Secțiune conică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Tipuri de secțiuni conice: planurile, care intersectează conul, descriu o circumferință (în galben), o elipsă (în roșu), o parabolă (în albastru) și o hiperbolă (în verde)

În matematică și în special în geometria analitică și în geometria proiectivă , cu o secțiune conică , sau pur și simplu conică , ne referim, în general, la o curbă plană care este locul punctelor obținute prin intersecția suprafeței unui con circular cu un plan .

Secțiunile conice au fost studiate cu atenție în perioada elenistică, în special de Menecmo și Apollonius din Perga în jurul anului 200 î.Hr .; el a dat și numele încă folosite pentru cele trei tipuri de bază ale secțiunilor conice: elipsă ( circumferința este un caz degenerat ), parabola și hiperbola .

Tipuri de secțiuni plane ale unui con

Luați în considerare conul circular drept format din liniile generatoare care, cu axa sa, formează un unghi de amplitudine θ. Trebuie remarcat faptul că punctele conului sunt împărțite în trei subseturi: unul format doar din vârf și două subseturi conectate separat numite clape sau ciucuri .

În funcție de tipul de plan care intersectează conul, există două tipuri de curbe: așa-numitele nedegenerate și cele degenerate . În ceea ce privește primul, puteți avea:

  • elipsa , obținută prin intersecția conului cu un plan care cu axa sa formează unghiuri mai mari decât θ și mai mici sau egale cu π / 2; fiecare dintre aceste intersecții aparține doar uneia dintre cele două pante ale conului și este o curbă închisă ;
  • circumferința , la rândul său, un caz particular al unei elipse obținute din intersecția conului cu un plan perpendicular pe axa sa, este, de asemenea, o curbă închisă;
  • parabola , obținută prin intersecția conului cu un plan paralel cu una dintre liniile sale generatoare (în acest caz unghiul format cu axa conicii este egal cu θ); fiecare parabolă aparține doar uneia dintre pantele conului și nu este o curbă închisă;
  • hiperbola , obținută prin intersecția conului cu un plan care formează un unghi mai mic de θ cu axa sa; hiperbola este, de asemenea, o curbă deschisă și, deoarece planul intersectează ambele părți ale conului, este împărțit în două subseturi conectate numite ramuri ale conicii .

Așa-numitele conice degenerate sunt obținute, pe de altă parte, prin intersecții cu planuri care trec prin vârful conului:

  • punctul , obținut prin intersecția conului cu un plan care formează un unghi mai mare decât θ cu axa sa; în acest caz, punctul nu este altul decât vârful conului menționat;
  • linia dreaptă , obținută prin intersecția conului cu un plan care formează un unghi egal cu θ cu axa sa; linia dreaptă obținută este una dintre generatoarele conului;
  • o pereche de linii drepte, obținută prin intersecția conului cu un plan care formează un unghi mai mic de θ cu axa sa; aceste două linii drepte se întâlnesc la vârful conului și sunt împărțite prin dreapta obținută prin intersecția planului secant cu planul ortogonal față de acesta și trecerea prin axa conului.

Conice și ecuații pătratice

Graficul fiecărei ecuații pătratice în două variabile reale, dacă coeficienții îndeplinesc anumite condiții pe care le vom specifica, identifică o secțiune conică a unui plan cartesian, adică a unui plan referit la un sistem de coordonate cartesian . De asemenea, se constată că toate secțiunile conice pot fi obținute în acest fel.

Dacă luăm în considerare ecuația pătratică în formă

Vedere a secțiunilor conice

avem următoarele cazuri:

  • de sine ecuația reprezintă o parabolă ;
  • de sine ecuația determină o elipsă ;
    • de sine Și ecuația reprezintă un cerc ;
  • de sine ecuația reprezintă o hiperbolă ;

O condiție necesară pentru ca curba să fie o circumferință este aceea .

Ceea ce spui este că dacă ecuația dată nu poate reprezenta un cerc, în schimb atunci ecuația ar putea reprezenta un cerc. Aceasta implică faptul că, de exemplu, în schimb nu poate fi ecuația unui cerc poate fi, totuși , prin urmare nu există niciun punct care să satisfacă ecuația dată.

Excentricitate

O definiție alternativă a secțiunilor conice este dată pornirilor de la o linie dreaptă , regizorul , un punct extern la , numit foc și un număr , care ia numele de excentricitate . Secțiunea conică formată din toate punctele a căror distanță de la acestea corespunde acestor entități este egal cu produsul pentru distanța respectivă de . Pentru obțineți o circumferință, pentru o elipsă, pentru o parabolă și pentru hiperbolă.

Excentricity.png

Pentru o elipsă și o hiperbolă, se pot presupune două perechi focus + directrix, fiecare furnizând aceeași curbă întreagă. Distanța dintre centru și lider este , unde este denotă axa semi-majoră a elipsei sau distanța centrală față de fiecare dintre punctele de distanță minimă ale hiperbolei. Distanța dintre centru și focalizare este .

În cazul circumferinței trebuie să ne imaginăm linia directoare la o distanță infinită de focar, adică linia este situată la infinitul planului. Acest caz nu poate fi abordat pornind de la cerința ca circumferința să fie locul punctelor a căror distanță de centru este ori distanța de la , deoarece ar exista o formă nedeterminată a formei zero pentru infinit; acest caz ar trebui tratat ca un caz limitativ de elipse.

Prin urmare, se poate spune că excentricitatea unei secțiuni conice oferă o măsură a cât de departe este de a fi circulară.

Pentru o lungime dată a axei semi-majore, cu cât mai mult se apropie de 1, cu cât axa semi-minoră este mai mică .

Matrice asociate conicii

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: reprezentarea matricială a conicelor .

Este ecuația asociată conicii astfel încât .
Două matrice sunt asociate cu aceasta Și simetric astfel încât:

Este posibil să distingem diferitele tipuri de conic prin studierea determinantului celor două matrice:

  • de sine conica este degenerată , adică poate fi fie o pereche de linii reale , fie o pereche de linii complexe conjugate;
  • de sine conica nu este degenerată și studiază determinantul matricei se constată că este:
    • o elipsa ( );
    • o parabolă ( );
    • o hiperbolă ( )

Axa și coordonatele polare

Semilateral drept al unei elipse

Un semilat drept al unei secțiuni conice C este definit ca un segment ortogonal față de axa majoră care are un capăt în focalizarea sa unică sau într-unul din cele două focare ale acestuia și celălalt într-un punct C; lungimea sa este de obicei notată cu l . Această magnitudine este legată de lungimile arborilor axului a și b prin egalitate .

În coordonatele polare , o secțiune conică cu focalizare la origine și, dacă este dotată cu un al doilea focal, cu aceasta pe axa pozitivă x , este determinată de ecuație

unde cu este indicată distanța de la origine / focalizare.

Aplicații

Secțiunile conice sunt importante în astronomie : orbitele a două corpuri (presupunând că efectul altor corpuri este neglijabil) care interacționează conform legii gravitației universale sunt secțiuni conice în raport cu centrul lor comun de masă considerat în repaus. Dacă se exercită suficientă atracție între ei, ambii călătoresc de-a lungul unei elipse; dacă atracția reciprocă este insuficientă, acestea se deplasează cu posibilitatea de a se îndepărta nelimitat, urmând ambele parabole sau hiperbole. În acest sens, a se vedea problema celor două corpuri .

În geometria proiectivă , secțiunile conice din planul proiectiv sunt considerate echivalente, în sensul că pot fi transformate una în cealaltă prin intermediul unei transformări proiective .

În perioada elenistică, cunoașterea conicelor a permis construirea de oglinzi parabolice, aplicate poate în activități de război (vezi Oglinzi arzătoare ) și în construcția de faruri la scară largă (vezi Farul din Alexandria ).

Bile de Dandelin

Pentru o scurtă și destul de simplă discuție a secțiunilor conice care arată cum pot fi caracterizate în mod echivalent ca intersecții ale unui plan cu un con și în ceea ce privește focarele sau focalizarea și un regizor vezi Sferele Dandelin .

Derivare

Să considerăm un con care are ca axă axa z și vârful la origine. Este determinat de ecuație

unde este

Și denotă unghiul pe care fiecare generatrix al conului îl formează cu axa. Rețineți că această ecuație identifică două suprafețe, una plasată deasupra și cealaltă sub vârf; în vorbirea comună fiecare dintre aceste suprafețe se numește con; matematicienii preferă să vorbească despre două ciucuri a căror unire constituie conul și a căror intersecție este redusă la vârful conului.

Să considerăm un plan P care intersectează planul Oxy într-o linie paralelă cu axa y și care intersectează planul Oxz într-o linie cu o anumită pantă; ecuația sa este

unde este

Și este unghiul pe care P îl formează cu planul Oxy .

Propunem să identificăm intersecția conului cu planul P: aceasta necesită combinația celor două ecuații (1) și (2). Acestea pot fi rezolvate în variabila z, iar expresiile găsite pot fi potrivite. Ecuația (1) pentru z

;

în consecință

Păstrați cei doi membri și dezvoltați binomul membrului din dreapta

.

Gruparea variabilelor duce la

Rețineți că aceasta este ecuația proiecției secțiunii conice pe planul Oxy ; Deci, această ecuație oferă o figură obținută din secțiunea conică printr-o contracție în direcția axei x .

Derivarea parabolei

O parabolă se obține atunci când panta planului P este egală cu panta generatoarelor conului. În acest caz colțurile Și sunt complementare . Asta presupune că

;

în consecință

.

Înlocuirea ecuației (4) în ecuația (3) face ca primul termen din ecuația (3) să dispară și ecuația rămâne

.

Înmulțind ambele părți cu un 2 ,

;

în acest moment putem găsi o expresie pentru x :

Ecuația (5) descrie o parabolă a cărei axă este paralelă cu axa x . Alte versiuni ale ecuației (5) pot fi obținute prin rotirea planului în jurul axei z .

Derivarea elipsei

O elipsă se găsește atunci când suma unghiurilor Și este mai mic decât un unghi drept, deci un unghi acut:

În acest caz, tangenta sumei celor două unghiuri este pozitivă.

.

Să ne reamintim acum identitatea trigonometrică

;

asta implică

Dar m + a este pozitiv, deoarece este suma a două numere pozitive; prin urmare, inegalitatea (6) este pozitivă dacă și numitorul este pozitiv:

Din inegalitate (7) deducem:

Să revenim din nou la ecuația (3),

dar de data aceasta presupunem că coeficientul lui x 2 nu dispare, ci este în schimb pozitiv. Rezolvăm pentru y :

Această ecuație ar descrie în mod clar o elipsă, dacă al doilea termen sub semnul rădăcinii, 2 m b x nu ar fi prezent : ar fi ecuația unei circumferințe dilatate proporțional în funcție de direcțiile axei x și ale axei y . Ecuația (8) identifică de fapt o elipsă, dar într-un mod nu evident; de aceea este necesar să-l manipulăm în continuare pentru a ne convinge de acest fapt. Completăm pătratul sub semnul rădăcină:

.

Colectăm termenii din b 2 :

Împărțim cu a și pătrăm ambele părți:

X are un coeficient, în timp ce este potrivit să facă această componentă să dispară prin colectarea acesteia ca factor în afara celui de-al doilea termen care este un pătrat:

O manipulare suplimentară a constantelor duce în cele din urmă la

.

Coeficientul termenului în y este pozitiv (pentru o elipsă). Schimbarea numelor coeficienților și constantelor ne conduce la

care este în mod clar ecuația unei elipse. Cu alte cuvinte, ecuația (9) descrie un cerc cu raza R și centru (C, 0) care este apoi dilatat vertical de un factor . Al doilea termen din partea stângă (termenul din x ) nu are coeficient, dar este un pătrat, deci trebuie să fie pozitiv. Raza este un produs de pătrate și, prin urmare, trebuie să fie și ea pozitivă. Primul termen din partea stângă (termenul în y ) are un coeficient pozitiv și, astfel, ecuația descrie o elipsă .

Derivarea hiperbolei

Intersecția conului cu planul P dă o hiperbolă atunci când suma unghiurilor Și este un unghi obtuz, deci mai mare decât un unghi drept. Tangenta unui unghi obtuz este negativă și toate inegalitățile găsite pentru elipsă sunt schimbate în opuse. Așa că îl înțelegi

În consecință, pentru hiperbolă găsim ecuația care diferă de cea găsită pentru elipsă doar pentru că are negativ coeficientul A al termenului în y . Această schimbare de semn face o trecere de la o elipsă la o hiperbolă . Conexiunea dintre elipse și hiperbolă poate fi de asemenea descrisă observând că ecuația unei elipse cu coordonate reale poate fi interpretată ca ecuația unei hiperbole cu o coordonată imaginară și, simetric, că ecuația unei hiperbole cu coordonate reale poate fi interpretat ca ecuația unei elipse cu o coordonată imaginară (vezi numărul imaginar ). Modificarea semnului coeficientului A este echivalentă cu schimbul între valorile reale și imaginare ale funcției formei y = f (x) care poate fi citită în ecuația (9).

Clasificarea conicelor reale în raport cu punctele necorespunzătoare ale acestora

O elipsă nu are puncte necorespunzătoare. O parabolă are un singur punct necorespunzător. O hiperbolă are două puncte necorespunzătoare.

Bibliografie

  • Giuseppe Vaccaro , prof. Ord. Universitatea La Sapienza din Roma , lecții de geometrie și algebră liniară - ed. A II-a. - Veschi, Roma

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 10131 · LCCN (EN) sh85031124 · BNF (FR) cb11966547k (data) · NDL (EN, JA) 00.562.012
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică