A doua teoremă a lui Euclid

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În geometrie , a doua teoremă a lui Euclid este o teoremă referitoare la triunghiul unghiular care este derivat, împreună cu primul , de propunerea 8 din Cartea a VI-a a Elementelor lui Euclid .

Afirmație

A doua teoremă a lui Euclid.svg

Teorema lui Euclid poate fi afirmată în două moduri diferite, dar echivalente, în funcție de proprietatea care trebuie subliniată.

Având în vedere echidensiunea dintre figuri, teorema afirmă că: [1]

într-un triunghi unghiular, pătratul construit pe înălțimea relativă la „ ipotenuză este echivalent cu dreptunghiul ale cărui laturi sunt proiecțiile celor două catete pe„ ipotenuză ".

Dacă vrem să luăm în considerare raportul dintre lungimea segmentelor, teorema afirmă că:

Într - un triunghi dreptunghic, înălțimea în raport cu ipotenuza este proporțională medie dintre proiecțiile celor două cathets pe ipotenuza .

Cele două afirmații sunt echivalente și se dovedesc reciproc.

Dovada primei afirmații [1]

Dovada celei de-a doua teoreme a lui Euclid prin echivalență

Uitându-se la figură, fie congruente și perpendiculare pe Și congruent la .

Vrem să dovedim că pătratul este echivalent cu dreptunghiul .

Luați în considerare triunghiul dreptunghiular și aplicați teorema lui Pitagora . Obținem acel pătrat este echivalent cu suma pătratelor Și .

Acum ia în considerare triunghiul dreptunghiular și aplică- i prima teoremă a lui Euclid . Obținem acel pătrat este echivalent cu dreptunghiul , dar acest dreptunghi poate fi considerat ca suma pătratului iar dreptunghiul .

Apoi suma de Și este echivalent cu suma Și , prin urmare, prin diferență, este echivalent cu .

Dovada celei de-a doua afirmații

În formule, referindu-se la triunghiul dreptunghiular din figură teorema afirmă că . Echivalent: · .

Luați în considerare triunghiurile Și . Din moment ce unghiul este complementară cu , se poate concluziona că unghiurile Și sunt congruente și, prin urmare, triunghiurile Și sunt similare pentru primul criteriu de similaritate . Proporția poate fi apoi scrisă .

Dovadă cu teorema lui Pitagora

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: teorema lui Pitagora .

Teorema lui Pitagora, aplicată triunghiului ne spune că:

În schimb, aplicat triunghiului

Și la triunghi

Prin combinarea celor două egalități avem:

Dar Așadar

·

Îndepărtarea pătratelor de pe ambele părți:

·

Sau

·

Care este echivalența

Echivalența dintre enunțuri

Este ușor de arătat că cele două afirmații sunt echivalente între ele odată ce conceptul de măsură a fost introdus. De fapt, cu referire la figura, prima declarație poate fi exprimată prin a spune că suprafața zonei de pătrat este echivalent cu suprafața dreptunghiului . În formule: · · . După ce a construit figura astfel încât este asta , poți scrie asta · · , ceea ce înseamnă că , care demonstrează în cele din urmă echivalența dintre cele două.

Notă

  1. ^ a b Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volumul 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.252

Bibliografie

  • Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volumul 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică