Sferă unitară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , o sferă unitară este ansamblul de puncte aflate la 1 distanță de un punct numit centru . O minge este regiunea închisă de sfera unității. Această noțiune este utilizată în spațiul euclidian și mai general în orice spațiu metric .

Într-un spațiu euclidian, "sfera unitară" și "sfera unitară" sunt cele care au originea ca centru. Orice altă sferă poate fi transformată într-o sferă unitară cu o combinație de traduceri și omotetică . În acest fel, multe proprietăți ale unei sfere pot fi studiate (fără pierderea generalității) pe o sferă unitară.

Sferă unitară în spațiul euclidian

În spațiul euclidian cu n dimensiuni, sfera unitară este ansamblul tuturor punctelor care satisfac ecuația

iar bila închisă este ansamblul de puncte care satisface inegalitatea

Formule generale pentru suprafață și volum

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Hypersphere .

Volumul unei bile unitare n- dimensionale în spațiul euclidian și suprafața sferei unitare apar în multe formule importante de analiză matematică . Suprafața sferei în n dimensiuni, des indicată în literatura de specialitate cu , poate fi exprimat prin utilizarea funcției gamma :

.

Volumul mingii unitare este .

Bile unitare în spații vectoriale normate

Sferele unitare pe plan asociate cu diferite norme

Mai exact, bila unitară se deschide într-un spațiu normat , cu norma , Și

.

este interiorul mingii unitare închise a lui ( V , || · ||),

.

Ultima este unirea disjunctă a celor precedente și marginea lor comună, sfera unitară a ( V , || · ||),

.

Forma mingii unitare este în întregime dependentă de alegerea normei ; ar putea avea „margini” și, de exemplu, seamănă cu [-1,1] n , în cazul normei l din R n . Mingea rotundă se obține în spațiul euclidian dotat cu norma obișnuită; frontiera sa este aceea care este denumită în mod obișnuit o sferă unitară . Următoarele imagini reprezintă sfera unitară pentru unele spații bidimensional pentru diferite valori ale lui p (mingea unitară este concavă pentru p <1 și convexă pentru p ≥ 1): Mingi de unitate 2D.svg

Acest lucru clarifică de ce condiția p ≥ 1 este necesară în definirea normei : bila unitate într-un spațiu generic normat trebuie să fie convexă ca o consecință directă a inegalității triunghiulare .

Generalizare la spații metrice

Toate cele trei definiții de mai sus pot fi pur și simplu generalizate în spații metrice , cu alegerea unei origini. Cu toate acestea, considerațiile topologice (punctele interioare, incinta, marginea) nu se aplică neapărat în același mod (de exemplu, în spații ultrametrice , toate cele trei sunt simultan seturi deschise și închise), iar sfera unitară poate fi goală în unele spații metrice.

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică