A doua teoremă a lui König

În mecanica rațională , a doua teoremă a lui König afirmă că energia cinetică totală a unui sistem de puncte materiale $\{(\mathbf {r} _{i},m_{i})\}_{i\in {I}}$ ${\ displaystyle \ {(\ mathbf {r} _ {i}, m_ {i}) \} _ {i \ în {I}}}$ ${\ displaystyle \ {(\ mathbf {r} _ {i}, m_ {i}) \} _ {i \ în {I}}}$ , unde este $(\mathbf {r} _{i},m_{i})\in {\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} }$ ${\ displaystyle (\ mathbf {r} _ {i}, m_ {i}) \ in {\ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {r} _ {i}, m_ {i}) \ in {\ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathbb {R}}}$ este o pereche poziție-masă e $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ un subset de indici naturali, cu privire la un sistem de referință dat $(O,{\hat {u_{1}}},{\hat {u_{2}}},{\hat {u_{3}}})$ ${\ displaystyle (O, {\ hat {u_ {1}}}, {\ hat {u_ {2}}}, {\ hat {u_ {3}}})}$ ${\ displaystyle (O, {\ hat {u_ {1}}}, {\ hat {u_ {2}}}, {\ hat {u_ {3}}})}$ este suma:

T=T'+T_{\text{CM}},

{\ displaystyle T = T '+ T _ {\ text {CM}},}

T = T '+ T _ {{{\ text {CM}}}},

Unde $T_{\text{CM}}$ ${\ displaystyle T _ {\ text {CM}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ text {CM}}}$ este energia cinetică de translație a "centrului de masă" (cea care ar avea un corp de masă egal cu cel al sistemului total, cu viteza centrului de masă) și ${T.}^{'}$ ${\ displaystyle T '}$ $T '$ energia cinetică față de o referință cu origine în centrul de greutate și axele invariabile față de referință $(O,{\hat {u_{1}}},{\hat {u_{2}}},{\hat {u_{3}}})$ ${\ displaystyle (O, {\ hat {u_ {1}}}, {\ hat {u_ {2}}}, {\ hat {u_ {3}}})}$ ${\ displaystyle (O, {\ hat {u_ {1}}}, {\ hat {u_ {2}}}, {\ hat {u_ {3}}})}$ .

Această teoremă are multe aplicații în fizică , deoarece face posibilă utilizarea unor metode dezvoltate pentru punctul material chiar și cu corpuri extinse.

Demonstrație

Pentru simplitate, considerăm sistemul ca fiind format dintr-un număr $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ finit de puncte materiale, fiecare dintre acestea având masă, poziție și viteză date respectiv de $m_{i}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ $pe mine$ , $\mathbf {r} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ $\ mathbf {r} _i$ Și $\mathbf {v} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ ${\ mathbf {v}} _ {i}$ , în orice sistem de referință.

Rezultă energia cinetică totală a sistemului

T=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}

{\ displaystyle T = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} v_ {i} ^ {2}}

T = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} v_ {i} ^ {2}

Prin înlocuire $\mathbf {v} _{i}={\mathbf {v} _{i}}'+\mathbf {v} _{\text{CM}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = {\ mathbf {v} _ {i}} '+ \ mathbf {v} _ {\ text {CM}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = {\ mathbf {v} _ {i}} '+ \ mathbf {v} _ {\ text {CM}}}$ , unde este ${\mathbf {v} _{i}}'$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v} _ {i}} '}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {v} _ {i}} '}$ este viteza punctului material al i-lea în sistemul de referință al centrului de masă e $\mathbf {v} _{\text{CM}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ text {CM}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ text {CM}}}$ este viteza centrului de masă din sistemul inerțial, se dovedește

T=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}({\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CM}})^{2}

{\ displaystyle T = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} ({\ bar {v}} '_ {i} + {\ bar {v}} _ {\ text {CM}}) ^ {2}}

T = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} ({\ bar v} '_ {i} + {\ bar v} _ {{\ text {CM}}}) ^ {2}

care este și

T=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}({\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CM}})\cdot ({\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CM}})=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v'_{i}}^{2}+{\bar {v}}_{\text{CM}}\cdot \sum _{i}m_{i}{\bar {v}}'_{i}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{\text{CM}}^{2}

{\ displaystyle T = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} ({\ bar {v}} '_ {i} + {\ bar {v}} _ {\ text {CM}}) \ cdot ({\ bar {v}} '_ {i} + {\ bar {v}} _ {\ text {CM}}) = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} {v '_ {i}} ^ {2} + {\ bar {v}} _ {\ text {CM}} \ cdot \ sum _ {i} m_ {i} {\ bar {v}} '_ {i} + \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} v _ {\ text {CM}} ^ {2}}

T = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} ({\ bar v} '_ {i} + {\ bar v} _ {{\ text {CM}}}) \ cdot ({\ bar v} '_ {i} + {\ bar v} _ {{\ text {CM}}}) = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i } {v '_ {i}} ^ {2} + {\ bar v} _ {{\ text {CM}}} \ cdot \ sum _ {i} m_ {i} {\ bar v}' _ {i } + \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} v _ {{\ text {CM}}} ^ {2}

.

