Descompunerea polinoamelor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , factorizarea expresiei unui polinom , numită și factorizarea unui polinom , înseamnă a exprima un polinom dat ca produsul a doi sau mai mulți factori polinomiali de grad inferior. Există unele polinoame care nu pot fi exprimate ca produsul unor polinoame de grad inferior și se numesc polinoame ireductibile . Descompunerea polinoamelor este utilă în operații cu fracții algebrice [1] .

Metode de descompunere

Adunarea comună a factorilor

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Colecția de factori obișnuiți .

Înseamnă evidențierea numerelor, literelor sau ambelor care împart toate sau unele dintre elementele polinomului. Dacă factorul evidențiat împarte toate elementele, va exista o amintire totală, dacă în schimb factorul este comun doar pentru unii, amintirea va fi parțială [2] .

Un exemplu de amintire totală este:

Dacă există numere, se calculează cel mai mare divizor comun . De exemplu:

Un exemplu de colectare parțială poate fi:

În acest caz, rezultatul obținut are și un factor comun ( binomul ), și apoi putem trece la o descompunere suplimentară a expresiei obținute:

Produse notabile

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: produse remarcabile .

Unele polinoame sunt rezultatul unor multiplicări particulare sau exponențierea binomilor sau a altor polinoame ( produse notabile ). Cunoscând aceste produse în avans, este posibil, prin aplicarea pașilor înapoi, să se urmărească cu ușurință factorii care le compun.

Câteva exemple de produse notabile pot fi [3] :

Observați cu atenție diferența de semne, deoarece cele două expresii nu sunt identice, dar diferă în semn, rezultând o formă descompusă neidentică.

Trinomii particulare de gradul II

Se spune că trinomiile de gradul II sunt particulare (sau caracteristice) atunci când sunt exprimate sub forma [4] :

in care:

  • coeficientul de Și ;
  • Și sunt două numere reale care exprimă respectiv suma și produsul celor două rădăcini Și a trinomului.

Odată găsite cele două numere (dacă există) Și astfel încât Și , trinomul poate fi descompus în forma:

De exemplu:

Prin urmare, este posibil să se descompună trinomul de gradul doi astfel:

În general, vom avea:

Trinomi remarcabili

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: trinomial remarcabil .

Trinomii de gradul II sunt de tipul:

Dacă discriminantul trinomului este pozitiv sau nul ( ), atunci trinomul poate fi descompus ca [5] :

unde este Și sunt soluțiile ecuației de gradul doi :

Regula lui Ruffini

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Regula lui Ruffini .

Dat fiind un polinom generic , de exemplu dacă puteți găsi un număr astfel încât , apoi polinomul este divizibil cu binomul de gradul I , apoi aplicând regula împărțirii în funcție de teorema restului obținem polinomul coeficient polinomul inițial de aceea poate fi descompus ca [6] :

în cazul în care se pot obține multe numere care anulează polinomul cât este gradul polinomului dat, vom avea:

În polinom de exemplu considerați numerele obținute ca fiind raportul dintre divizorii termenului cunoscut și divizorii coeficientului termenului de grad maxim (pentru teorema rădăcinilor raționale ), în cazul nostru numerele găsești asta , Și , atunci puteți scrie:

Chiar dacă este pentru a face polinomul nul, amintiți-vă că în expresia generală termenul apare în precedat de un semn minus și, prin urmare, implică schimbarea semnului acestuia din urmă.

Iată un alt exemplu: ia în considerare polinomul ; pentru acest polinom va fi . Deoarece nu este posibil să găsim alte numere pentru care polinomul este anulat, va trebui să procedăm cu împărțirea prin intermediul regulii lui Ruffini; asa va fi:

atunci polinomul poate fi descompus după cum urmează:

Rezumatul defalcărilor atribuite produselor notabile

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: produse remarcabile .

Iată un rezumat al tuturor defalcărilor atribuite produselor remarcabile [7] :

Caz special de polinom cu n multiplu de 4

Este cu astfel încât multiplu de 4 e rezultă apoi următoarele egalități:

Exemplu:

Notă

  1. ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 . p.416
  2. ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 . p.417
  3. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.16
  4. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.17
  5. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.876
  6. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . pp. 19-24
  7. ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 . p.418

Bibliografie

  • Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Bologna, Zanichelli, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 .
  • Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 .

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică