Sân (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Având în vedere un triunghi unghiular , sinusul unui unghi acut este definit ca raportul dintre lungimile catetului colț opus și ipotenuza dell '

În matematică , în special în trigonometrie , dat un triunghi dreptunghiular, sinusul unuia dintre cele două unghiuri interne adiacente hipotenuzei este definit ca raportul dintre lungimile catetului opus unghiului și ale hipotenuzei .

Mai general, sinusul unui unghi , exprimată în grade sau radiani , este o cantitate care depinde doar de , construită folosind circumferința unității .

Definirea modului sânul din colț obținem funcția sinus , o funcție trigonometrică de importanță fundamentală în analiza matematică . În contextul italian, această funcție este adesea indicată cu .

Definiție

Sinxoverx.png

În triunghiul roșu din figură, sinusul lui este dat de

Mai general, sinusul unui unghi este definit pornind de la circumferința goniometrică , adică de la circumferința cu o unitate de rază în plan cartezian . A luat raza care iese din originea care formează un unghi cu axa abscisei ca în figură, sinusul unghiului este, prin urmare, definit ca valoarea coordonatei a punctului de intersecție între rază și circumferință (în figură, este lungimea segmentului ).

Domeniul funcției sinusoidale este setul de numere reale, în timp ce imaginea este intervalul real , adică, aplicând această funcție tuturor numerelor reale obținem toate numerele reale incluse între Și , extreme incluse.

Următorul tabel listează principalele valori notabile asumate de funcția sinusoidală: [1] [2]

în radiani 0
în grade 0 ° 15 ° 18 ° 30 ° 45 ° 60 ° 75 ° 90 ° 180 ° 270 ° 360 °

În textele matematice sinusul este indicat de obicei cu notația sau , Unde este o abreviere a sinusului latin folosit și în țările vorbitoare de limbă engleză.

Există o altă definiție a sinusului care se referă la rotații: sinusul unui unghi este componenta de-a lungul axei ordonate a unității vectoriale , vectorul axei absciselor, rotit de .

Funcția sinusoidală

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Sinusoid .

Funcția sinusoidală este definită prin asocierea cu sinusul unghiului în radiani și este indicat cu . Atâta timp cât Și definiți același unghi, funcția sinusoidală este o funcție periodică a perioadei , unde este este unghiul rotund .

Reprezentarea grafică a funcției sinusoidale
Desenez y = sin x folosind cercul trigonometric unitar.

Sinus și cosinus

Relația fundamentală există între sinus și cosinus :

ceea ce este o consecință a teoremei lui Pitagora . Într-adevăr, în triunghi în a doua figură cosinusul lui este definit ca

Pe de altă parte, teorema lui Pitagora s-a aplicat triunghiului furnizează raportul

prin urmare

Relația deține și:

Ca și în cazul cosinusului , cosecanta unui unghi este împărțit sinusul unghiului.

Proprietăți analitice ale funcției sinusoidale

Funcția sinusoidală (albastru) și aproximarea acesteia date de polinomul Taylor de gradul 7 (roz).

Derivata funcției sinusoidale este funcția cosinusului: [3]

A doua derivată este în schimb

Funcția sinusoidală este o funcție analitică , a cărei expansiune a seriei Taylor este

În analiza matematică, această egalitate este adesea utilizată pentru a defini sinusul. Aceeași serie definește sinusul ca o funcție holomorfă pe întregul plan complex .

Ecuații fundamentale referitoare la sân

Iată câteva ecuații fundamentale referitoare la funcția sinusoidală: [4]

cu adăugarea condiției care:

Există, de asemenea, o identitate trigonometrică care leagă funcția sinusoidală de funcția tangentă :

Această identitate are o importanță fundamentală în rezolvarea ecuațiilor goniometrice în care figura necunoscută este argumentul atât al unui sinus, cât și al unui cosinus sau al funcțiilor derivate din acestea. De fapt, există o identitate analogă în ceea ce privește cosinusul și utilizarea în comun a acestor două identități permite rezolvarea ecuației în necunoscut .

Definiții conexe

Reciprocitatea sinusului, definită în care sinusul este diferit de zero, este cosecantul : [5]

Funcția sinusoidală limitată la interval ca domeniu și cu codomain este bijectiv și, prin urmare, are un invers , numit arcsine și indicat cu sau cu care preia notația funcției inverse . [6] Prin definiție avem, prin urmare,:

Alte proprietăți

Din formula lui Euler se poate deduce că funcția sinus este legată de funcția exponențială și de funcția sinus hiperbolică. De fapt pentru orice număr real da ai

Unele formule particulare referitoare la funcția sinusoidală implică funcționarea produsului.

De exemplu, rezultă pentru orice număr întreg

În analiza complexă , aplicândteorema factorizării Weierstrass funcției sinusoidale, aceasta poate fi exprimată ca un produs infinit , folosind următoarea formulă care se aplică pentru orice număr complex

Un alt produs infinit raportează sinusul și cosinusul:

Funcția sinusoidală este, de asemenea, legată de unele funcții speciale, după cum se poate observa, de exemplu, prin formula de reflecție a funcției Gamma

și de ecuația funcțională satisfăcută de funcția zeta Riemann

O altă relație între funcția sinus și funcția Gamma este dată de următoarea integrală definită, valabilă pentru : [7]

În cele din urmă, prin formula fracției continue a lui Euler este posibilă exprimarea funcției sinusoidale sub forma unei fracții continue : [7] [8]

Istoria și originea numelui

Conceptul de sân a fost introdus de matematicianul și astronomul indian Aryabhata I (în devanāgarī : आर्यभट) în lucrarea sa Aryabhatiya ( 499 ). [9]

Sinusul este prin definiție jumătatea unei coarde , adică un segment care unește două puncte (numite extreme ) ale unei circumferințe . În sanscrită , „jumătate de coardă” este redată ca jya-ardha , uneori înlocuită cu ardha-jya și scurtată la „coardă” jya . Acest termen a fost importat în limba arabă sub numele de jiba , un termen fără sens înainte, dar care reflecta pronunția numelui jya . Conform regulilor limbii arabe, acest nume a fost scris cu cele două consoane jb , fără vocale. Mai târziu, când traducătorii occidentali s-au bazat pe surse arabe, au interpretat cuvântul jb ca jaib , al cărui sens era „bay”. În cele din urmă, italianul Gherardo da Cremona ( 1114 - 1187 ) a tradus cuvântul în latină ca sinus , al cărui sens era tocmai „golf”.

Notă

  1. ^ Valorile funcțiilor goniometrice , pe youmath.it , YouMath. Adus pe 19 octombrie 2016 .
  2. ^ ExerciseMatica.com , https://www.esercizimatematica.com/tabella-seno-coseno-con-tutti-gli-angoli/ .
  3. ^ Derivat al sânului , pe youmath.it , YouMath. Adus pe 19 octombrie 2016 .
  4. ^ Formule trigonometrice , pe youmath.it , YouMath. Adus pe 19 octombrie 2016 .
  5. ^ secante , în Enciclopedii online , Treccani. Adus pe 19 octombrie 2016 .
  6. ^ arcoséno , în Enciclopedie online , Treccani. Adus pe 19 octombrie 2016 .
  7. ^ a b Wolfram Mathworld - Sine , la mathworld.wolfram.com . Adus pe 9 aprilie 2020 .
  8. ^ Mauro Fiorentini - Funcții exprimate prin fracții continue , pe bitman.name . Adus pe 10 aprilie 2020 .
  9. ^ Aryabhata , pe pls.dima.unige.it . Adus pe 19 octombrie 2016 .

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică