Semnătură (algebră liniară)

În matematică și mai precis în algebră liniară , semnătura este o triada de numere care corespund numărului de valori proprii ale unei matrice simetrice (sau ale unui produs scalar asociat).

Semnătura este utilă pentru determinarea proprietăților esențiale ale unui produs dot. De exemplu, un produs scalar pozitiv definit , precum cel prezent într-un spațiu euclidian , are o semnătură $(n,0,0)$ ${\ displaystyle (n, 0,0)}$ $(n, 0,0)$ , în timp ce spațiul-timp al lui Minkowski (fundamental în teoria relativității ) are o semnătură $(3,1,0)$ ${\ displaystyle (3,1,0)}$ $(3,1,0)$ sau $(1,3,0)$ ${\ displaystyle (1,3,0)}$ $(1,3,0)$ , în funcție de convenții.

Definiție

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice simetrică reală (adică ale cărei valori sunt numere reale ). Semnatura $(i_{+},i_{-},i_{0})$ ${\ displaystyle (i _ {+}, i _ {-}, i_ {0})}$ $(i _ {+}, i _ {-}, i_ {0})$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un triplet al numerelor naturale definit astfel: valorile $i_{+},i_{-}$ ${\ displaystyle i _ {+}, i _ {-}}$ $i _ {+}, i _ {-}$ Și $i_{0}$ ${\ displaystyle i_ {0}}$ $i_ {0}$ sunt numărul de valori proprii pozitive, negative și nule, respectiv $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , fiecare este numărată cu multiplicitatea sa algebrică .

De sine $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este un produs dot pe un spațiu vector $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de mărime finită, semnătura lui $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este definit ca semnătura matricei pe care o reprezintă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ comparativ cu orice bază . ^[1]

Notatii alternative

În cazurile în care $i_{0}=0$ ${\ displaystyle i_ {0} = 0}$ $i_ {0} = 0$ , denotații diferite sunt adesea folosite pentru semnătură. În primul rând, termenul $i_{0}$ ${\ displaystyle i_ {0}}$ $i_ {0}$ este omis și vorbim de semnătură ca pereche $(i_{+},i_{-})$ ${\ displaystyle (i _ {+}, i _ {-})}$ $(i _ {+}, i _ {-})$ de numere. Alternativ, semnătura este descrisă prin scrierea semnelor " $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ " Și " $-$ ${\ displaystyle -}$ $-$ "respectiv $i_{+}$ ${\ displaystyle i _ {+}}$ $eu _ {+}$ Și $i_{-}$ ${\ displaystyle i _ {-}}$ $_ {-}$ ori. Deci scrii $(+,+,-)$ ${\ displaystyle (+, +, -)}$ $(+, +, -)$ pentru $(2,1)$ ${\ displaystyle (2,1)}$ $(2.1)$ , acesta este $(2,1,0)$ ${\ displaystyle (2,1,0)}$ $(2,1,0)$ , Și $(+,-,-,-)$ ${\ displaystyle (+, -, -, -)}$ $(+, -, -, -)$ pentru $(1,3)$ ${\ displaystyle (1,3)}$ $(1.3)$ , acesta este $(1,3,0)$ ${\ displaystyle (1,3,0)}$ $(1,3,0)$ . Acestea sunt notațiile utilizate de exemplu în relativitatea specială și generală . Sau puteți utiliza, de asemenea, un singur număr $s:=i_{+}-i_{-}$ ${\ displaystyle s: = i _ {+} - i _ {-}}$ ${\ displaystyle s: = i _ {+} - i _ {-}}$ .

Proprietate

Teorema spectrală

Prin teorema spectrală , o matrice simetrică reală $A_{n\times n}$ ${\ displaystyle A_ {n \ times n}}$ $A _ {{n \ times n}}$ este diagonalizabil . În special, are exact $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ valori proprii reale (numărate cu multiplicitate). Prin urmare $i_{+}+i_{-}+i_{0}=n$ ${\ displaystyle i _ {+} + i _ {-} + i_ {0} = n}$ $i _ {+} + i _ {-} + i_ {0} = n$ .

Teorema lui Sylvester

Prin teorema lui Sylvester , două produse scalare sunt izometrice dacă și numai dacă au aceeași semnătură. Prin urmare, semnătura este un invariant complet pentru produsele scalare, văzute până la izometrie. În mod similar, două matrice simetrice sunt congruente dacă și numai dacă au aceeași semnătură.

Interpretarea geometrică a indicilor

Valori $i_{+},i_{-}$ ${\ displaystyle i _ {+}, i _ {-}}$ $i _ {+}, i _ {-}$ Și $i_{0}$ ${\ displaystyle i_ {0}}$ $i_ {0}$ se numesc indicele de pozitivitate , negativitate și nulitate . Indicele de nulitate este dimensiunea radicalului $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , sau a nucleului de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Prin urmare, un produs scalar nedegenerat are o semnătură $(i_{+},i_{-},0)$ ${\ displaystyle (i _ {+}, i _ {-}, 0)}$ $(i _ {+}, i _ {-}, 0)$ .

Indicii $i_{+}$ ${\ displaystyle i _ {+}}$ $eu _ {+}$ Și $i_{-}$ ${\ displaystyle i _ {-}}$ $_ {-}$ sunt dimensiunea maximă a unui subspatiu peste care produsul scalar este definit respectiv pozitiv sau negativ.

Exemple

Matrici

Semnătura matricei de identitate $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ Și $(n,0,0)$ ${\ displaystyle (n, 0,0)}$ $(n, 0,0)$ . Mai general, semnătura unei matrice diagonale este triada formată din numărul de elemente pozitive, negative și nule de pe diagonala principală .

Următoarele matrice au ambele semnătură $(1,1,0)$ ${\ displaystyle (1,1,0)}$ $(1,1,0)$ și, prin urmare, sunt congruente teoremei lui Sylvester :

{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}

Produse scalare

Produsul standard dot în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ are semnătură $(n,0,0)$ ${\ displaystyle (n, 0,0)}$ $(n, 0,0)$ . Un produs dot are această semnătură dacă și numai dacă este definit ca pozitiv .

Un produs punct negativ definit are semnătură $(0,n,0)$ ${\ displaystyle (0, n, 0)}$ $(0, n, 0)$ . Un produs scalar semidefinit pozitiv are o semnătură $(n,0,m)$ ${\ displaystyle (n, 0, m)}$ $(n, 0, m)$ , și un semidefinit negativ $(0,n,m)$ ${\ displaystyle (0, n, m)}$ $(0, n, m)$ .

Spațiul-timp al lui Minkowski este $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ cu produsul scalar definit de matrice:

{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix }}}

{\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}

și, prin urmare, are o semnătură $(1,3,0)$ ${\ displaystyle (1,3,0)}$ $(1,3,0)$ . Unii autori folosesc matricea cu semne opuse, obținând semnătura $(3,1,0)$ ${\ displaystyle (3,1,0)}$ $(3,1,0)$ .

Calculul semnăturii

Există câteva tehnici pentru a calcula semnătura unei matrice (simetrice).

Deoarece polinomul caracteristic are toate rădăcinile reale, semnul lor poate fi determinat cu regula semnelor lui Descartes .
Algoritmul lui Lagrange oferă o metodă pentru a calcula o bază ortogonală și, prin urmare, pentru a calcula o matrice diagonală congruentă (și, prin urmare, cu aceeași semnătură) cu cea dată: semnătura unei matrice diagonale este astfel obținută prin numărarea semnelor valori pe diagonală.
După criteriul lui Sylvester , o matrice simetrică este pozitivă definită dacă și numai dacă factorii determinanți ai minorilor săi principali sunt toți pozitivi.

Notă

^ Datorită teoremei lui Sylvester , această definiție nu depinde de baza aleasă.

Bibliografie

Tevian Dray, George Ellis, Charles Hellaby și Corinne A. Manogue, Gravity and signature change , în General Relativity and Gravity , vol. 29, 1997, pp. 591–597, Bibcode : 1997GReGr..29..591D , DOI : 10.1023 / A: 1018895302693 , arXiv : gr-qc / 9610063 .

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) Eric W. Weisstein, Semnătura Matrix în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Datorită teoremei lui Sylvester , această definiție nu depinde de baza aleasă.

[1]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema