Acoperire (topologie)
Acoperirea este o noțiune centrală de topologie , importantă pentru studiul spațiilor topologice și a funcțiilor continue dintre ele. Noțiunea de acoperire este strâns legată de cea a unui grup fundamental .
Definiții
O acoperire este o continuă și funcția surjective p: Y → X între spații topologice cu proprietatea că fiecare punct x din X are un deschis cartier U a cărui counterimage în Y este o uniune de mulțimi deschise disjuncte, astfel încât prin restrângerea p pe fiecare dintre acestea obținem un homeomorfism pe U. Se spune că un astfel de U deschis este acoperit uniform .
Se spune, de asemenea, că spațiul Y acoperă X prin harta p . În general, pentru simplitate, se cere, de asemenea, ca X și Y să fie conectate amândouă prin margini , iar asta se presupune în această discuție.
Imaginea contra unui punct x este fibra de pe x . Cardinalitatea fibrei nu depinde de punctul x și este numărul de foi sau gradul de acoperire: poate fi finită sau infinită .
Exemple
Să luăm în considerare circumferința unității S 1 în R 2 . Apoi funcția p : R → S 1 dată de
- p ( t ) = (cos ( t ), sin ( t ))
este o acoperire cu un număr infinit de foi.
Notăm cu C * planul complex fără originea 0. Harta p : C * → C * dată de
- p ( z ) = z n
este o acoperire n- foaie pentru fiecare număr natural pozitiv n .
Proprietate
Homeomorfism local
Un strat de acoperire este un homeomorfism local . Inversul nu este adevărat în general: de exemplu, într-un homeomorfism local, cardinalitatea fibrei de pe x se poate modifica pe măsură ce x variază.
O definiție alternativă a acoperirii este după cum urmează: p : Y → X este o acoperire dacă
- este un homeomorfism local;
- proprietatea de ridicare a căilor se menține: dacă γ este o cale în X (adică o hartă continuă din intervalul unitar [0,1] în X ) și y este un punct al fibrei lui γ (0) atunci există o singură calea ρ în Y care ridică γ (adică p sau ρ = γ) începând de la y (adică ρ (0) = y ). Curba ρ este ridicarea lui γ.
Grupuri fundamentale
O acoperire p : Y → X induce o funcție injectivă pe grupele fundamentale p * : π 1 ( Y , y ) → π 1 ( X , x ), pentru toate x și y astfel încât x = p ( y ).
Numărul de foi ale unei acoperiri este egal cu indicele subgrupului p * (π 1 ( Y , y )) din interiorul π 1 ( X , x ).
Dacă X este un spațiu topologic simplu conectat local (și toate spațiile topologice „bune” satisfac această proprietate), pentru fiecare subgrup H de π 1 ( X , x ) există un spațiu Y și o acoperire p : Y → X astfel încât l „imaginea lui p * : π 1 ( Y , y ) → π 1 ( X , x ) să fie doar H. Această acoperire este unică, cu excepția izomorfismelor (definite corespunzător).
Grupuri de homotopie
O acoperire induce izomorfisme pe grupe de homotopie mai mari decât prima. Prin urmare, se poate deduce, de exemplu, că
- π n (S 1 ) = π n ( R ) = { e }
pentru orice n > 1, deoarece R este contractil .
Structuri locale moștenite
Fiecare structură locală a lui X este moștenită prin p din spațiul Y care îl acoperă:
- dacă X este o varietate , la fel și Y
- dacă X este o suprafață Riemann , Y devine și așa încât p este o funcție holomorfă
- dacă X este un grup Lie (ca în cele două exemple de mai sus), Y devine și el astfel încât p să fie un omomorfism al grupurilor Lie.
Grad și compactitate
Dacă Y este compact, atunci acoperirea are grad finit. Aceasta deoarece contraimaginea unui punct al lui X este un set discret în Y , iar un set discret și închis într-un compact este finit.
Mai general, dacă X este compact , atunci Y este compact dacă și numai dacă acoperirea are un grad finit.
Caracteristica lui Euler
Gradul d al unei acoperiri p : Y → X și caracteristica Euler a celor două spații topologice sunt conectate prin următoarea relație:
- χ ( Y ) = dχ ( X ).
Acoperire universală
În următoarea discuție, se presupune, pentru simplitate, că spațiile la care se face referire sunt conectate prin arcuri și conectate local simplu : aceste două proprietăți foarte naturale sunt satisfăcute de toate spațiile cele mai studiate din topologie. Un spațiu care nu le satisface conține cel puțin un punct cu vecinătăți foarte complicate, cum ar fi obiectul prezentat în dreapta.
O acoperire p : Y → X în care Y este conectat pur și simplu se numește acoperire universală a X. Proprietățile enumerate mai sus implică faptul că un spațiu topologic X are o singură acoperire universală (cu excepția cazului în izomorfisme definite corespunzător) și că numărul de foi de p este egal cu cardinalitatea lui π 1 ( X , x ).
Exemplul R → S 1 descris mai sus este o acoperire universală. Celălalt exemplu C * → C * nu este, deoarece C * pur și simplu nu este conectat.
Alte exemple
Taur
Harta p : R 2 → S 1 x S 1 dată de
- p ( x , y ) = (cos ( x ), sin ( x ), cos ( y ), sin ( y ))
este o acoperire cu foi infinite pe tor , care este homeomorfă pentru produsul S 1 x S 1 .
Spațiu proiectiv real
Harta p : S n → P n ( R ) dată de
- p ( x 0 , ..., x n ) = [ x 0 , ..., x n ]
de la sfera unitară în R n + 1 la spațiul proiectiv real, ambele de dimensiuni n , este o acoperire cu două foi. Pentru n > 1 sfera este pur și simplu conectată și, prin urmare, este acoperirea universală a spațiului proiectiv.
Suprafețe și soiuri neorientabile
Fiecare soi V neorientabil este acoperit cu un soi orientabil, prin intermediul unei acoperiri duble (adică gradul 2). Distribuitorul orientabil are deci o caracteristică Euler dublă decât cea a lui V.
În special, fiecare suprafață din spațiu având o singură față ( unilaterală ) este acoperită de o suprafață cu două fețe ( bilaterală ). De exemplu, banda Möbius este acoperită cu un inel .
Multe suprafețe neorientabile nu pot fi văzute în interiorul spațiului, în timp ce învelișul lor orientabil este: de exemplu, sticla Klein este acoperită de tor , iar planul proiectiv real , așa cum tocmai am văzut, este acoperit de sferă.
Bibliografie
- E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri , Torino (1994), ISBN 88-339-5548-6 .
Elemente conexe
-
Wikționarul conține dicționarul lema « acoperire »
