Sferă unitară
Această intrare sau secțiune despre geometrie nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică , o sferă unitară este ansamblul de puncte aflate la 1 distanță de un punct numit centru . O minge este regiunea închisă de sfera unității. Această noțiune este utilizată în spațiul euclidian și mai general în orice spațiu metric .
Într-un spațiu euclidian, "sfera unitară" și "sfera unitară" sunt cele care au originea ca centru. Orice altă sferă poate fi transformată într-o sferă unitară cu o combinație de traduceri și omotetică . În acest fel, multe proprietăți ale unei sfere pot fi studiate (fără pierderea generalității) pe o sferă unitară.
Sferă unitară în spațiul euclidian
În spațiul euclidian cu n dimensiuni, sfera unitară este ansamblul tuturor punctelor care satisfac ecuația
iar bila închisă este ansamblul de puncte care satisface inegalitatea
Formule generale pentru suprafață și volum
Volumul unei bile unitare n- dimensionale în spațiul euclidian și suprafața sferei unitare apar în multe formule importante de analiză matematică . Suprafața sferei în n dimensiuni, des indicată în literatura de specialitate cu , poate fi exprimat prin utilizarea funcției gamma :
- .
Volumul mingii unitare este .
Bile unitare în spații vectoriale normate
Mai exact, bila unitară se deschide într-un spațiu normat , cu norma , Și
- .
este interiorul mingii unitare închise a lui ( V , || · ||),
- .
Ultima este unirea disjunctă a celor precedente și marginea lor comună, sfera unitară a ( V , || · ||),
- .
Forma mingii unitare este în întregime dependentă de alegerea normei ; ar putea avea „margini” și, de exemplu, seamănă cu [-1,1] n , în cazul normei l ∞ din R n . Mingea rotundă se obține în spațiul euclidian dotat cu norma obișnuită; frontiera sa este aceea care este denumită în mod obișnuit o sferă unitară . Următoarele imagini reprezintă sfera unitară pentru unele spații bidimensional pentru diferite valori ale lui p (mingea unitară este concavă pentru p <1 și convexă pentru p ≥ 1):
Acest lucru clarifică de ce condiția p ≥ 1 este necesară în definirea normei : bila unitate într-un spațiu generic normat trebuie să fie convexă ca o consecință directă a inegalității triunghiulare .
Generalizare la spații metrice
Toate cele trei definiții de mai sus pot fi pur și simplu generalizate în spații metrice , cu alegerea unei origini. Cu toate acestea, considerațiile topologice (punctele interioare, incinta, marginea) nu se aplică neapărat în același mod (de exemplu, în spații ultrametrice , toate cele trei sunt simultan seturi deschise și închise), iar sfera unitară poate fi goală în unele spații metrice.