Minge

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea altor semnificații, consultați Sferă (dezambiguizare) .
Sferă generată de computer

Sfera (din greaca veche : σφαῖρα , sphaîra ) este solidul geometric format din toate punctele care se află la o distanță mai mică sau egală cu o distanță fixă , numită raza sferei , dintr-un punct numit centrul sferei .

Ansamblul de puncte a căror distanță este egală cu se numește suprafața sferică a centrului și raza .

Fiecare dintre jumătățile unui solid sferic împărțit în două de un plan care trece prin centru sau fiecare dintre cele două suprafețe ale unei sfere împărțite la circumferința sa maximă se numește „emisferă”.

Reprezentarea analitică

În geometria carteziană , o suprafață sferică cu un centru și raza este reprezentat de setul de puncte astfel încât

Sphere 3d.png

Punctele suprafeței sferice pot fi parametrizate în coordonate sferice după cum urmează

unde este Și reprezintă latitudinea și longitudinea punctului, variind în intervale

Fiecare punct de pe suprafața sferică este descris de o singură pereche de acest tip, cu excepția poli: perechea descrie întotdeauna polul nord, e întotdeauna polul sud (pentru orice valoare de ).

Alternativ, se poate utiliza ecuația cartesiană a suprafeței sferice:

cu , , , , numere reale astfel încât . Din ecuația carteziană este posibil să se obțină coordonatele centrului:

Suprafaţă

L ' suprafață a suprafeței unei sfere de rază este dat de ecuația:

Dovadă analitică în coordonate carteziene

Sfera poate fi gândită ca un solid de rotație obținut prin rotirea în jurul axei graficul funcției

care reprezintă un semicerc de rază . Prin urmare, prin prima teoremă a lui Guldino , suprafața laterală este dată de:

Dovadă analitică în coordonate polare

Suprafața totală a sferei poate fi obținută, prin prima teoremă a lui Guldino , prin intermediul următoarei integrale:

Volum

Volumul sferei de rază este dat de ecuația ( integrală în suprafeței):

Dovada acestei formule poate fi obținută imediat folosind metoda indivizibilului sau cu instrumentele de analiză matematică .

Dovadă analitică

Gândiți-vă să adăugați toate zonele cercurilor care se obțin prin secționarea sferei cu planuri orizontale. Raza acestor cercuri va varia în funcție de o funcție a distanței planului orizontal de la centrul sferei și întrucât aria unui cerc este egală cu pentru raza pătrată:

unde este tocmai este distanța planului de centrul sferei.

Raza la distanță

Prin urmare, din teorema lui Pitagora , este valabil:

care, substituit în ecuația volumului, este:

Volumul poate fi calculat în același mod a unui segment al unei sfere în înălțime

Dovadă prin intermediul infinitesimalelor

Sfera poate fi, de asemenea, înțeleasă ca ansamblul a numeroase piramide infinitesimale , toate cu vârful în centrul sferei și cu poligoanele de bază ale piramidelor care stau pe suprafața sferei: aceste piramide elementare infinite vor umple toate și numai volumul sferei. Volumul fiecărei piramide este:

în timp ce volumul total este egal cu

din care putem deduce semnificația formulei pentru volumul sferei.

Alte proprietăți

Sfera este figura tridimensională cu raportul minim suprafață / volum: acest lucru explică de ce multe obiecte fizice tind spre această formă, de la picături de lichid la corpuri cerești. De exemplu, bulele sunt sferice deoarece tensiunea superficială tinde să minimizeze zona pentru același volum.

Cilindrul circumscris are un volum care este cea a sferei și o suprafață laterală care este aceeași cu cea a sferei. Acest fapt și formulele scrise mai sus erau deja cunoscute de Arhimede .

Pe măsură ce raza crește, volumul sferei crește mai mult decât suprafața. De fapt, relația dintre aceste două cantități este .

O sferă poate fi definită și ca având un semicerc care se rotește în jurul diametrului său. Dacă utilizați o elipsă , obțineți un elipsoid de rotație.

Terminologie

Două puncte ale suprafeței sferice care se află pe aceeași linie care trece prin origine sunt numite antipodale și o astfel de linie se numește axă , deoarece este o axă de simetrie a sferei.

Un cerc mare este o circumferință având același centru ca sfera, astfel obținută prin intersecția suprafeței sferice cu un plan care trece prin origine.

Dacă un punct de pe suprafața sferică este identificat ca polul nord , antipodul său este polul sud, iar ecuatorul este cercul mare echidistant de la cei doi poli. Cercurile mari care trec prin poli sunt meridianele , în timp ce linia dreaptă care trece prin origine și cei doi poli este axa . Această terminologie este utilizată și pentru corpurile cerești precum pământul , deși nu sunt perfect sferice.

Generalizări la alte dimensiuni

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Hypersphere .

Sfera poate fi generalizată la alte dimensiuni . Pentru orice număr natural , o sferă -dimensional este ansamblul de puncte din spațiul euclidian -dimensional care au o distanță fixă dintr-un anumit punct al spațiului.

De exemplu:

  • o sferă cu 0 dimensiuni este alcătuită dintr-o pereche de puncte în ;
  • o sferă unidimensională este un cerc de rază în plan ;
  • o sferă bidimensională este suprafața sferică obișnuită;
  • o sferă tridimensională este o sferă în spațiul euclidian cu 4 dimensiuni (înțeleasă ca o suprafață hipersferică tridimensională).

Sferele cu dimensiuni> 2 se mai numesc hipersferi . Sfera -dimensionalul razei unitare, centrat în origine, este indicat cu .

Generalizări în spații metrice

Mai general, într-un spațiu metric , sfera centrală și raza este setul

O sferă în spațiul metric poate fi un obiect foarte diferit de sfera obișnuită. De exemplu, poate fi gol: dacă luăm în considerare cu metrica euclidiană, o sferă de rază este gol dacă și numai dacă nu poate fi scris ca o sumă de pătrate.

Formule

Formulele sferei
Circumferinţă
Suprafaţă
Volum
Zona unui cerc mare
Volumul unui segment de sferă
Zona unui capac sferic
Moment de inerție

Unde cu ne referim la raza sferei, cu înălțimea segmentului de sferă sau a capacului sferic, cu amplitudinea în steradieni a capacului.

Inginerie

Sfera campioană a proiectului Avogadro
Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Kilogram § Propuneri pentru definirea viitoare .

Oricât de aproape ar fi venit, omul nu a reușit încă să producă niciun obiect cu sfericitate matematică perfectă. Cel mai bun rezultat de până acum a fost obținut de Centrul australian pentru optică de precizie , din Lindfield ( Australia ). Sfera a fost obținută printr-o netezire de înaltă precizie a unei bare de siliciu 28 (un izotop de siliciu ) și este rezultatul Proiectului Avogadro , care își propune să ajungă la definirea kilogramului perfect, pe baza cunoașterii numărului exact de atomi care alcătuiesc această sferă [1] . Diametrul său este de 9,36 centimetri și ca singure imperfecțiuni are o rugozitate de 0,3 nanometri și mici abateri de sfericitate de aproximativ 60-70 nanometri. Anterior, cel mai bun rezultat a fost obținut de NASA , care pentru sonda Gravity Probe B , construită pentru a studia gravitația pe orbită , a creat giroscopuri cu abateri mai mici de 100 nanometri.

Filozofie

Parmenide compară Ființa cu o sferă perfectă, întotdeauna egală cu ea însăși în spațiu și timp, închisă și finită (pentru grecii antici finitul era sinonim cu perfecțiunea). Sfera este de fapt singurul solid geometric care nu are diferențe interne și este același oriunde îl privești; ipoteza coincide evocativ cu teoria relativității a lui Albert Einstein care în 1900 va spune: [2] „Dacă am lua binoclul și l-am îndrepta în spațiu, am vedea o linie curbată închisă la infinit” în toate direcțiile spațiului, adică un întreg, o sferă (pentru omul de știință, de fapt, universul este finit, deși nelimitat, format dintr-un spațiu rotund pliat pe sine). [3]

Notă

  1. ^ În căutarea lirei perfecte
  2. ^ Albert Einstein s-a exprimat printre altele într-un mod surprinzător de asemănător cu Parmenides, prin faptul că și el a avut tendința de a nega discontinuitatea devenirii și dezvoltarea acesteia în timp . Potrivit lui Popper, „mari oameni de știință precum Boltzmann, Minkowski, Weyl, Schrödinger, Gödel și, mai presus de toate, Einstein au conceput lucrurile într-un mod similar cu Parmenides și s-au exprimat în termeni singular asemănători” (preluat din Karl Popper, The World of Parmenides , Routledge, 1998, ISBN 9780415237307. , It., 1998).
  3. ^ «Materia, conform lui Einstein, s-ar curba asupra sa, așa că universul ar fi nelimitat, dar finit, similar cu o sferă, care este nelimitat acceptabilă chiar dacă este finită. Mai mult, Einstein crede că nu are sens să ne întrebăm ce există în afara universului ”(Ernesto Riva, Handbook of Philosophy , p. 132, 2007, ISBN 978-1-4092-0059-8 ).

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 38152 · LCCN (EN) sh85126590 · GND (DE) 4165914-4 · BNF (FR) cb119812876 (data)
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică