Domeniu (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , un câmp este o structură algebrică constând dintr-un set nu este gol și prin două operații binare interne , numite sumă și produs și de obicei notate cu respectiv Și . Acestea au proprietăți similare cu cele verificate prin sumă și produs pe numere raționale sau reale sau chiar complexe .

Câmpul este o structură algebrică de bază în matematică, necesară pentru studiul aprofundat al polinoamelor și a rădăcinilor acestora și pentru definirea spațiilor vectoriale . În contextul spațiilor vectoriale, un element al unui câmp se numește scalar .

Definiție formală

Întregul ne-gol dotat cu două operații binare Și este un câmp dacă se mențin următoarele proprietăți: [1]

odată cu operația este un grup abelian cu element neutru:

  • pentru fiecare există astfel încât

Mai puțin odată cu operația este un grup abelian cu un element neutru :

  • pentru fiecare există astfel încât

Înmulțirea este distributivă în ceea ce privește adunarea:

(relațiile trebuie să fie valabile pentru fiecare , Și în )

Fiecare dintre următoarele definiții de câmp este echivalentă cu cea dată:

  • un inel comutativ cu unitate în care fiecare element non-nul are un invers;
  • un corp comutativ în ceea ce privește multiplicarea.

Grupul multiplicativ minus elementul este de obicei indicat cu .

Exemple

Câmpuri

Inele care nu sunt câmpuri

  • Cel mai important exemplu este întregul de numere întregi : nu este un câmp deoarece singurele elemente care au un invers multiplicativ sunt Și .
  • Produsul inelelor este un inel, dar produsul câmpurilor nu este un câmp. Deci, de exemplu este un inel dar nu un câmp: elementul nu are invers.
  • Fiecare domeniu de integritate finită este un câmp.

Pe de altă parte, orice domeniu de integritate este conținut într-un câmp, numit câmp coeficient , care este cel mai mic câmp dintre cele care conțin . Câmpul coeficient al Și .

Corpuri care nu sunt câmpuri

  • Cuaternionii nu formează un câmp, deoarece operația de multiplicare nu este comutativă.

Relația cu alte structuri algebrice

Inele

După cum sa menționat anterior, câmpurile sunt inele particulare, chiar dacă majoritatea instrumentelor utilizate în studiul acestora din urmă nu permit să ofere multe informații despre câmpuri. Singurele idealuri ale unui câmp , de exemplu, sunt în sine și idealul nul : aceasta implică faptul că orice omomorfism diferit de zero cu valori într-un câmp are un nucleu banal și, prin urmare, este injectiv , adică este o extensie a câmpurilor .

Un câmp este, de asemenea, un domeniu al integrității și un anumit domeniu euclidian cu evaluare pentru fiecare element și, în consecință, este, de asemenea, un singur domeniu de factorizare . Totuși, acest lucru nu duce la rezultate interesante, deoarece fiecare element non-nul, fiind inversabil, are o factorizare „goală” (adică constă doar dintr-o unitate).

La fel ca pe inele, pe câmpuri este posibil să se definească polinoame : inelul rezultând astfel este un domeniu euclidian (cu evaluarea dată de gradul polinomului) și în special un inel cu idealuri principale : această proprietate permite definirea conceptului de polinom minim al unui element algebric. pe .

Caracteristică

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Caracteristic (algebră) .

O altă proprietate a inelelor care este transferată câmpurilor este caracteristica, definită ca întregul minim astfel încât: [2]

este egal cu zero. Dacă acest minim nu există, adică dacă este întotdeauna diferită de zero, caracteristica este prin definiție. Deoarece câmpurile sunt domenii de integritate, caracteristica lor este fie un număr prim . Caracteristica determină în mod unic subcâmpul său fundamental: dacă este, sunt numere raționale , în timp ce dacă este este câmpul terminat cu elemente, și anume inelul coeficient (notat cu sau ). Toate câmpurile finite au o caracteristică pozitivă, în timp ce inversul nu este adevărat: un exemplu este câmpul a funcțiilor raționale pe un câmp finit.

Grupuri

Din definiția câmpului rezultă imediat că Și , acesta din urmă a fost adesea notat cu sunt grupuri abeliene . Ca o consecință a faptului că un polinom de grad nu poate avea mai mult de rădăcini, fiecare subgrup finit de (și, prin urmare, în special, fiecare grup multiplicativ al unui câmp finit) este ciclic ; acest lucru nu se întâmplă niciodată pentru grupul de aditivi, cu excepția câmpurilor cu elemente.

Spații vectoriale

Câmpurile sunt fundamentale în definirea spațiilor vectoriale ; majoritatea proprietăților acestora din urmă (existența unei baze , dimensiuni , sub spații) nu depind de domeniul particular utilizat. În mod similar, pot fi definite spații afine și spații proiective pe orice câmp. Posibilitatea de a defini un produs scalar (și deci o structură a spațiului euclidian ) depinde de câmpul ales, deoarece se bazează pe posibilitatea de a defini o relație de ordine pe câmp.

Legată de câmpul de bază al spațiului vector este posibilitatea diagonalizării operatorilor liniari , deoarece este legată de prezența rădăcinilor polinomului caracteristic .

Subcâmpuri și extensie de câmpuri

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Extinderea câmpurilor .

Un subset al unui câmp închis în raport cu suma și produsul și care conține inversele și contrariile tuturor elementelor sale formează un câmp în sine și se numește un subcâmp al . De exemplu, numerele raționale formează un subcâmp de numere reale, care la rândul lor sunt un subcâmp de numere complexe.

Inversând perspectiva, un câmp care contine ca subcamp este o extensie sau o extensie a acestuia din urmă. Mai mult, deoarece fiecare omomorfism al câmpurilor este injectiv (adică este o imersiune), poate fi considerat un câmp ca o extensie a chiar dacă există o scufundare de în .

O extensie a unui câmp este automat un spațiu vector activat , și, prin urmare, are propria sa dimensiune : aceasta se numește gradul de extensie și este indicat ca . O proprietate importantă a gradului este multiplicarea sa: dacă iar toate trei sunt câmpuri atunci

Dacă gradul de pe este finită, extensia se numește finită, în timp ce infinit în caz contrar.

De sine este o extensie a , Și este un subset de , este indicat cu cel mai mic subcamp din care conține ambele acea , care este cea mai mică extensie a care contine ; se acordă o importanță deosebită extensiilor simple , adică celor în care este format dintr-un singur element.

Extensii algebrice și transcendente

O extensie se spune că este algebric dacă fiecare element al este rădăcina unui polinom cu coeficienți în , și altfel transcendent . De exemplu extensia în este algebric, în timp ce cel de în este transcendent.

Extensiile simple pot fi clasificate imediat ca algebrice sau transcendente începând de la gradul lor: dacă aceasta este finită extensia este algebrică, în timp ce dacă este infinită este transcendentă. În primul caz, gradul este egal cu cel al polinomului minim al gradului care generează mărirea; un element se spune că este algebric sau transcendent pe un câmp în funcție de extensie fie el algebric sau transcendent. De sine , elementele algebrice și transcendente sunt numite în general numere algebrice și numere transcendente . Toate extensiile finite sunt generate de un număr finit de elemente și, prin urmare, sunt finite, în timp ce inversul nu este adevărat: un exemplu este extensia

Pentru a distinge extensiile transcendente între ele, neputând folosi gradul de mărire, se folosește gradul de transcendență : acesta este definit ca numărul maxim de elemente independente algebric pe , adică ca număr maxim pentru care există elemente ale pentru care nu există anunț polinomial necunoscute cu coeficienți în anulate de acele elemente. O extensie algebrică are un grad de transcendență, în timp ce o extensie transcendentă simplă are un grad de transcendență .

Construirea extensiilor algebrice

Având un câmp și un polinom ireductibil un coeficienți în , puteți găsi întotdeauna o extensie de unde polinomul are o singură rădăcină: inelul coeficient

este de fapt un câmp, o extensie a (imersiunea este cea care asociază fiecare element al clasa constantei sale), unde elementul este o soluție de ; gradul extensiei este și gradul polinomului . În acest fel este posibil să găsim câmpuri pe care polinoamele atribuite au o soluție, sau chiar toate soluțiile posibile; în plus, toate extensiile posibile sunt izomorfe între ele.

Un câmp pe care toate polinoamele au cel puțin o rădăcină este numit închis algebric : cel mai important exemplu este câmpul numerelor complexe, unde această afirmație este cunoscută ca teorema fundamentală a algebrei (deși este întotdeauna dovedită cel puțin parțial cu analize metode); nici câmpul numerelor raționale și nici cel al numerelor reale nu sunt închise algebric (de exemplu polinomul nu are rădăcini). Din lema lui Zorn rezultă că fiecare câmp este conținut într-un câmp închis algebric, cât mai mic posibil, adică astfel încât orice mărire intermediară între și nu este închis algebric; aceasta se numește închidere algebrică a și, din nou grație lemei lui Zorn, este posibil să se demonstreze că este unică până la izomorfisme. Închiderea algebrică a numerelor reale este câmpul numerelor complexe, dar acesta nu este închiderea algebrică a raționalelor, care este în schimb câmpul numerelor algebrice.

Teoria lui Galois

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: teoria lui Galois .

Teoria lui Galois studiază extensiile algebrice ale unui câmp prin studiul grupului de automorfisme ale extensiilor, sau mai bine zis al izomorfismelor unui câmp în sine. Acest grup (numit extensia grup Galois ) poate fi adesea calculat în mod explicit furnizând, prin corespondența Galois , informații despre câmpul însuși.

Izomorfisme și automorfisme

Izomorfismele de câmp au multe proprietăți care facilitează studiul lor. Un element de bază este acela că trimit subcâmpul fundamental al domeniului în subcâmpul fundamental al intervalului (și, prin urmare, păstrează caracteristica); mai mult, dacă este o rădăcină a unui polinom cu coeficienți în subcâmpul fundamental, imaginea sa este o rădăcină a aceluiași polinom. În special, păstrează gradul polinomului și, prin urmare, gradul extensiilor: două câmpuri izomorfe au același grad pe subcâmpul lor fundamental.

Dacă domeniul și domeniul coincid, există un automorfism al câmpului: proprietățile anterioare implică faptul că un automorfism este identitatea pe subcâmpul fundamental (adică fixează toate elementele subcâmpului fundamental) și că un element de grad (adică al cărui polinom minim are grad ) are cel mult imagini distincte. Ansamblul elementelor fixate de automorfism (adică pentru care ) este un câmp, care se numește câmp fix de .

Extensii normale și separabile

Studiul automorfismelor unui câmp necesită câteva ipoteze despre extensia considerată.

Prima este cea a extensiei normale : aceasta este o extensie algebrică în care orice izomorfism al în închiderea sa algebrică care se fixează de asemenea fixat sau, echivalent, un polinom ireductibil în care are o rădăcină în are toate rădăcinile acolo, sau din nou este câmpul de divizare a unui polinom cu coeficienți în . Un exemplu tipic de extensie non-normală este , deoarece este rădăcina lui , ale cărei alte rădăcini sunt Și unde este este a treia rădăcină a unității .

Al doilea este cel al extensiei separabile , adică o extensie algebrică în care fiecare element este rădăcina unui polinom separabil , adică a unui polinom fără rădăcini multiple. Această presupunere este necesară deoarece un element au exact imagini distincte, unde este gradul său. Pe un câmp caracteristic zero toate extensiile sunt separabile; dacă caracteristica este pozitivă, pot exista cazuri de extensii inseparabile. Setul tuturor elementelor separabile dintr-un câmp este un câmp, care se numește închiderea sa separabilă .

Atât extensia normală, cât și cea separabilă se numește Galois .

Corespondența lui Galois

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Teorema fundamentală a teoriei lui Galois .

În extensiile Galois terminate , există o corespondență unu-la-unu (numită corespondență Galois ) între subgrupurile grupului Galois al extensiei și câmpurile intermediare dintre și ; la un subgrup corespunde câmpului fixat de toate automorfismele aparținând , în timp ce într-un subcamp corespunde grupului de automorfisme ale privirea aceea , adică grupul Galois al pe . Importanța acestei teoreme derivă din posibilitatea transportării problemelor legate de câmpuri în probleme pe grupuri, care sunt mai ușor de tratat, de asemenea, deoarece este adesea posibil să se scrie în mod explicit grupul, care este finit, în timp ce câmpul este adesea infinit.

