvență

În teoria sistemelor dinamice , răspunsul de frecvență sau răspunsul armonic al unui sistem dinamic este descrierea ieșirii sale (o funcție a timpului) folosind frecvența în loc de timp (adică în domeniul frecvenței ) ca variabilă. Din punct de vedere matematic, descrierea frecvenței unui sistem dinamic are loc prin formalismul reprezentării spectrale a semnalelor .

Descriere

Descrierea unui sistem LTI în domeniul timpului ( răspunsul impulsului în albastru) și în domeniul frecvenței ( transformata Laplace este afișată în roșu).

Răspunsul în frecvență al unui filtru band-pass

Analiza de frecvență a comportamentului unui sistem se efectuează foarte des atunci când este vorba de sisteme liniare (în configurație stabilă ), care au proprietatea fundamentală de a răspunde la o intrare pur sinusoidală cu o ieșire de aceeași frecvență, adică se întorc același sinusoid la intrare, dar defazat și înmulțit cu un factor scalar (amplificat). Dacă sistemul este un sistem liniar staționar dinamic (LTI), acest factor de multiplicare nu variază în timp; din acest motiv, răspunsul în frecvență al sistemelor LTI este complet caracterizat prin răspunsul la impuls , adică prin ieșirea sistemului când există un singur impuls la intrare care conține toate frecvențele la amplitudinea unitară, în general un impuls Dirac delta . Răspunsul în frecvență este, în acest caz, explicitat de funcția de transfer (definită ca transformarea Laplace a răspunsului impulsului Delta Delac).

În electronică și telecomunicații există multe dispozitive utilizate pentru a produce un anumit răspuns de frecvență; printre cele mai frecvente aplicații se numără filtrele electrice, electronice sau optice. Acestea sunt circuite capabile să proceseze semnalul lipsindu-l de unele dintre componentele sale de frecvență, adesea pentru a-l curăța de perturbări. Acestea sunt numite filtre low- pass, band pass sau high pass datorită particularității lor de a lăsa să treacă frecvențele joase, intermediare sau înalte. În cazul filtrelor active , răspunsul în frecvență este utilizat pentru a proiecta filtre cu caracteristici particulare. În cele din urmă, studiul frecvenței este indispensabil în analiza și sinteza amplificatoarelor și a amplificatorului liniar într-un feedback .

Formalism în domeniul frecvenței

Același subiect în detaliu: Reprezentarea spectrală a semnalelor .

Au fost dezvoltate multe instrumente matematice care permit descrierea unui semnal ca o suprapunere a frecvențelor elementare care îl compun. În cazul unui semnal periodic $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ , este posibilă o scriere în serie a puterii cunoscută sub numele de dezvoltarea seriei Fourier în serie :

s(t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos(n\omega _{0}t)+B_{n}\sin(n\omega _{0}t))

{\ displaystyle s (t) = A_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (A_ {n} \ cos (n \ omega _ {0} t) + B_ {n} \ sin (n \ omega _ {0} t))}

{\ displaystyle s (t) = A_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (A_ {n} \ cos (n \ omega _ {0} t) + B_ {n} \ sin (n \ omega _ {0} t))}

unde valorile de $A_{0}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ $A_ {0}$ , $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ Și $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ sunt date de:

A_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{s(t)dt}

{\ displaystyle A_ {0} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} {s (t) dt}}

{\ displaystyle A_ {0} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} {s (t) dt}}

A_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{s(t)\cos(n\omega _{0}t})dt

{\ displaystyle A_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {0} ^ {T} {s (t) \ cos (n \ omega _ {0} t}) dt}

{\ displaystyle A_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {0} ^ {T} {s (t) \ cos (n \ omega _ {0} t}) dt}

B_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{s(t)\sin(n\omega _{0}t})dt

{\ displaystyle B_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {0} ^ {T} {s (t) \ sin (n \ omega _ {0} t}) dt}

{\ displaystyle B_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {0} ^ {T} {s (t) \ sin (n \ omega _ {0} t}) dt}

Pentru semnale non-periodice, trebuie utilizată o reprezentare integrală ; printre cele mai frecvente este transformata Fourier , deși în multe texte se folosește utilizarea transformatei Laplace , ceea ce face posibilă depășirea unor dificultăți matematice care apar odată cu transformata Fourier. Transformarea Laplace $L[f(t)](s)$ ${\ displaystyle L [f (t)] (s)}$ ${\ displaystyle L [f (t)] (s)}$ (în variabilă $s=\sigma +i\omega$ ${\ displaystyle s = \ sigma + i \ omega}$ $s = \ sigma + i \ omega$ ) a unei funcții $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ Și:

L[f(t)]=F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt

{\ displaystyle L [f (t)] = F (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt}

L [f (t)] = F (s) = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- st}} f (t) dt

În general, acest formalism duce la simplificări considerabile în calcule; de fapt, în domeniul frecvenței, operații precum convoluția , derivarea sau integrarea funcțiilor în timp corespund operațiilor de tip algebric între transformările relative (respectiv produsul transformărilor, multiplicarea cu $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ și împărțirea după $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ ).

Sisteme liniare

Sistemele liniare se caracterizează prin faptul că răspunsul lor la un semnal de intrare periodic, având o anumită frecvență, are aceeași formă și aceeași frecvență ca și intrarea: solicitând o configurație stabilă cu o perturbare periodică, sistemul va fi într-o stare oscilând cu aceeași frecvență dar cu fază și amplitudine diferite de cele ale oscilației de intrare.

În mod explicit, dat fiind un sistem liniar stabil, în care legătura dintre intrare și ieșire este reprezentată de o ecuație diferențială liniară , aplicând un semnal sinusoidal $u(t)=U_{0}\sin(\omega t)$ ${\ displaystyle u (t) = U_ {0} \ sin (\ omega t)}$ ${\ displaystyle u (t) = U_ {0} \ sin (\ omega t)}$ de amplitudine $U_{0}$ ${\ displaystyle U_ {0}}$ $U_ {0}$ și frecvență $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ avem că, după ce a trecut perioada tranzitorie, semnalul de ieșire este sinusoidal și de aceeași frecvență ca cel de intrare, adică de tipul $y(t)=Y_{0}\sin(\omega t+\phi )$ ${\ displaystyle y (t) = Y_ {0} \ sin (\ omega t + \ phi)}$ ${\ displaystyle y (t) = Y_ {0} \ sin (\ omega t + \ phi)}$ . Lățimea $Y_{0}$ ${\ displaystyle Y_ {0}}$ ${\ displaystyle Y_ {0}}$ și schimbarea de fază $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ sunt funcții de frecvență. Raportul amplitudinilor $Y_{0}(\omega )/U_{0}(\omega )$ ${\ displaystyle Y_ {0} (\ omega) / U_ {0} (\ omega)}$ ${\ displaystyle Y_ {0} (\ omega) / U_ {0} (\ omega)}$ se numește câștig pentru frecvență $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ .

Un sistem liniar de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ State $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbf x \ in \ R ^ n$ , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ intrare $\mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbf u \ in \ R ^ m$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ieșiri $\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$ $\ mathbf y \ in \ R ^ q$ este descris de o ecuație ca:

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {u} (t)}

\ dot \ mathbf x (t) = A \ mathbf x (t) + B \ mathbf u (t)

\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {u} (t)}

\ mathbf y (t) = C \ mathbf x (t) + D \ mathbf u (t)

Se spune că sistemul este stabil dacă toate valorile proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ au o parte reală negativă. Se arată că dacă intrarea este o oscilare de tip $\mathbf {u} ={\bar {\mathbf {u} }}e^{j\omega t}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ bar {\ mathbf {u}}} e ^ {j \ omega t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ bar {\ mathbf {u}}} e ^ {j \ omega t}}$ , cu ${\bar {\mathbf {u} }}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {u}}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ bar \ mathbf u \ in \ R ^ n$ un vector arbitrar, apoi lăsând sistemul să evolueze rezultatul are forma:

\lim _{t\to \infty }\mathbf {y} (t)=[D+C(j\omega I-A)^{-1}B]{\bar {\mathbf {u} }}e^{j\omega t}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ mathbf {y} (t) = [D + C (j \ omega IA) ^ {- 1} B] {\ bar {\ mathbf {u}}} e ^ {j \ omega t}}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ mathbf {y} (t) = [D + C (j \ omega IA) ^ {- 1} B] {\ bar {\ mathbf {u}}} e ^ {j \ omega t}}

unde este $[D+C(j\omega I-A)^{-1}B]$ ${\ displaystyle [D + C (j \ omega IA) ^ {- 1} B]}$ ${\ displaystyle [D + C (j \ omega I-A) ^ {- 1} B]}$ , cu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ matricea de identitate , este factorul ( câștigul ) pentru care a fost amplificată intrarea. În acest fel vedem că o oscilație complexă corespunde unui răspuns oscilant de aceeași frecvență.

O importanță deosebită sunt sistemele liniare staționare , al căror răspuns nu se schimbă în timp și este complet descris în frecvență de funcția de transfer .

Sisteme LTI

Același subiect în detaliu: funcția de transfer .

Spus $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ un semnal de intrare către un sistem LTI e $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ răspunsul său, ecuația care guvernează sistemul poate fi scrisă ca:

a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}y(t)+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}y(t)+\dots +a_{0}y(t)=b_{m}{\frac {d^{m}}{dt^{m}}}x(t)+b_{m-1}{\frac {d^{m-1}}{dt^{m-1}}}x(t)+\dots +b_{0}x(t)

{\ displaystyle a_ {n} {\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} y (t) + a_ {n-1} {\ frac {d ^ {n-1}} {dt ^ {n-1}}} y (t) + \ dots + a_ {0} y (t) = b_ {m} {\ frac {d ^ {m}} {dt ^ {m}}} x (t ) + b_ {m-1} {\ frac {d ^ {m-1}} {dt ^ {m-1}}} x (t) + \ dots + b_ {0} x (t)}

{\ displaystyle a_ {n} {\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} y (t) + a_ {n-1} {\ frac {d ^ {n-1}} {dt ^ {n-1}}} y (t) + \ dots + a_ {0} y (t) = b_ {m} {\ frac {d ^ {m}} {dt ^ {m}}} x (t ) + b_ {m-1} {\ frac {d ^ {m-1}} {dt ^ {m-1}}} x (t) + \ dots + b_ {0} x (t)}

iar funcția de transfer este dată de:

k(j\omega )={\frac {b_{m}(j\omega )^{m}+b_{m-1}(j\omega )^{m-1}+\dots +b_{0}}{a_{n}(j\omega )^{n}+a_{n-1}(j\omega )^{n-1}+\dots +a_{0}}}

{\ displaystyle k (j \ omega) = {\ frac {b_ {m} (j \ omega) ^ {m} + b_ {m-1} (j \ omega) ^ {m-1} + \ dots + b_ {0}} {a_ {n} (j \ omega) ^ {n} + a_ {n-1} (j \ omega) ^ {n-1} + \ dots + a_ {0}}}}

{\ displaystyle k (j \ omega) = {\ frac {b_ {m} (j \ omega) ^ {m} + b_ {m-1} (j \ omega) ^ {m-1} + \ dots + b_ {0}} {a_ {n} (j \ omega) ^ {n} + a_ {n-1} (j \ omega) ^ {n-1} + \ dots + a_ {0}}}}

Aceasta este transformata Laplace a răspunsului la impuls $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , adică:

k(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}\cdot h(t)\,dt

{\ displaystyle k (j \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ omega t} \ cdot h (t) \, dt}

{\ displaystyle k (j \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ omega t} \ cdot h (t) \, dt}

h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }k(j\omega )e^{i\omega t}\,d\omega

{\ displaystyle h (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} k (j \ omega) e ^ {i \ omega t} \, d \ omega}

{\ displaystyle h (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} k (j \ omega) e ^ {i \ omega t} \, d \ omega}

Răspunsul la impuls și răspunsul de frecvență sunt, prin urmare, unul transformat de celălalt.

Exemplu

Luați în considerare un circuit electric format dintr-un rezistor și o inductanță plasate în serie. Ecuația care o caracterizează este:

L{\frac {di}{dt}}+Ri=E

{\ displaystyle L {\ frac {di} {dt}} + Ri = E}

L {\ frac {di} {dt}} + Ri = E

Efectuarea transformării:

L[sI(s)-i(0+)]+RI(s)=E(s)

{\ displaystyle L [sI (s) -i (0 +)] + RI (s) = E (s)}

{\ displaystyle L [sI (s) -i (0 +)] + RI (s) = E (s)}

și rezolvarea pentru $I(s)$ ${\ displaystyle I (s)}$ ${\ displaystyle I (s)}$ , loc $i(0+)=0$ ${\ displaystyle i (0 +) = 0}$ $i (0 +) = 0$ , se pare:

I(s)={\frac {E}{sL+R}}

{\ displaystyle I (s) = {\ frac {E} {sL + R}}}

{\ displaystyle I (s) = {\ frac {E} {sL + R}}}

al cărui antitransform este:

i(t)={\frac {E}{R}}e^{-{\frac {R}{L}}t}

{\ displaystyle i (t) = {\ frac {E} {R}} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t}}

{\ displaystyle i (t) = {\ frac {E} {R}} e ^ {- {\ frac {R} {L}} t}}

Bibliografie

( EN ) Luther, Arh. C; Inglis, Andrew F. Inginerie video , McGraw-Hill, 1999. ISBN 0-07-135017-9
(EN) Stark, Scott Hunter. Întărire sunet live , Vallejo, California, Artistpro.com, 1996–2002. ISBN 0-918371-07-4
( EN ) Billings SA "Identificare neliniară a sistemului: metode NARMAX în domenii de timp, frecvență și spațio-temporale". Wiley, 2013

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre răspunsul în frecvență

linkuri externe

(EN) Andrew Packard - Răspunsul în frecvență pentru sistemele liniare (PDF) pe jagger.berkeley.edu. Adus la 20 august 2015 (arhivat din original la 13 martie 2016) .
( EN ) University of Michigan - Tutorial de analiză și proiectare a răspunsului în frecvență , pe engin.umich.edu .
( EN ) Smith, Julius O. III - Introducere în filtrele digitale cu aplicații audio ( Răspuns în frecvență )

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85051931 · GND (DE) 4155400-0

Portal Controale automate Puteți ajuta Wikipedia extinzându-le controalele automate