Rodonea

Rodonee obținut pentru diferite valori ale parametrului

\omega ={\frac {n}{d}}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {n} {d}}}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {n} {d}}}

Diverse moduri de a construi Trandafirul lui Grandi. Animații realizate în MSWLogo ^[1]

În geometrie, rhodonea este curba algebrică sau transcendentă al cărei grafic se caracterizează printr-o serie de înfășurări în jurul unui punct central. În cele mai cunoscute cazuri, aceste înfășurări produc figuri în formă de fereastră de trandafir , din care denumirea rhodonea (din grecescul rhódon , ròsa) derivă din curbă. Curba rodonă mai este numită trandafirul lui Grande de către Luigi Guido Grandi , matematicianul care l-a botezat și studiat în jurul anului 1725 .

Rhodonea poate fi considerată un caz particular de hipocicloid .

Ecuația curbei

Ecuația rhodona în coordonate polare $(\rho ,\theta )$ ${\ displaystyle (\ rho, \ theta)}$ ${\ displaystyle (\ rho, \ theta)}$ Și:

\rho =R\sin \omega \theta

{\ displaystyle \ rho = R \ sin \ omega \ theta}

{\ displaystyle \ rho = R \ sin \ omega \ theta}

,

unde este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este un număr real pozitiv care reprezintă distanța maximă a curbei de centrul înfășurărilor și $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este un număr real pozitiv care determină forma curbei. De asemenea, este posibil să se scrie rodonea ca $\rho =R\cos \omega \theta$ ${\ displaystyle \ rho = R \ cos \ omega \ theta}$ ${\ displaystyle \ rho = R \ cos \ omega \ theta}$ , care produce o figură similară, dar rotită cu un unghi egal cu ${\frac {\pi }{2\omega }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2 \ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2 \ omega}}}$ radiani .

Proprietate

De sine $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este un număr întreg , curba are un număr finit de înfășurări, toate trecând prin originea axelor, care generează o serie de „petale” care alcătuiesc figura în formă de rozetă; numărul petalelor este egal cu:

$\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , de sine $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este ciudat;
$2\omega$ ${\ displaystyle 2 \ omega}$ ${\ displaystyle 2 \ omega}$ , de sine $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este chiar.

Observăm că nu este posibil să se obțină trandafiri cu un număr de petale egal cu $4n+2$ ${\ displaystyle 4n + 2}$ ${\ displaystyle 4n + 2}$ . Pentru $\omega =1$ ${\ displaystyle \ omega = 1}$ ${\ displaystyle \ omega = 1}$ se obține o singură petală, adică o circumferință care nu este centrată în origine.

Suprafața închisă de curbă este egală cu ${\frac {\pi R^{2}}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi R ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi R ^ {2}} {2}}}$ pentru $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ egal cu ${\frac {\pi R^{2}}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi R ^ {2}} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi R ^ {2}} {4}}}$ pentru $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ fotografii.

De sine $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este un număr rațional ${\frac {n}{d}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {d}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {d}}}$ , curba are un număr finit de înfășurări, care se intersectează în mai multe puncte creând o serie de petale parțial suprapuse; figura din lateral arată rodonee obținut pentru unele valori de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ . Ca un caz special, pentru $\omega ={\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}}}$ , Se obține foliul lui Dürer .

În ambele cazuri anterioare, curba obținută este algebrică; dacă în schimb $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este un număr irațional , curba este transcendentă și are un număr infinit de înfășurări care nu se închid și formează un întreg dens , trecând în mod arbitrar aproape de fiecare punct al cercului de rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ .

Notă

^ Giorgio Pietrocola, Curbe istorice, Rose di Grandi , pe Tartapelago , Maecla , 2005. Adus 26 aprilie 2021 .

Bibliografie

( EN ) Rhodonea Curves , în arhiva The MacTutor History of Mathematics , School of Mathematics and Statistics, Universitatea din St Andrews, Scoția. Adus 16-07-2008 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Rodonea

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Giorgio Pietrocola, Curbe istorice, Rose di Grandi , pe Tartapelago , Maecla , 2005. Adus 26 aprilie 2021 .

[1]