De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
*
{\ displaystyle R} reprezintă
raza ; *
{\ displaystyle c} indică secanta sau coarda (linie întreruptă); *
{\ displaystyle s} reprezintă lungimea
arcului ; *
{\ displaystyle \ theta} (theta) reprezintă unghiul; *
{\ displaystyle d} pentru înălțimea porțiunii triunghiulare; *
{\ displaystyle h} este
fulgerul , adică înălțimea segmentului circular verde.
În geometrie , un segment circular este o porțiune a unui cerc mărginit de o secantă (sau coardă ).
Acordul sau secanta definește două segmente circulare (dintre care unul este marcat în verde în ilustrație, în timp ce celălalt este în alb. Litere conform unei adnotări anglo-saxone sunt utilizate pentru a indica părțile segmentului circular).
Formula principală
- Aria segmentului circular va corespunde diferenței dintre cea a sectorului circular definit de {\ displaystyle \ theta} și aria porțiunii triunghiulare.
- Raza este, în mod evident, egală cu suma celor două înălțimi: {\ displaystyle R = h + d} .
- Pentru arc {\ displaystyle s = R \ theta} , Unde {\ displaystyle \ theta} se exprimă în radiani .
- Pentru zonă veți avea: {\ displaystyle A_ {sg} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} \ left (\ theta - \ sin \ theta \ right)} . Alternativ, puteți utiliza această formulă care nu utilizează funcții trigonometrice sau unghiul {\ displaystyle \ theta} dar numai în lungimi: {\ displaystyle A_ {sg} = {{R \ left (sc \ right) + ch} \ over 2}} .
Demonstrație
Aria se obține ca diferență între aria sectorului circular și triunghiul inscripționat , adică:
- {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} R ^ {2} \ theta - {\ frac {1} {2}} (R ^ {2} \ sin \ theta) = {\ frac {1} { 2}} R ^ {2} \ left (\ theta - \ sin \ theta \ right)} .
- Pentru coardă (din teorema acordului ): {\ displaystyle c = 2R \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)} .
- Înălțimea porțiunii triunghiulare: {\ displaystyle d = R \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)} .
- Înălțimea segmentului: {\ displaystyle h = Rd = R \ left (1- \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ right)} .
Formula aproximativă
Întrucât pentru {\ displaystyle \ alpha \ în [0, \ pi / 4]} este posibilă aproximarea funcției{\ displaystyle \ sin (\ alpha)} folosind dezvoltarea seriei lui Taylor arestată la al doilea mandat, adică:
- {\ displaystyle \ sin (\ alpha) \ simeq \ alpha - {\ frac {\ alpha ^ {3}} {6}}} .
Pentru {\ displaystyle \ theta \ in [0, \ pi / 2]} lungimea funiei {\ displaystyle c} este aproximat cu următoarea formulă:
- {\ displaystyle c = 2R \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ simeq 2R \ left ({\ frac {\ theta} {2}} - {\ frac {\ theta ^ {3}} {48}} \ right) = R \ theta \ left (1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {24}} \ right) = s \ left (1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {24}} \ right)}
asa de
- {\ displaystyle c \ simeq s \ left (1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {24}} \ right).}
În mod similar, observați {\ displaystyle c} Și {\ displaystyle s} este posibil să derivăm {\ displaystyle \ theta} Și {\ displaystyle R} (pentru {\ displaystyle \ theta \ in (0, \ pi / 2]} ):
- {\ displaystyle \ theta \ simeq {\ sqrt {24 \ left (1 - {\ frac {c} {s}} \ right)}}}
- {\ displaystyle R = {\ frac {s} {\ theta}} \ simeq {\ frac {s} {\ sqrt {24 \ left (1 - {\ dfrac {c} {s}} \ right)}}} .}
Zona în funcție de înălțime
Segment circular în funcție de înălțimea h
Calculul ariei segmentului în funcție de înălțime {\ displaystyle h}
- Zona sectorială este dată de:
- {\ displaystyle A_ {st} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} \ theta;}
- {\ displaystyle \ theta = 2 \ arccos \ left ({\ frac {Rh} {R}} \ right);}
- {\ displaystyle A_ {st} = R ^ {2} \ arccos \ left (1 - {\ frac {h} {R}} \ right);}
- Aria triunghiului isoscel este dată de produsul segmentului {\ displaystyle Rh} pentru semicordul sectorului circular
- {\ displaystyle A_ {t} = \ left (Rh \ right) {\ sqrt {R ^ {2} - \ left (Rh \ right) ^ {2}}}.}
- Zona segmentului {\ displaystyle A_ {sg}} este dat de diferența dintre aria sectorului și aria triunghiului isoscel
- {\ displaystyle A_ {sg} = A_ {st} -A_ {t} = R ^ {2} \ arccos \ left (1 - {\ frac {h} {R}} \ right) - \ left (Rh \ right ) {\ sqrt {R ^ {2} - \ left (Rh \ right) ^ {2}}}}
Zona {\ displaystyle A_ {sg}} este o funcție transcendentă a {\ displaystyle c} Și {\ displaystyle h} , prin urmare nu poate fi exprimat în termeni algebrici. Dar se poate spune că pe măsură ce unghiul din centru devine mai mic (sau, alternativ, raza devine mai mare), aria {\ displaystyle A_ {sg}} se apropie rapid și asimptotic de {\ displaystyle {\ frac {2} {3}} ch} . De sine {\ displaystyle \ theta \ ll 1} , asa de {\ displaystyle A_ {sg} = {\ frac {2} {3}} ch} este practic o bună aproximare.
Când unghiul din centru se apropie {\ displaystyle \ pi} , zona segmentului converge către zona unui semicerc {\ displaystyle {\ frac {\ pi R ^ {2}} {2}}} , deci o bună aproximare este:
- {\ displaystyle A_ {sg} \ approx {\ tfrac {\ pi R ^ {2}} {2}} - ({\ tfrac {2R + c} {2}}) (Rh) \ quad} pentru {\ displaystyle h> 0,75R.}
- Calculul coardei {\ displaystyle c} în funcție de înălțime:
- {\ displaystyle c = 2 {\ sqrt {R ^ {2} - \ left (Rh \ right) ^ {2}}}.}
- Calculul arcului {\ displaystyle s} în funcție de înălțime:
- {\ displaystyle s = R \ theta;}
- {\ displaystyle s = 2R \ arccos \ left (1 - {\ frac {h} {R}} \ right).}
Calculul centrului de greutate
Elemente conexe