Descărcarea unui condensator

Element principal: Condensator (electrotehnică) .

Circuit pentru descărcarea unui condensator

Tendința curentului în funcție de timp pentru un circuit de descărcare a condensatorului

În electrotehnică , descărcarea unui condensator într-un circuit electric este procesul prin care sarcinile acumulate pe plăcile unui condensator sunt dispersate în circuit în urma aplicării unui rezistor. Curentul electric și legile lui Kirchhoff se aplică exact numai atunci când condițiile sunt staționare, adică atunci când cantitățile implicate nu depind de timp. Cu toate acestea, aceste condiții sunt neapărat ideale: legile care ne interesează se aplică și acelor condiții numite cvasi-staționare, adică care variază atât de încet în timp încât legile continuă să se aplice. Două dintre aceste cazuri notabile sunt descărcarea și încărcarea unui condensator .

Legea descărcării condensatorului

Să luăm apoi în considerare un circuit ca cel din figura în care comutatorul este deschis inițial, condensatorul este încărcat (posibil încărcat de un generator) și, prin urmare, are o diferență de potențial în C, care este $V_{0}$ ${\ displaystyle V_ {0}}$ $V_ {0}$ . La momentul $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ , condițiile inițiale sunt: $V(t=0)=V_{0}$ ${\ displaystyle V (t = 0) = V_ {0}}$ ${\ displaystyle V (t = 0) = V_ {0}}$ Și $Q(t=0)=C\cdot V_{0}$ ${\ displaystyle Q (t = 0) = C \ cdot V_ {0}}$ ${\ displaystyle Q (t = 0) = C \ cdot V_ {0}}$ ; închidem comutatorul T. Să vedem cum variază cantitățile implicate în timp.

Mai întâi putem găsi valoarea instantanee a potențialului condensatorului:

V_{c}(t)={\frac {Q(t)}{C}}

{\ displaystyle V_ {c} (t) = {\ frac {Q (t)} {C}}}

{\ displaystyle V_ {c} (t) = {\ frac {Q (t)} {C}}}

Având în vedere că, pe rezistență, diferența de potențial este dată de:

V_{R}(t)=-R\cdot I(t)

{\ displaystyle V_ {R} (t) = - R \ cdot I (t)}

{\ displaystyle V_ {R} (t) = - R \ cdot I (t)}

Și știind că într-un circuit închis suma algebrică a tensiunilor este egală cu zero, prin urmare:

V_{c}(t)+V_{R}(t)=0

{\ displaystyle V_ {c} (t) + V_ {R} (t) = 0}

{\ displaystyle V_ {c} (t) + V_ {R} (t) = 0}

Avem asta:

{\frac {Q(t)}{C}}-R\cdot I(t)=0

{\ displaystyle {\ frac {Q (t)} {C}} - R \ cdot I (t) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {Q (t)} {C}} - R \ cdot I (t) = 0}

Prin definiție, curentul electric este cantitatea de încărcare care trece printr-o secțiune fixă în unitatea de timp:

I(t)=-{\frac {dQ(t)}{dt}}

{\ displaystyle I (t) = - {\ frac {dQ (t)} {dt}}}

{\ displaystyle I (t) = - {\ frac {dQ (t)} {dt}}}

Semnul minus din ecuația anterioară derivă din faptul că, conform notației adoptate, $Q(t)$ ${\ displaystyle Q (t)}$ ${\ displaystyle Q (t)}$ reprezintă sarcina acumulată în condensator, în timp ce $I(t)$ ${\ displaystyle I (t)}$ ${\ displaystyle I (t)}$ este curentul care curge în circuit. Din aceasta rezultă că atunci când condensatorul se descarcă avem ${\frac {dQ(t)}{dt}}<0$ ${\ displaystyle {\ frac {dQ (t)} {dt}} <0}$ ${\ displaystyle {\ frac {dQ (t)} {dt}} <0}$ în timp ce curentul care curge în circuit este $I(t)>0$ ${\ displaystyle I (t)> 0}$ ${\ displaystyle I (t)> 0}$ .

Înlocuind, vom avea:

{\frac {Q(t)}{C}}+R\cdot {\frac {dQ(t)}{dt}}=0

{\ displaystyle {\ frac {Q (t)} {C}} + R \ cdot {\ frac {dQ (t)} {dt}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {Q (t)} {C}} + R \ cdot {\ frac {dQ (t)} {dt}} = 0}

În acest moment putem separa variabilele, pentru a rezolva ecuația diferențială , obținând:

{\frac {dQ(t)}{Q(t)}}=-{\frac {dt}{RC}}

{\ displaystyle {\ frac {dQ (t)} {Q (t)}} = - {\ frac {dt} {RC}}}

{\ displaystyle {\ frac {dQ (t)} {Q (t)}} = - {\ frac {dt} {RC}}}

Prin urmare, trebuie să integrăm ultima ecuație:

\int _{Q_{0}}^{Q}{\frac {dQ(t)}{Q(t)}}=-{\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}dt

{\ displaystyle \ int _ {Q_ {0}} ^ {Q} {\ frac {dQ (t)} {Q (t)}} = - {\ frac {1} {RC}} \ int _ {0} ^ {t} dt}

{\ displaystyle \ int _ {Q_ {0}} ^ {Q} {\ frac {dQ (t)} {Q (t)}} = - {\ frac {1} {RC}} \ int _ {0} ^ {t} dt}

Soluția va fi:

Q(t)=Q_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}

{\ displaystyle Q (t) = Q_ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}}}

{\ displaystyle Q (t) = Q_ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}}}

Derivați ecuația potențialului în funcție de timp pentru descărcarea condensatorului:

V(t)={\frac {Q(t)}{C}}\rightarrow V(t)=V_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}=V_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}

{\ displaystyle V (t) = {\ frac {Q (t)} {C}} \ rightarrow V (t) = V_ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} = V_ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}}

{\ displaystyle V (t) = {\ frac {Q (t)} {C}} \ rightarrow V (t) = V_ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} = V_ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}}

unde este $\tau =RC$ ${\ displaystyle \ tau = RC}$ $\ tau = RC$ are o valoare constantă și se numește constantă de timp a circuitului.

Derivăm ecuația curentului în funcție de timp:

I(t)={\frac {dQ(t)}{dt}}=-V_{0}C\cdot {\frac {d}{dt}}\left(e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)=-{\frac {V_{0}\not C}{\not CR}}\cdot (-e^{-{\frac {t}{RC}}})={\frac {V_{0}}{R}}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}

{\ displaystyle I (t) = {\ frac {dQ (t)} {dt}} = - V_ {0} C \ cdot {\ frac {d} {dt}} \ left (e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ right) = - {\ frac {V_ {0} \ not C} {\ not CR}} \ cdot (-e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} ) = {\ frac {V_ {0}} {R}} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}}

{\ displaystyle I (t) = {\ frac {dQ (t)} {dt}} = - V_ {0} C \ cdot {\ frac {d} {dt}} \ left (e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ right) = - {\ frac {V_ {0} \ not C} {\ not CR}} \ cdot (-e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} ) = {\ frac {V_ {0}} {R}} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}}

După cum se poate vedea din graficul curent, acesta scade exponențial la zero și deja la o constantă de timp curentul de la valoarea maximă inițială $I_{0}={\frac {V_{0}}{R}}$ ${\ displaystyle I_ {0} = {\ frac {V_ {0}} {R}}}$ ${\ displaystyle I_ {0} = {\ frac {V_ {0}} {R}}}$ este redus cu 1 / e .

În regimul de tensiune / curent alternativ, pe de altă parte, condensatorul se încarcă și se descarcă, urmând variațiile de tensiune / curent la capetele sale, adică cu aceeași frecvență de oscilație ca excitația.

Bilanțul energetic

Schimbarea energiei potențiale a condensatorului este:

\Delta U={\frac {Q_{0}^{2}}{2C}}-{\frac {0^{2}}{2C}}

{\ displaystyle \ Delta U = {\ frac {Q_ {0} ^ {2}} {2C}} - {\ frac {0 ^ {2}} {2C}}}

{\ displaystyle \ Delta U = {\ frac {Q_ {0} ^ {2}} {2C}} - {\ frac {0 ^ {2}} {2C}}}

în timp ce căldura disipată de efectul Joule este:

\int _{0}^{\infty }R\cdot I(t)^{2}\ dt=R\int _{0}^{\infty }{\frac {V_{0}^{2}}{R^{2}}}e^{-{\frac {2t}{RC}}}dt={\frac {V_{0}^{2}}{R}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {2t}{RC}}}dt={\frac {V_{0}^{2}C}{2}}={\frac {Q_{0}^{2}}{2C}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} R \ cdot I (t) ^ {2} \ dt = R \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {V_ {0} ^ { 2}} {R ^ {2}}} e ^ {- {\ frac {2t} {RC}}} dt = {\ frac {V_ {0} ^ {2}} {R}} \ int _ {0 } ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {2t} {RC}}} dt = {\ frac {V_ {0} ^ {2} C} {2}} = {\ frac {Q_ {0} ^ {2}} {2C}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} R \ cdot I (t) ^ {2} \ dt = R \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {V_ {0} ^ { 2}} {R ^ {2}}} e ^ {- {\ frac {2t} {RC}}} dt = {\ frac {V_ {0} ^ {2}} {R}} \ int _ {0 } ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {2t} {RC}}} dt = {\ frac {V_ {0} ^ {2} C} {2}} = {\ frac {Q_ {0} ^ {2}} {2C}}}

adică energia potențială a condensatorului este transformată în căldură în procesul de descărcare:

\Delta U=\int _{0}^{\infty }R\cdot I(t)^{2}\ dt

{\ displaystyle \ Delta U = \ int _ {0} ^ {\ infty} R \ cdot I (t) ^ {2} \ dt}

{\ displaystyle \ Delta U = \ int _ {0} ^ {\ infty} R \ cdot I (t) ^ {2} \ dt}

Elemente conexe

Portal electrotehnic : accesați intrările Wikipedia referitoare la ingineria electrică