Sigma-algebră

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , o σ-algebră (pronunțată sigma-algebră ) sau un trib (termen introdus de grupul Bourbaki ) pe un set , este o familie de subseturi de care are proprietăți de închidere în ceea ce privește unele operații setate, în special operația de unire numărabilă și trecerea la complementar . Structura σ-algebrei este deosebit de utilă în teoriile măsurii și probabilității și stă la baza tuturor noțiunilor de măsurabilitate, atât a mulțimilor, cât și a funcțiilor . Este un caz particular al algebrei setate și, comparativ cu aceasta din urmă, este utilizat mult mai larg în analiză (datorită numeroaselor proprietăți pe care le au măsurile definite pe σ-algebre cu privire la operațiile de trecere la limită ).

Σ-algebrele care apar cel mai des în matematică sunt σ-algebrele boreliene și eb-algebra Lebesgue . Și din punct de vedere istoric, aceste două clase de σ-algebre au motivat dezvoltarea însuși conceptului de σ-algebră, născut la începutul secolelor al XIX -lea și al XX-lea, cu scopul de a formaliza teoria măsurii. De fapt, specifică ideea euristică a unui eveniment sau ansamblu măsurabil. Multe structuri abstracte importante, la baza progreselor matematice din secolul trecut, pot fi definite prin intermediul algebrelor σ. [1]

Definiție și primele proprietăți

Având un set , definim σ-algebra pe o familie de subseturi de astfel încât: [2]

  • Întregul aparține lui .
  • Dacă un set este in , atunci complementul său este în .
  • Dacă elementele dintr-o familie numărabilă de seturi sunt în , apoi unirea lor:
aparține lui .

De sine este o su σ-algebră , asa de spunem spațiul măsurabil și elementele sunt numite seturi măsurabile în . [2]

O σ-algebră, în special, este o algebră a mulțimilor , deoarece a treia condiție indicată mai sus implică stabilitatea pentru uniunea finită necesară în definiția structurii algebrei. În acest caz, stabilitatea este necesară și pentru uniunile numărabile, de unde și identificatorul σ, o prescurtare pentru succesiune .

Din definiție rezultă că: [3]

  • Setul gol aparține , fiind complementul .
  • O σ-algebră este stabil prin intersecție numărabilă. De fapt, dacă pentru fiecare , asa de:
  • Dacă seturile Și apartine , asa de:

Dați două σ-algebre , pe același set , se spune că este mai puțin fin decât de sine este cuprins în , adică dacă fiecare subset aparținând aparține și . Relația fiind mai puțin fină decât definește o ordonare parțială pe mulțimea de σ-algebre pe un set dat .

Având două seturi Și , unde este Și sunt sigma-algebrele respective, sigma-algebra constă din subseturi ale produsului cartezian , și este cea mai mică sigma-algebră pe care o conține .

Structuri definite folosind algebre σ

Noțiunea de σ-algebră oferă posibilitatea construirii unor structuri matematice mai complexe pornind de la aceasta. Următoarele structuri fundamentale, studiate pe larg în secolul al XX-lea , stau la baza teoriei măsurii și integrale a lui Lebesgue.

Spațiu măsurabil

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Spațiu măsurabil .

Un spațiu măsurabil este o pereche format dintr-un set ne-gol și o σ-algebră pe . Elementele din se numesc seturi măsurabile de . [2] Spațiile măsurabile formează o categorie , ale cărei morfisme sunt funcții măsurabile . Întregul este uneori numit spațiu eșantion , în special în aplicații statistice și de probabilitate .

Spațiul de măsurare

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Spațiul de măsurare .

Un spațiu de măsurare este definit ca un spațiu măsurabil echipat cu o măsură pozitiv definit pe σ-algebră format din subseturi măsurabile de . [4] Un astfel de spațiu este reprezentat cu un triplu .

De sine se spune că spațiul de măsurare este finit . Dacă și poate fi scris ca o uniune numărabilă de seturi:

de măsură finită, adică astfel încât , atunci spațiul măsurabil se numește σ-finit .

„Completarea” unui spațiu de măsură se obține prin adăugarea tuturor subseturilor lor la seturile de măsură zero. Completarea σ-algebrei al unui spațiu de măsurare este cea mai mică σ-algebră pe care o conține și toate subseturile seturilor de care nu au măsură nimic.

Funcții măsurabile

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Funcția măsurabilă .

Lasa-i sa fie Și două spații măsurabile . O funcție se numește măsurabilă sau -măsurabil dacă pentru fiecare adică dacă pentru fiecare set măsurabil din imaginea contra este un set măsurabil de : [2]

Folosind limbajul teoriei categoriilor , o funcție măsurabilă poate fi definită ca un morfism al spațiilor măsurabile.

Sistem dinamic

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Sistem dinamic .

Este un spațiu măsurabil, un semigrup și, pentru fiecare , este o aplicație măsurabilă cu proprietatea care . Cu alte cuvinte, este o acțiune măsurabilă a pe . Buldoexcavatorul se numește sistem dinamic.

Principalele rezultate

Având o familie oricare dintre σ-algebre, se verifică că intersecția lor:

este încă o σ-algebră. Este cea mai mare σ-algebră conținută în toate algebrele , adică dacă pentru fiecare , asa de .

Prin urmare, având în vedere orice familie de subseturi de , putem considera σ-algebra generată de ca intersecție a tuturor conținând σ-algebre . Prin urmare, din însăși definiția σ-algebrei generată de rezultă că este cea mai mică care conține σ-algebră . Această observație este utilizată pe scară largă pentru construirea măsurilor, deoarece permite definirea unei σ-algebre pur și simplu prin furnizarea unei familii de seturi care o generează. Σ-algebra generată de un set este des indicat .

În cazul familiilor terminate , această σ-algebră poate fi enumerată în mod explicit prin setarea:

și închiderea familiei în ceea ce privește operațiunile de unire și complementare.

Un sistem π este o familie non-vidă de subseturi de stabil prin intersecție: dacă asa de . În mod similar, o familie de subseturi de se numește sistem λ dacă:

  • .
  • este închis pentru trecerea la complementar, adică dacă asa de .
  • este stabil pentru uniunile contabile disjune: dacă mulțimile pentru ele sunt două câte două disjuncte, apoi:

În acest context, este posibil să se demonstreze într-un mod elementar teorema lui Dynkin π-λ, care afirmă că pe orice set nu gol, dacă un sistem π este conținut într-un sistem λ , apoi întreaga σ-algebră generată de este cuprins în . Sau implica .

Această teoremă este foarte des utilizată în teoria măsurătorilor [5] . De exemplu, rezultă că este suficient să atribuiți valorile unei măsuri pe un sistem λ care conține un sistem π pentru a construi spațiul de măsurare . De fapt, datorită teoremei lui Dynkin π-λ, măsura este bine definit pe toate .

Exemple și aplicații

  • Având în vedere orice set ne-gol , familia subseturilor este o σ-algebră. Chiar și familia format din toate subseturile de (set de părți) este o σ-algebră. Acestea sunt, respectiv, cea mai mică și cea mai mare σ-algebră de pe ; asta dacă este o su σ-algebră , asa de . În general, aceste două σ-algebre sunt numite improprii sau banale .
  • Orice algebră de mulțime compusă dintr-un număr finit de elemente este o σ-algebră, deoarece nu există familii de mulțimi cu un număr infinit de elemente (a se vedea exemplele de sub algebra de mulțimi ).
  • Având în vedere orice set ne-gol , familia formată din toate subseturile de care au cardinalitate numărabilă sau a cărei complementaritate are cardinalitate numărabilă este o σ-algebră. Este distinct de toate părțile din dacă și numai dacă este de nenumărat.
  • Luați în considerare setul de numere reale sau, mai general , cu topologia euclidiană obișnuită (sau este familia subseturilor deschise de ). Borelian σ-algebra este definită ca σ-algebra generată de , de obicei notat cu . Elementele din se numesc borelieni și se poate arăta că au cardinalitatea continuumului (prin urmare, subseturile boreliene sunt „puține” în comparație cu toate subseturile liniei reale care au o cardinalitate mai mare decât cea a celor reale). Multe dintre măsurile utilizate în mod obișnuit (pe axa reală) pot fi definite pe algebra σ Boreliană. De asemenea, este interesant de observat că noțiunea de σ-algebră a apărut istoric tocmai din generalizarea acestei construcții.
  • Mai general, construcția σ-algebrei boreliene poate fi realizată pe orice spațiu topologic pur și simplu prin plasare . Această σ-algebră este utilizată pentru a construi măsuri în spații mai generale decât linia reală. De exemplu, măsura Haar pe grupuri topologice compacte local este definită exact prin intermediul algebrei σ boreliene a grupului. În mod similar, noțiunea de dualitate între funcții continue și măsuri pe un spațiu topologic este construită (în spații suficient de regulate) tocmai prin dotarea spațiului cu α-algebra Boreliană.
  • În cazul în care , uneori se folosește o σ-algebră mult mai largă decât cea boreliană: σ-algebra lui Lebesgue . Este definită ca completarea σ-algebrei boreliene în raport cu măsura Borel și este fundamentală pentru construirea celebrei măsuri Lebesgue . Σ-algebra lui Lebesgue are cardinalitate mai mare decât cea a continuumului: în mod firesc este conținută în setul de părți ale numerelor reale (vezi primul exemplu de mai sus). Cu toate acestea, este legitim să ne întrebăm dacă există subseturi de numere reale care nu aparțin σ-algebrei lui Lebesgue. Aceste subseturi sunt, de asemenea, numite seturi nemăsurabile conform lui Lebesgue , iar existența unor astfel de subseturi este legată de axioma de alegere , adică pot fi construite dacă și numai dacă se presupune această axiomă. Un exemplu de astfel de seturi este setul Vitali .

Notă

  1. ^ O scurtă descriere a dezvoltării istorice a teoriei măsurătorii și integrării se găsește în Boyer History of Mathematics , cap. 28. Pentru o introducere în ideile teoriei măsurii vezi Billingsley, Probabilitate și măsură . O prezentare generală, dar mai abstractă, este dată și în Cohn, The Measure Theory . Un text introductiv clasic este Teoria măsurării Halmos.
  2. ^ a b c d W. Rudin , Pagina 8 .
  3. ^ W. Rudin , Pagina 10 .
  4. ^ W. Rudin , pagina 16 .
  5. ^ Câteva exemple sunt date în Vestrup, The Theory of Measures and Integration cap. 3 și cap. 11

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 24182
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică