Simbolul lui Levi-Civita

În matematică , simbolul Levi-Civita , numit și simbolul permutărilor , simbol alternativ , simbol Ricci sau, în mod necorespunzător, tensorul Levi-Civita este un simbol matematic utilizat în special în calculul tensorului . Cea mai comună formă a sa este cea tridimensională, deși există pentru un număr generic de dimensiuni. Termenul derivă din matematicianul paduan Tullio Levi Civita .

Definiție

Simbolul Levi-Civita în cazul tridimensional

Vizualizarea simbolului Levi-Civita în cazul tridimensional

Simbolul Levi-Civita în trei dimensiuni este definit după cum urmează: ^[1]

\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\text{se }}(i,j,k){\text{ permutazione pari}}=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\-1&{\text{se }}(i,j,k){\text{ permutazione dispari}}=(3,2,1),(1,3,2),(2,1,3)\\0&{\text{se due indici coincidono: }}i=j{\text{ e/o }}j=k{\text{ e/o }}k=i\end{cases}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk} = {\ begin {cases} +1 & {\ text {se}} (i, j, k) {\ text {chiar permutare}} = (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \\ - 1 & {\ text {se}} (i, j, k) {\ text {imput permutation}} = (3,2,1) , (1,3,2), (2,1,3) \\ 0 & {\ text {dacă doi indici coincid:}} i = j {\ text {și / o}} j = k {\ text { și / sau}} k = i \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk} = {\ begin {cases} +1 & {\ text {se}} (i, j, k) {\ text {chiar permutare}} = (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \\ - 1 & {\ text {se}} (i, j, k) {\ text {imput permutation}} = (3,2,1) , (1,3,2), (2,1,3) \\ 0 & {\ text {dacă doi indici coincid:}} i = j {\ text {și / o}} j = k {\ text { și / sau}} k = i \ end {cases}}}

Trebuie amintit că prin „permutații pare” înțelegem permutațiile obținute cu un număr par de transpuneri, în timp ce prin „permutări impare” înțelegem în mod evident cele obținute cu un număr impar de transpuneri. De asemenea, ne amintim că prin „ transpunere ” înțelegem schimbul a două elemente care nu sunt neapărat contigue și că zero este considerat egal. De exemplu, pentru permutările lui (1,2,3) avem:

123 este o permutație uniformă, deoarece se obține cu zero transpuneri
123 → 213 este o permutație ciudată deoarece se obține cu o transpunere (schimb de 1 și 2)
123 → 213 → 231 este o permutație uniformă, deoarece se obține cu două transpuneri (schimb de 1 și 2, schimb de 1 și 3)

În algebră liniară , produsul vector al a doi vectori tridimensionali poate fi definit global ca:

\mathbf {c} :=\mathbf {a\times b} :={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {c}: = \ mathbf {a \ times b}: = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {e_ {1}} & \ mathbf {e_ {2}} & \ mathbf {e_ {3 }} \\ a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \\\ end {vmatrix}}}

{\ mathbf {c}}: = {\ mathbf {a \ times b}}: = {\ begin {vmatrix} {\ mathbf {e_ {1}}} și {\ mathbf {e_ {2}}} & { \ mathbf {e_ {3}}} \\ a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \\\ end {vmatrix}}

apoi trecerea la o definiție componentă cu componentă:

\mathbf {c} :=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}

{\ displaystyle \ mathbf {c}: = \ sum _ {i, j, k = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {ijk} \ mathbf {e_ {i}} a_ {j} b_ {k}}

{\ mathbf c}: = \ sum _ {{i, j, k = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ {{ijk}} {\ mathbf {e_ {i}}} a_ {j} b_ {k }

sau mai concis încă, folosind notația lui Einstein :

\ c_{i}:=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}

{\ displaystyle \ c_ {i}: = \ varepsilon _ {ijk} a ^ {j} b ^ {k}}

{\ displaystyle \ c_ {i}: = \ varepsilon _ {ijk} a ^ {j} b ^ {k}}

Tensorul ale cărui componente sunt date de simbolul Levi-Civita are rangul covariant 3.

Simbolul Levi-Civita poate fi generalizat într-o dimensiune generică, de exemplu în 4 dimensiuni:

\varepsilon _{ijkl}:={\begin{cases}+1&{\text{se }}(i,j,k,l){\text{ è una permutazione pari di }}(1,2,3,4)\\-1&{\text{se }}(i,j,k,l){\text{ è una permutazione dispari di }}(1,2,3,4)\\0&{\text{se due indici coincidono}}\end{cases}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ijkl}: = {\ begin {cases} +1 & {\ text {se}} (i, j, k, l) {\ text {este o permutare uniformă a}} (1, 2, 3,4) \\ - 1 & {\ text {se}} (i, j, k, l) {\ text {este o permutare ciudată a}} (1,2,3,4) \\ 0 & {\ text {dacă două indexuri coincid}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ijkl}: = {\ begin {cases} +1 & {\ text {se}} (i, j, k, l) {\ text {este o permutare uniformă a}} (1, 2, 3,4) \\ - 1 & {\ text {se}} (i, j, k, l) {\ text {este o permutare ciudată a}} (1,2,3,4) \\ 0 & {\ text {dacă două indexuri coincid}} \ end {cases}}}

În cazul tridimensional, permutațiile pare coincid cu cele ciclice , iar cele impare cu cele anticiclice. Această proprietate, care este, de asemenea, verificată în mod trivial în cazul cu doi indici, totuși, nu poate fi generalizată în cazul n- index.

Relația cu delta Kronecker

Un simbol întâlnit adesea împreună cu cel al lui Levi-Civita este delta Kronecker . În trei dimensiuni, relația este dată de următoarele ecuații:

{\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&=\det {\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {ijk} \ varepsilon _ {lmn} & = \ det {\ begin {vmatrix} \ delta _ {il} & \ delta _ {im} & \ delta _ {in } \\\ delta _ {jl} & \ delta _ {jm} & \ delta _ {jn} \\\ delta _ {kl} & \ delta _ {km} & \ delta _ {kn} \\\ end { vmatrix}} \\ & = \ delta _ {il} \ left (\ delta _ {jm} \ delta _ {kn} - \ delta _ {jn} \ delta _ {km} \ right) - \ delta _ {im } \ left (\ delta _ {jl} \ delta _ {kn} - \ delta _ {jn} \ delta _ {kl} \ right) + \ delta _ {in} \ left (\ delta _ {jl} \ delta _ {km} - \ delta _ {jm} \ delta _ {kl} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {ijk} \ varepsilon _ {lmn} & = \ det {\ begin {vmatrix} \ delta _ {il} & \ delta _ {im} & \ delta _ {in } \\\ delta _ {jl} & \ delta _ {jm} & \ delta _ {jn} \\\ delta _ {kl} & \ delta _ {km} & \ delta _ {kn} \\\ end { vmatrix}} \\ & = \ delta _ {il} \ left (\ delta _ {jm} \ delta _ {kn} - \ delta _ {jn} \ delta _ {km} \ right) - \ delta _ {im } \ left (\ delta _ {jl} \ delta _ {kn} - \ delta _ {jn} \ delta _ {kl} \ right) + \ delta _ {in} \ left (\ delta _ {jl} \ delta _ {km} - \ delta _ {jm} \ delta _ {kl} \ right) \ end {align}}}

\sum _{i}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ varepsilon _ {ijk} \ varepsilon _ {imn} = \ delta _ {jm} \ delta _ {kn} - \ delta _ {jn} \ delta _ {km}}

\ sum _ {i} \ varepsilon _ {{ijk}} \ varepsilon _ {{imn}} = \ delta _ {{jm}} \ delta _ {{kn}} - \ delta _ {{jn}} \ delta _ {{km}}

În notația lui Einstein, prezența a două i implică suma pe indexul i . Ecuația anterioară este scrisă ca:

\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk} \ varepsilon _ {imn} = \ delta _ {jm} \ delta _ {kn} - \ delta _ {jn} \ delta _ {km}}

\ varepsilon _ {{ijk}} \ varepsilon _ {{imn}} = \ delta _ {{jm}} \ delta _ {{kn}} - \ delta _ {{jn}} \ delta _ {{km}}

prin urmare

\sum _{i,j}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}

{\ displaystyle \ sum _ {i, j} \ varepsilon _ {ijk} \ varepsilon _ {ijn} = 2 \ delta _ {kn}}

\ sum _ {{i, j}} \ varepsilon _ {{ijk}} \ varepsilon _ {{ijn}} = 2 \ delta _ {{kn}}

Proprietate

În două dimensiuni avem asta pentru fiecare $the, j, m, n$ ${\ displaystyle i, j, m, n}$ $i, j, m, n$ în $\{1,2\}$ ${\ displaystyle \ {1,2 \}}$ $\ {1,2 \}$ ,

\varepsilon _{ij}\varepsilon _{ij}=2

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {ij} = 2}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {ij} = 2}

. (1)

\varepsilon _{ij}\varepsilon _{in}=\delta _{jn}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {in} = \ delta _ {jn}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {in} = \ delta _ {jn}}

, (2)

\varepsilon _{ij}\varepsilon _{mn}=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {mn} = \ delta _ {im} \ delta _ {jn} - \ delta _ {in} \ delta _ {jm}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {mn} = \ delta _ {im} \ delta _ {jn} - \ delta _ {in} \ delta _ {jm}}

, (3)

În trei dimensiuni, avem asta pentru fiecare $the, j, k, m, n$ ${\ displaystyle i, j, k, m, n}$ $i, j, k, m, n$ în $\{1,2,3\},$ ${\ displaystyle \ {1,2,3 \},}$ $\ {1,2,3 \},$