Prin plasare

T'=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v'_{i}}^{2}

{\ displaystyle T '= \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} {v' _ {i}} ^ {2}}

T '= \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} {v' _ {i}} ^ {2}

Și

T_{\text{CM}}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{\text{CM}}^{2}={\frac {1}{2}}Mv_{\text{CM}}^{2},

{\ displaystyle T _ {\ text {CM}} = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} v _ {\ text {CM}} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} Mv _ {\ text {CM}} ^ {2},}

T _ {{\ text {CM}}} = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} m_ {i} v _ {{\ text {CM}}} ^ {2} = {\ frac 12} Mv _ {{\ text {CM}}} ^ {2},

unde este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este masa totală a tuturor punctelor materiale.

De asemenea, observăm că $\sum _{i}m_{i}{\bar {v}}'_{i}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} m_ {i} {\ bar {v}} '_ {i}}$ $\ sum _ {i} m_ {i} {\ bar v} '_ {i}$ , prin definiția centrului de greutate, este egal cu $M{\bar {v}}'_{\text{CM}}$ ${\ displaystyle M {\ bar {v}} '_ {\ text {CM}}}$ $M {\ bar v} '_ {{\ text {CM}}}$ unde este ${\bar {v}}'_{\text{CM}}$ ${\ displaystyle {\ bar {v}} '_ {\ text {CM}}}$ ${\ bar v} '_ {{\ text {CM}}}$ este viteza centrului de greutate față de centrul de greutate de referință, adică zero; asa de:

{\bar {v}}_{CM}\cdot \sum _{i}m_{i}{\bar {v}}'_{i}=0,

{\ displaystyle {\ bar {v}} _ {CM} \ cdot \ sum _ {i} m_ {i} {\ bar {v}} '_ {i} = 0,}

{\ displaystyle {\ bar {v}} _ {CM} \ cdot \ sum _ {i} m_ {i} {\ bar {v}} '_ {i} = 0,}

se pare deci

T=T'+T_{\text{CM}}

{\ displaystyle T = T '+ T _ {\ text {CM}}}

T = T '+ T _ {{\ text {CM}}}

așa cum era menit să demonstreze.

Corp rigid

Pentru un corp rigid , termenul care se adaugă la energia centrului de masă reprezintă energia de rotație în jurul axei de rotație instantanee care trece prin centrul de masă. De fapt, din teorema fundamentală a cinematicii corpului rigid :

T={\frac {1}{2}}Mv_{\text{CM}}^{2}+\sum _{n}{\frac {1}{2}}m_{n}{({\boldsymbol {\omega }}\times {\bar {r}}_{n})}^{2}={\frac {1}{2}}Mv_{\text{CM}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {I} _{\text{CM}}{\boldsymbol {\omega }})

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} Mv _ {\ text {CM}} ^ {2} + \ sum _ {n} {\ frac {1} {2}} m_ {n} { ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ bar {r}} _ {n})} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} Mv _ {\ text {CM}} ^ { 2} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot (\ mathbf {I} _ {\ text {CM}} {\ boldsymbol {\ omega}})}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} Mv _ {\ text {CM}} ^ {2} + \ sum _ {n} {\ frac {1} {2}} m_ {n} { ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ bar {r}} _ {n})} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} Mv _ {\ text {CM}} ^ { 2} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot (\ mathbf {I} _ {\ text {CM}} {\ boldsymbol {\ omega}})}

Per ansamblu, energia cinetică ia deci forma:

T={\frac {1}{2}}Mv_{\text{CM}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {I} _{\text{CM}}{\boldsymbol {\omega }})

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} Mv _ {\ text {CM}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot ( \ mathbf {I} _ {\ text {CM}} {\ boldsymbol {\ omega}})}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} Mv _ {\ text {CM}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot ( \ mathbf {I} _ {\ text {CM}} {\ boldsymbol {\ omega}})}

unde este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este masa totală, $v_{\text{CM}}$ ${\ displaystyle v _ {\ text {CM}}}$ ${\ displaystyle v _ {\ text {CM}}}$ este modulul vitezei centrului de masă, $\mathbf {I} _{\text{CM}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ text {CM}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ text {CM}}}$ tensorul de inerție al corpului față de centrul de masă și viteza unghiulară ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ .

Elemente conexe

linkuri externe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică