Mingea Alexander

Sfera lui Alexandru

Sfera lui Alexander este, în geometrie , un obiect topologic descoperit în 1924 de matematicianul James Alexander . Este o suprafață în spațiu homeomorfă pentru o sferă , dar cu proprietăți foarte diferite de aceasta.

Constructie

Sfera lui Alexander este construită ca marginea unui obiect tridimensional, definit prin iterarea construcției prezentate în figură de ori infinită. Construcția începe de la un „arc solid” de tor solid , având două capete. Procedura iterativă constă în adăugarea la fiecare capăt a unui alt arc similar similar, mai mic („coarnele”): numărul de capete se dublează.

Rezultatul acestei proceduri este un obiect homeomorf al unui copac cu ramuri care se ramifică la infinit. Dacă ramurile nu se ramificau infinit, ci erau finite, acest obiect ar fi homeomorf pentru discul tridimensional

D^{3}={\big \{}x\in \mathbb {R} ^{3}\ {\big |}\ |x|\leq 1{\big \}}.

{\ displaystyle D ^ {3} = {\ big \ {} x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ {\ big |} \ | x | \ leq 1 {\ big \}}.}

D ^ {3} = {\ big \ {} x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ {\ big |} \ | x | \ leq 1 {\ big \}}.

Deoarece ramurile sunt infinite în toate direcțiile, obiectul descris este în schimb homeomorf pentru discul pe care a fost îndepărtat un set Cantor conținut în chenar. Fiecare punct al acestui set Cantor corespunde unei căi infinite de-a lungul ramurilor, definită de o succesiune infinită de litere „s” și „d”, corespunzătoare virajului (la „stânga” sau „dreapta”) efectuat la fiecare ramură.

Închiderea acestui obiect în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ este homeomorf pentru disc: fiecare cale are de fapt un punct în spațiu ca limită și căile diferite au limite diferite. Prin urmare, marginea închiderii este homeomorfă pentru o sferă: aceasta este sfera lui Alexander.

Proprietate

Sfera lui Alexander, în timp ce este homeomorfă pentru sfera standard

S^{2}={\big \{}x\in \mathbb {R} ^{3}\ {\big |}\ |x|=1{\big \}},

{\ displaystyle S ^ {2} = {\ big \ {} x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ {\ big |} \ | x | = 1 {\ big \}},}

S ^ {2} = {\ big \ {} x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ {\ big |} \ | x | = 1 {\ big \}},

este conținut în spațiu într-un mod foarte diferit. La fel ca sfera standard, separă spațiul în două zone: interiorul și exteriorul; cea din interior este o minge . Cu toate acestea, cea externă este deosebit de diferită: nu este conectată pur și simplu (în timp ce partea externă a sferei standard este). De fapt, o curbă simplă închisă care leagă orice ramură nu poate fi contractată printr-o homotopie .

Rezultă că nu există homeomorfism al spațiului pe care îl purtați $S^{2}$ ${\ displaystyle S ^ {2}}$ $S ^ {2}$ în sfera lui Alexandru. Modurile în care sfera standard și sfera lui Alexander sunt conținute în spațiu sunt topologic diferite.

Prin adăugarea unui punct la $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ prin proiecție stereografică , sfera lui Alexander este un obiect din sferă $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ . Sfera standard $S^{2}$ ${\ displaystyle S ^ {2}}$ $S ^ {2}$ separă $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ în două bucăți, ambele homeomorfe pentru o minge. Mingea lui Alexander, pe de altă parte, mărginește o minge doar pe o parte.

Diferențialitate

Sfera lui Alexander nu este o suprafață diferențiată a spațiului $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ : nu este de fapt diferențiat în punctele setului Cantor adăugate la limită. De exemplu, un plan tangent nu este definit în aceste puncte.

Faptul că sfera lui Alexander nu este diferențiată este crucială: o sferă diferențiată în spațiu este de fapt întotdeauna echivalentă cu cea standard, cu excepția cazului în care homeomorfismul $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ .

linkuri externe

( EN ) Alexander's Sphere , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) JW Alexander. Un exemplu de suprafață conectată simplu care limitează o regiune care nu este conectată simplu. Lucrările Academiei Naționale de Științe 1924; 10 (1): 8-10.
( EN ) Alexander Horned Sphere în MathWorld
( EN ) Zbigniew Fiedorowicz. Matematica 655 - Introducere în topologie. [1] - Note de curs

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică