Scara logaritmică

În matematică , scala logaritmică este o reprezentare grafică a numerelor reale pozitive.

Constructie

Asociem numere reale pozitive mai mari de zero punctelor unei raze în acest fel: dacă O este originea razei și P este punctul care trebuie să reprezinte numărul x> 0, lungimea segmentului OP (care de acum apoi vom indica prin λ (OP) ) să fie proporțional cu $\log _{10}x$ ${\ displaystyle \ log _ {10} x}$ ${\ displaystyle \ log _ {10} x}$ (logaritm la baza 10 a numărului x). Această reprezentare geometrică a numerelor reale pozitive se numește scară logaritmică . Punctul O va reprezenta evident numărul 1; de fapt, indicând cu $x_{o}$ ${\ displaystyle x_ {o}}$ ${\ displaystyle x_ {o}}$ numărul reprezentat de O , avem $\lambda (OO)=0\Leftrightarrow \log _{10}(x_{o})=0\Leftrightarrow x_{o}=10^{0}=1$ ${\ displaystyle \ lambda (OO) = 0 \ Leftrightarrow \ log _ {10} (x_ {o}) = 0 \ Leftrightarrow x_ {o} = 10 ^ {0} = 1}$ ${\ displaystyle \ lambda (OO) = 0 \ Leftrightarrow \ log _ {10} (x_ {o}) = 0 \ Leftrightarrow x_ {o} = 10 ^ {0} = 1}$

Cum sunt aranjate primele puteri de 10 pe o scară logaritmică. Rețineți că distanța 1-10 este aceeași cu distanța 10-100

O altă scară, cu rezoluție mai mare, cu unele numere întregi. Se poate observa că intervalele 10-20 și 10-30 sunt echivalente cu cele 1-2 și respectiv 1-3

Aplicații ale scării logaritmice

Creșterea populației din Anglia a fost reprezentată pe o scară logaritmică (1,67 decenii).

Se poate verifica, folosind regulile logaritmilor, că dacă P și Q reprezintă numerele x și respectiv xy , avem:

\lambda (PQ)=\lambda (OQ)-\lambda (OP)=k\log xy-k\log x=k\log y

{\ displaystyle \ lambda (PQ) = \ lambda (OQ) - \ lambda (OP) = k \ log xy-k \ log x = k \ log y}

{\ displaystyle \ lambda (PQ) = \ lambda (OQ) - \ lambda (OP) = k \ log xy-k \ log x = k \ log y}

Prin urmare, pe o jumătate de linie numerotată pe o scară logaritmică, putem realiza produsul între x și y construind, începând de la punctul care reprezintă x , un segment echivalent cu cel care reprezintă y , care va avea punctul reprezentând xy ca o altă extremă . Această caracteristică a scării logaritmice constituie principiul de funcționare al regulii diapozitive .

Observați că, dacă P , Q și R reprezintă x , y și respectiv ${\sqrt {xy}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {xy}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {xy}}}$ , avem:

[\lambda (OP)+\lambda (OQ)]/2=[k(\log x)+k(\log y)]/2=k\log {\sqrt {xy}}=\lambda (OR)

{\ displaystyle [\ lambda (OP) + \ lambda (OQ)] / 2 = [k (\ log x) + k (\ log y)] / 2 = k \ log {\ sqrt {xy}} = \ lambda (SAU)}

{\ displaystyle [\ lambda (OP) + \ lambda (OQ)] / 2 = [k (\ log x) + k (\ log y)] / 2 = k \ log {\ sqrt {xy}} = \ lambda (SAU)}

Media aritmetică dintre λ (OP) și λ (OQ) identifică, pe scara logaritmică, media geometrică între x și y .

În multe cazuri, alegerea unei scări logaritmice este cea mai naturală. Acest lucru poate avea în esență două motive:

motive de comoditate grafică, de exemplu în studiul unei variabile care este o funcție a unui set foarte mare de mărimi ordonate, în special în cazul în care nu ne interesează atât variațiile sale absolute, cât și cele relative;
motive intrinseci, de exemplu în studiul percepției unor mărimi fizice; un caz important este dat de definiția amplitudinii unui interval între două sunete. Experiența arată că definiția care corespunde cel mai bine amplitudinilor percepute este cea care se bazează nu pe diferența de frecvență a celor două sunete, ci pe relația lor. Rezultă că cea mai naturală dispunere a frecvențelor este cea pe o scară logaritmică. Un alt exemplu analog este dat de percepția a ceea ce se numește în mod obișnuit intensitatea unui sunet, adică nivelul de presiune a sunetului , a cărui unitate de măsură este din nou definită într-un mod logaritmic.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere la scară logaritmică

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică