Asemănare (geometrie)

Obiectele cu aceeași culoare sunt similare.

Similitudinea este o transformare geometrică , a planului sau a spațiului, care păstrează relațiile dintre distanțe. Cu alte cuvinte, o transformare $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ a planului (sau spațiului) în sine este o comparație dacă și numai dacă există un număr real pozitiv $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ astfel încât:

d(f(A),f(B))=k\cdot d(A,B)

{\ displaystyle d (f (A), f (B)) = k \ cdot d (A, B)}

{\ displaystyle d (f (A), f (B)) = k \ cdot d (A, B)}

pentru fiecare pereche de puncte $(A,B).$ ${\ displaystyle (A, B).}$ ${\ displaystyle (A, B).}$

Orice asemănare poate fi obținută din compoziția unui omot și o izometrie sau invers.

Aceste transformări mențin „forma” (unghiurile nu sunt modificate) ale obiectului, schimbându-i în același timp poziția, orientarea sau dimensiunea; prin urmare două obiecte similare au aceeași „formă”.

Exemple

Două circumferințe în plan sunt întotdeauna similare. Toate pătratele sunt similare: mai general, toate poligoanele regulate cu un număr fix de laturi sunt similare.

Toate parabolele sunt similare, în timp ce elipsele și hiperbolele nu sunt neapărat așa.

Când două obiecte $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ sunt similare, este scris în general

P\sim Q.

{\ displaystyle P \ sim Q.}

{\ displaystyle P \ sim Q.}

Geometrie afină

În geometria afină , o comparație a planului cartezian este o afinitate specială

f(x)=Ax+b.

{\ displaystyle f (x) = Ax + b.}

{\ displaystyle f (x) = Ax + b.}

În această notație $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ indică un punct generic al planului $(x_{1},x_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$ $(x_ {1}, x_ {2})$ , in timp ce $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice 2x2

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {pmatrix}}}

Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este un vector de coloană fixă $(b_{1},b_{2})$ ${\ displaystyle (b_ {1}, b_ {2})}$ ${\ displaystyle (b_ {1}, b_ {2})}$ . Notația foloseștemultiplicarea matricei .

O afinitate descrisă în acest mod este o comparație dacă și numai dacă :

a_{11}^{2}+a_{21}^{2}=a_{12}^{2}+a_{22}^{2}=|a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}|=|\det A|\neq 0.

{\ displaystyle a_ {11} ^ {2} + a_ {21} ^ {2} = a_ {12} ^ {2} + a_ {22} ^ {2} = | a_ {11} \ cdot a_ {22} -a_ {12} \ cdot a_ {21} | = | \ det A | \ neq 0.}

{\ displaystyle a_ {11} ^ {2} + a_ {21} ^ {2} = a_ {12} ^ {2} + a_ {22} ^ {2} = | a_ {11} \ cdot a_ {22} -a_ {12} \ cdot a_ {21} | = | \ det A | \ neq 0.}

Acest lucru este echivalent cu solicitarea coeficienților $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ nu sunt toate nule și că una dintre următoarele două condiții este îndeplinită:

$a_{11}=a_{22}\wedge a_{12}=-a_{21}$ ${\ displaystyle a_ {11} = a_ {22} \ wedge a_ {12} = - a_ {21}}$ ${\ displaystyle a_ {11} = a_ {22} \ wedge a_ {12} = - a_ {21}}$ , sau
$a_{11}=-a_{22}\wedge a_{12}=a_{21}$ ${\ displaystyle a_ {11} = - a_ {22} \ wedge a_ {12} = a_ {21}}$ ${\ displaystyle a_ {11} = - a_ {22} \ wedge a_ {12} = a_ {21}}$ .

În primul caz, determinantul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este pozitiv, asemănarea păstrează orientarea și se spune că este directă . În al doilea caz, determinantul este negativ, orientarea este inversă și se spune că este inversă .

Poligoane

Măsurători prin calcularea poligoanelor prime (tipărire din 1607)

Triunghiuri similare

Există câteva criterii care vă permit să determinați dacă două triunghiuri sunt similare, primul este cel mai cunoscut:

Două triunghiuri sunt similare dacă și numai dacă au trei unghiuri congruente .
- Corolarul 1 . Două triunghiuri echilaterale sunt similare.
- Corolarul 2 . Două triunghiuri dreptunghiulare, cu un unghi acru congruent, sunt similare.
- Corolarul 3 . Două triunghiuri isoscele, cu unghiuri de vârf congruente, sunt similare.
Două triunghiuri $LA$ $B.$ $C.$ {\ displaystyle ABC} ${\ displaystyle ABC}$ Și $D.$ $ȘI$ $F.$ {\ displaystyle DEF} ${\ displaystyle DEF}$ având: două laturi proporționale și unghiul inclusiv congruent
- ${AB \over DE}={BC \over EF}$ ${\ displaystyle {AB \ over DE} = {BC \ over EF}}$ ${\ displaystyle {AB \ over DE} = {BC \ over EF}}$
- unghiurile din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ si in $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ sunt egali,
sunt la fel.
- Corolar . Două triunghiuri dreptunghiulare sunt similare dacă au picioare în proporție
Două triunghiuri $LA B. C.$ ${\ displaystyle ABC}$ ${\ displaystyle ABC}$ Și $D. ȘI F.$ ${\ displaystyle DEF}$ ${\ displaystyle DEF}$ având: laturi proporționale
${\frac {AB}{DE}}={\frac {AC}{DF}}={\frac {BC}{EF}}$ ${\ displaystyle {\ frac {AB} {DE}} = {\ frac {AC} {DF}} = {\ frac {BC} {EF}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {AB} {DE}} = {\ frac {AC} {DF}} = {\ frac {BC} {EF}}}$
sunt la fel.

Poligoane similare

Există criterii analoage pentru doi poligoane arbitrare în plan. Cel mai important este următorul:

Două poligoane sunt similare dacă au unghiurile corespunzătoare congruente și laturile corespunzătoare în proporție.

Într-adevăr, nu este necesar să verificați toate unghiurile și toate laturile: este posibil să se excludă

oricare două laturi consecutive și unghiul dintre ele sau
oricare două unghiuri consecutive și latura dintre ele sau
trei cornere consecutive.

Dacă poligonul nu este un triunghi, nu este adevărat că doi poligoane cu aceleași unghiuri interne sunt similare: de exemplu, două dreptunghiuri au întotdeauna aceleași unghiuri interne, dar sunt similare numai dacă au același raport între laturi.

Numere complexe și figuri similare

Numere complexe

Același subiect în detaliu: Rotația în planul complex .

Triunghiul Sierpiński este un fractal .

Orice asemănare între două obiecte din plan poate fi exprimată elegant prin utilizarea numerelor complexe . Este suficient să descriem planul ca un plan complex : în acest fel, fiecare asemănare poate fi exprimată printr-o transformare liniară de tip

z\mapsto az+b

{\ displaystyle z \ mapsto az + b}

{\ displaystyle z \ mapsto az + b}

sau

z\mapsto a{\bar {z}}+b

{\ displaystyle z \ mapsto a {\ bar {z}} + b}

{\ displaystyle z \ mapsto a {\ bar {z}} + b}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt două numere complexe și ${\bar {z}}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ este conjugatul complex al lui $z\,\!$ ${\ displaystyle z \, \!}$ ${\ displaystyle z \, \!}$ .