În cazul extensiilor infinite, teorema fundamentală nu mai este adevărată cu aceste ipoteze; în schimb, este necesar să se introducă o topologie în grupul Galois ( topologia Krull ) care îl face un grup topologic ; corespondența apare între câmpurile intermediare ale extensiei și subgrupurile închise ale grupului Galois.

Extensii simple și elemente primitive

Un element care generează o extensie este numit element primitiv pentru acesta. Deoarece extensiile simple sunt mai ușor de studiat (de exemplu, deoarece automorfismele sunt determinate în mod unic de imaginea elementului primitiv) este interesant să încercăm să caracterizăm extensiile simple.

Pentru măririle algebrice, rezultatul fundamental este teorema elementului primitiv , care afirmă că o mărire finită este simplu dacă și numai dacă are un număr finit de câmpuri intermediare; un corolar important este că toate extensiile finite și separabile sunt simple și, prin urmare, toate extensiile sunt simple , cu separabil. În special, ultima condiție este îndeplinită dacă este un câmp caracteristic și, prin urmare, orice extensie algebrică finită a unei extensii a este simplu (de ex. ). Rezultatul este valabil în continuare, cel puțin printre sunt separabile, în timp ce două elemente inseparabile pot împiedica existența unui element primitiv.

Condiția privind finețea extinderii este esențială: de exemplu extinderea în închiderea sa algebrică este algebrică (și evident separabilă), dar nu simplă, deoarece dacă ar fi ar avea un grad egal cu cel al elementului său primitiv, în timp ce fiecare algebric are grad finit.

Pentru extinderi transcendente, rezultatele realizabile nu sunt atât de bune. Teorema lui Lüroth afirmă că fiecare câmp astfel încât

(unde este este un nedeterminat pe ), sau orice câmp intermediar al unei extensii transcendente simple, este în sine o simplă extensie a . Această teoremă nu poate fi extinsă la subcâmpuri în expansiuni de două sau mai multe nedeterminate; în geometria algebrică , o întrebare legată de aceasta este dacă orice extensie transcendentă a este pur transcendent, adică dacă pentru fiecare poti sa scrii , unde este Și sunt nedeterminate independente pe . Acest lucru nu este adevărat în ipotezele teoremei lui Lüroth; Guido Castelnuovo a arătat însă că pentru câmpuri pentru care , este închis algebric și este finit și separabil, este pur transcendent .

Câmpuri finite

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: câmp finit .

Câmpurile finite au importanță în teoria numerelor , geometria algebrică și criptografie . Ele sunt complet caracterizate de cardinalitatea lor: pentru fiecare prim iar pentru fiecare număr întreg pozitiv există (cu excepția izomorfismelor) un singur câmp cu elemente și toate câmpurile finite sunt în această formă. Un câmp cu elemente se notează cu sau . Caracteristica câmpului cu elemente este .

Mărirea este algebric de grad , normal și separabil; în plus, este simplu (deoarece, de exemplu, grupul multiplicativ al este ciclic). Terenul cu elemente îl include pe cel cu dacă și numai dacă împarte . Închiderea algebrică a câmpurilor finite cu caracteristică este dat de unirea lor, care este un câmp infinit.

Notă

  1. ^ Hoffman, Kunze , Pagina 2 .
  2. ^ Hoffman, Kunze , Pagina 3 .

Bibliografie

  • Lucio Lombardo-Radice, Institutions of abstract algebra , ed. A III-a, Milano, Feltrinelli, 1965, ISBN 978-8807620034 .
  • Stefania Gabelli, Teoria ecuațiilor și teoria lui Galois , Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8 .
  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
  • William Stallings, Capitolul 4 - Câmpuri finite , în Criptografie și securitate rețea , ed. Italiană editat de Luca Salgarelli, ediția a II-a, Milano, McGraw-Hill, octombrie 2006, pp. 101-136., ISBN 88-386-6377-7 .

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica