Simetrie (fizică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În fizică, conceptul de simetrie identifică proprietatea fenomenelor fizice de a se repeta substanțial identic în timp și spațiu .

Descriere

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea era clar că anumite invarianțe trebuiau respectate în fizică, dar acest lucru nu a fost menționat în mod explicit, deoarece acest lucru părea banal. Odată cu introducerea teoriei relativității speciale, invarianțele au luat o mare importanță, ca caracteristici esențiale ale spațiului fenomenelor .

De fapt, este fundamental că descrierile fenomenelor și, în special, legile fizice nu depind de poziția spațio-temporală a fenomenului față de observator: legile , pentru a fi astfel, trebuie să fie invariante în ceea ce privește observatorul . Dacă nu ar fi cazul, fiecare observator ar vedea fenomene ireconciliabil cu ceea ce văd alți observatori și propriile sale observații ar varia de la un moment la altul și de la un loc la altul.

Cu alte cuvinte, regularitățile naturii, adică legile care descriu evoluția fenomenelor, trebuie să fie invariante în timpul deplasărilor spațiale și de timp. Pare o considerație banală, dar în realitate este fundamentală și este necesar să aprofundăm natura invarianțelor care stau la baza descrierii științifice. Din acest motiv ne bazăm pe ideea de simetrie, un concept ușor de vizualizat în domeniul geometriei, dar care poate fi aplicat cu ușurință entităților non-geometrice, cum ar fi legile empirice. În fizică , invarianța și simetria sunt sinonime. În limbajul comun nu există o relație foarte strânsă între conceptele de invarianță și simetrie. O simetrie geometrică este o invarianță față de o transformare suferită de un obiect. În fizică, simetria și invarianța sunt sinonime și se referă la legi și fenomene, nu doar la obiecte.

Există diferite tipuri de simetrie și toate pot fi descrise foarte simplu prin intermediul teoriei grupurilor .

Egalitate relativă

Ca o primă aproximare, se spune că o figură geometrică este simetrică dacă rămâne aceeași după o transformare. De exemplu, un pătrat rămâne neschimbat după rotații de 90 ° în jurul unei axe care trece prin centrul său. Aceasta înseamnă că pentru orice rotații fiecare punct al pătratului este mapat la un punct diferit, dar că pentru anumite rotații întregul pătrat este mapat la sine.

O simetrie geometrică este o invarianță față de o transformare suferită de o figură geometrică.

Conceptul de egalitate este esențial pentru simetrie, dar, pentru a extinde ideea de simetrie dincolo de sfera geometriei , este necesar să se introducă ideea de egalitate relativă: se spune că două obiecte sunt egale în raport cu unele caracteristici dacă ambii posedă această caracteristică. Nu are nicio diferență dacă sunt două obiecte distincte sau același obiect care a suferit o transformare. Obiectul poate fi o figură geometrică, un obiect fizic, orice concept abstract: în general un sistem . Sistemul este cel mai general concept care poate fi adoptat. Poate fi o figură geometrică (mono, bi sau tridimensională), un obiect (o moleculă , un cristal , o ființă vie sau o parte a acestuia), un proces dinamic, adică variabil în timp (mișcarea unui obiect, creșterea unui organism, o reacție chimică, dezvoltarea calculului într-un computer ) sau chiar un concept abstract (obiecte matematice precum funcții sau matrice, legi empirice etc.).

Dacă T, de exemplu, este o transformare care ia un sistem de la o stare inițială la o imagine a acesteia, această transformare poate fi combinată cu alta într-un mod care seamănă cu suma numerelor: două transformări succesive T echivalează cu un singur 180 ° rotație. Acest lucru este valabil pentru orice două transformări.

Simetrie pătrată.jpg

De asemenea, este definită o transformare inversă , care readuce sistemul la starea sa inițială. Numărul acestor transformări este un indice al gradului de simetrie al sistemului. De exemplu, un pătrat este mai simetric decât un triunghi echilateral, deoarece are patru rotații posibile în jurul centrului care duc la suprapunere (0 °, 90 °, 180 ° și 270 °), în loc de doar trei (0 °, 120 °, 240 °) și este mai puțin simetrică decât un hexagon, care are șase rotații posibile (60 ° și multipli ai acestuia).

Compoziție transformazioni.jpg

Cele mai cunoscute simetrii geometrice sunt asociate cu rotații în jurul unei axe, ca în cazul pătratului, care se rotește pe plan, în jurul unei axe verticale care trece prin centru. Mai precis, trebuie spus că, în cazul rotațiilor mai mari de 2π, toate punctele obiectului revin pentru a ocupa aceeași poziție ocupată după una dintre rotațiile din figură, ceea ce face ca obiectul să nu se distingă înainte și după alte rotații. de 2nπ, în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic.

Simetriile geometrice se referă la poziția figurii în cauză. Mai general, vorbim despre starea unui sistem . De exemplu, produsul pV între presiunea și volumul unui gaz ideal este invariant în raport cu variațiile în V la temperatura constantă.

Un cerc, deci, este cea mai simetrică figură plană, deoarece este simetrică pentru rotații infinite în jurul axei care trece prin centrul său. Aceasta este una dintre numeroasele situații limită care, vom vedea, au un interes deosebit.

Grupuri

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Grup (matematică) .

Este posibil să se efectueze un tratament formal al simetriilor recurgând la teoria grupurilor. Un grup este un set G de elemente (sau transformări) plus o operație de compoziție între două dintre ele, a și b , pe care le denotăm a b astfel încât

  1. rezultatul operației este, de asemenea, un element al setului ( G este închis)
  2. tranzacția este asociativă a ( b c ) = (a b ) c
  3. există un element special al lui G , numit identitate I , astfel încât pentru fiecare element a al mulțimii există un I = I a = a
  4. pentru fiecare element a exista un element de care aparține setului, care se spune ca este inversa unei, astfel încât o a „= a“ a = I

Dacă atunci deține și proprietatea comutativă a b = b a , se spune că grupul este comutativ sau abelian , altfel este necomutativ.

Numărul de elemente aparținând lui G se numește ordinea grupului.

Mulțimea numerelor întregi relative cu operația de adunare este un grup comutativ infinit dacă identitatea I este zero și inversul este opusul lui a : a ' = - a .

Dacă, pe de altă parte, considerăm mulțimea numerelor întregi relative cu operația de multiplicare, I = 1 dar inversul ia sensul obișnuit: a ' = 1 / a , prin urmare nu este un număr întreg și pentru zero nu este chiar definit. Prin urmare, nu este un grup.

În cazul unui pătrat, pentru fiecare rotație există o rotație inversă și există o proprietate comutativă. De asemenea, este ușor de dovedit că proprietatea asociativă este valabilă. Elementul I coincide cu nicio transformare sau, ceea ce este același, cu o rotație de 360 ​​°. Operația de asociere este executarea a două transformări succesive.

Rotațiile orare ale unui pătrat și asocierea oricăror două dintre ele constituie, prin urmare, un grup de ordine 4. Rotațiile în jurul axei care trec prin centru nu sunt singurele transformări de simetrie posibile cu un pătrat. Există, de asemenea, reflexii ale oglinzilor de-a lungul axelor și diagonalelor, care alcătuiesc un alt grup.

Setul tuturor transformărilor de simetrie ale unui sistem dat constituie grupul său de simetrie , incluzând ca element de identitate transformarea nulă sau „nu face nicio operațiune”, în care fiecare element al sistemului este mapat pe el însuși. Prin urmare, grupul de simetrie al pătratului rezultă din unirea subgrupurilor de rotații și reflexii, care includ deja identitatea.

Grupuri de simetrie abstractă

Nu poate exista decât un singur grup abstract de ordinul 1 și este format doar din elementul de identitate. Apare, de exemplu, în grupul format din zero și sumă ca operație de compoziție. Zero, așa cum am văzut, este de fapt identitatea grupului de numere întregi și sumă. Există, de asemenea, un singur grup abstract de ordinul 2, format din identitate și un element a , de aceea apare nevoia de a include și inversul lui a : acesta trebuie să coincidă cu inversul său și deci a a = I. O realizare numerică a acelui grup constă din numerele 1 (identitate) și -1 sub operația de multiplicare.

Alte realizări ale aceluiași grup sunt, în geometrie:

  1. grupul format din identitate (fără transformare) și reflecție, cu o operație de compunere constând din două reflecții consecutive 4
  2. rotația unui obiect cu 0 ° (identitate) și 180 ° în jurul unei axe, cu o compoziție formată din două rotații succesive la 180 °.

Aceste grupuri sunt realizate cu ușurință folosind două oglinzi și, respectiv, un caiet spiralat. Ambele sunt apoi realizate în simetria bilaterală, tipică animalelor.

Grupurile de simetrie care alcătuiesc același grup abstract sunt numite izomorfe , deoarece tabelele lor de înmulțire au aceeași structură. Aceasta este o proprietate foarte importantă, cu implicații interesante în fizică, deoarece sistemele izomorfe au identități de comportament interesante care se reflectă în descrierile fenomenelor asociate sistemelor în sine.

Chiar și pentru un grup de ordinul 3 există un singur grup abstract. Deoarece grupul trebuie să conțină inversul transformărilor și există doar două elemente aici, b trebuie să fie inversul lui a și, bineînțeles, invers.

Printre realizările acestui grup considerăm un triunghi echilateral și rotațiile acestuia în jurul unei axe care trece prin centrul triunghiului. Identitatea nu este o rotație, a este o rotație de 120 ° și b o rotație de 240 °, ambele în sensul acelor de ceasornic.

Simetrie într-o singură dimensiune

Simetrie de traducere

Simetrie de traducere.jpg

Fiecare secvență rectilinie periodică are simetrie prin traducere, atâta timp cât este infinită, altfel, după o traducere mai mult sau mai puțin mare, secvența se termină și simetria este ruptă. În acest caz există o simetrie aproximativă, valabilă într-un interval mai mult sau mai puțin larg.

În special, o linie dreaptă are simetria de traducere. Acesta este un caz extrem de traducere, deoarece continuă. Simbolul este (la 0 ). Traducerea poate avea loc în spațiu și, de asemenea, în timp , gândiți-vă doar că acest lucru poate fi reprezentat de scanarea zilelor, orelor, secundelor ... de-a lungul unei linii (care totuși ar trebui să fie infinită).

În timpul traducerii, punctele liniei de-a lungul cărora alunecă structura în mișcare rămân la locul lor: această linie se numește axa de traducere. Motivul acestei definiții devine mai clar dacă structura care se traduce este o bandă naturală infinită. Axa de traducere , deoarece rămâne neschimbată în timpul traducerii, este numită un element singular de simetrie. Deoarece toate liniile paralele au aceeași direcție, axa de translație este indicată de orice linie dreaptă paralelă cu linia sau cu axa benzii pe care o traduc.

Axa traducerii copia.jpg

În biologie, exemple de simetrie aproximativă prin deplasare în timp sunt diferitele ritmuri circadiene, care sunt observate în biochimia și comportamentul tuturor animalelor și plantelor. În chimie, diferitele reacții oscilante sunt. În fizică, toate mișcările periodice sunt, în special mișcările planetelor din sistemul solar. Cosmologia modernă prezice că timpul a avut un început, în corespondență cu big bang-ul, sau prima formație a universului. Prin urmare, simetria prin traducerea în timp este foarte acceptabilă astăzi, chiar și pentru fenomene de durată foarte lungă, dar trebuie privită cu mare prudență în astrofizică.

Traducerile de-a lungul unei axe a (fără a se specifica direcția acesteia), cu operația de compunere efectuată de două traduceri succesive, constituie un grup, care este indicat de simbolul a . De fapt, vedem imediat că sunt îndeplinite condițiile:

  • rezultatul a două traduceri succesive este și o traducere
  • traducerile pot fi asociate după dorință: pentru trei traduceri succesive a , b și c avem ( a b ) c = a ( b c )
  • identitatea este echivalentă cu nicio traducere (mișcare nulă)
  • pentru fiecare traducere a într-o direcție a axei de traducere există una contrară în direcția opusă, a ' , care readuce sistemul în starea de pornire.

Grupul limitativ al traducerilor continue, cu un pas infinitesimal, este notat a0. Grupul, de ordine infinită, al traducerilor într-o singură dimensiune este un subgrup al grupurilor de traduceri în spații multidimensionale. O linie este omogenă în sensul că proprietățile sale nu se schimbă de la segment la segment. O linie dreaptă reprezintă axa continuă a numerelor reale. O traducere lasă neschimbate distanțele dintre perechile de puncte, adică diferențele dintre numerele pe care le reprezintă. Poziția originii axei este deci indiferentă.

Simetria reflexiei

Simetria prin reflexie este aceea care este observată în mod trivial în fiecare zi, privind în oglindă.

Într-o dimensiune, aceasta se referă la obiecte cu o tendință liniară, cum ar fi frize decorative sau o macromoleculă liniară și apare de fiecare dată când o structură se repetă identic prin reflecție față de un centru de reflecție.

Punctul în care este imaginată oglinda este singurul punct din sistem care nu se mapează la un punct diferit în timpul transformării. Prin urmare, este un punct singular care se numește centrul reflecției. Planul de reflecție se numește m (din oglindă ), iar grupul de simetrii prin reflexie este notat m ' .

Reflection Center.jpg

De obicei, deplasându-se într-o direcție prestabilită de-a lungul obiectului și al imaginii sale, diferitele părți ale obiectului și ale imaginii se întâlnesc într-o ordine diferită.

Simetriile prin deplasare și prin reflexie sunt, de asemenea, observate între sunete de-a lungul axei timpului. De exemplu, ritmul obișnuit al unui instrument care marchează ritmul unui rap poate fi tradus în timp la fel ca și pentru o structură repetitivă de-a lungul unei axe în spațiul geometric.

Dacă, pe de altă parte, am avea de-a face cu o figură mai omogenă, de exemplu pentru toate triunghiurile, spațiul ar fi izotrop, cel puțin la scară macroscopică, astfel încât să ne permită să neglijăm neomogenitatea datorită juxtapunerii triunghiuri. Numai cu o figură continuă, cum ar fi o linie dreaptă sau o bară, am avea omogenitate și izotropie în același timp.

Combinațiile de traduceri și reflecții se găsesc în structuri muzicale mult mai complexe decât o scară, cum ar fi fuga, și în structura ritmică a poeziei. O reflecție deosebit de importantă în fizică se referă la timp. În ciuda acestei curgeri ireversibile, este posibil să plasăm originea timpurilor în orice moment, așa cum tocmai s-a observat pentru axa numerelor reale și să considerăm timpurile negative ca timpuri istorice.

Operația de inversare a timpului se mai numește și transformarea t → -t. Legile fizicii sunt adesea invariante în ceea ce privește această transformare. Timpul de rulare înapoi este ca derularea unui film. Invarianța legilor cu privire la traducere și inversarea timpului este cea care permite cosmologilor să discute despre originea universului, folosind cunoștințele și observațiile de astăzi, precum și să interpreteze observațiile astronomice ale fenomenelor de astăzi pe baza teoriilor de câteva decenii. vechi, ca urmare a vitezei limitate a luminii, au avut loc acum miliarde de ani.

Simetria într-un singur plan

Dacă luăm în considerare egalitatea în raport cu forma și dimensiunea unui obiect (deocamdată plat), este evident că acesta rămâne același în orice poziție este în raport cu privitorul. Ne putem gândi, de asemenea, să lăsăm obiectul acolo unde este, în timp ce observatorul se mișcă. Prin urmare, este posibil să avem simetrie de traducere și pe plan , în spațiul tridimensional și în spații de ordin superior.

Grup comutativ de traduceri plane

Două direcții principale de traducere sunt identificate pe plan. Traducerile în toate celelalte direcții sunt obținute prin compunerea traducerilor de-a lungul celor două axe principale. Una dintre acestea se numește a , cealaltă se numește b . Mulțimea tuturor traducerilor posibile constituie grupul de traduceri plane, notate ca a: b dacă cele două axe sunt perpendiculare una pe cealaltă, a / b dacă sunt oblice.

Este evident că grupul de traduceri de-a lungul unei linii drepte, pe care l-am numit a, este un subgrup al grupului de traduceri plane ab, care la rândul său include a: bea / b. Vom vedea apoi că toți cei menționați sunt subgrupuri ale grupului de traduceri într-un spațiu tridimensional, care, la rândul său, poate fi extins la spații de orice dimensiune.

Reflecţie

Simetria prin reflexie apare atunci când un sistem este transformat ca o reflecție dintr-o oglindă perpendiculară pe plan. Ca și într-o dimensiune, reflecția, cu compoziție dată de două reflecții succesive, are doar două stări, inițială și reflectată, iar identitatea este acoperirea stării inițiale. Constituie grupul m de ordinul 2 al reflecțiilor în 1, ..., n dimensiuni.

În unele figuri , simetria reflexiei apare atunci când fiecare punct al figurii este reflectat în raport cu un centru de reflecție, intersecție a două sau mai multe axe de reflexie. În figurile cu un număr par de laturi și altele, cum ar fi steaua lui David sau parabola cubică, reflexia coincide cu o rotație de 180 °. Centrele, axele și planurile de reflecție sunt elemente singulare, deoarece nu suferă deplasări de niciun fel în urma transformării simetriei.

Ași pe avion.jpg

Rotație

Simetria de rotație apare atunci când un sistem rămâne invariant sub rotații în jurul unei axe perpendiculare pe plan sau în jurul centrului figurii, ca în cazul triunghiului echilateral, pătrat, stea și hexagon.

Crucea alungită, deși are două planuri de simetrie speculară, are doar două poziții de acoperire pentru rotații în jurul axei care trece prin centru (180 ° și 360 °) și, prin urmare, această axă este indicată cu 2 . Se numește axa binară (de două ori). Așa cum s-a observat deja, în cazul pătratului există simetrie pentru rotații de 90º, 180º și 270º, dar există și o reflexie speculară cu privire la axele care trec prin vârfurile și centrele laturilor opuse. De asemenea, în cazul hexagonului, pe lângă 6 rotații, există și simetrie prin reflexie de-a lungul axelor care trec prin vârfurile și centrele laturilor opuse. Cercul este simetric pentru rotații infinite în jurul centrului.

În timp ce mulțimea transformărilor de simetrie, a identității și a operației de transformare constituie grupul de simetrie al sistemului considerat, ansamblul elementelor de simetrie (axe, planuri, centre) constituie clasa de simetrie a sistemului. Pătratul și crucea au aceeași clasă de simetrie, la fel și hexagonul și steaua cu cinci colțuri au aceeași clasă a stelei lui David și, respectiv, a pentagonului.

Rotațiile în jurul unei axe ale unei figuri date, cu o identitate constând din lipsă de rotație și o operație de compoziție dată de două rotații succesive, constituie un grup de ordine egal cu numărul de acoperiri ale figurii care apar într-o rotație de 360 ​​°. Axa de rotație este indicată pur și simplu de numărul de poziții de suprapunere: 4 pentru un pătrat, 6 pentru un hexagon, până la infinit pentru un cerc.

În notația de clasă, coexistența grupurilor de rotație și reflecție este notată cu un punct ⋅ dacă axa de rotație și planul de reflecție sunt paralele, cu două puncte: dacă sunt perpendiculare între ele.

Chiralitate

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Chiralitatea (fizica) .

Unele hemifiguri pot fi aduse la coincidență prin rotație pe plan, în jurul unei axe perpendiculare pe planul însuși (toate cele cu o axă de rotație în ordine egală, dar aceasta nu ar trebui luată ca o regulă absolută) altele coincid numai și numai prin reflexie .

Sistemele care pot fi aduse să coincidă numai prin reflecție și nu prin orice altă transformare de simetrie sunt numite sisteme chirale sau enantiomorfe.

Sistemele chirale sunt comune în natură, iar chiralitatea sau absența acesteia conferă proprietăți importante sistemului. În lumea biologică, simetria bilaterală are o importanță deosebită, caracterizată printr-un singur plan de reflecție, dar simetriile cu chiralitate de ordin superior sunt foarte frecvente, ca și în cazul stelelor marine. Conceptul de chiralitate este legat de definiția dreapta și stânga, adică cu cea a rotației în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic. În fizica macroscopică aceste definiții sunt complet arbitrare și convenționale. Nu există niciun fenomen macroscopic care să implice o definiție specială a dreptului și a stângii și, prin urmare, în sensul acelor de ceasornic și invers acelor de ceasornic: legile care descriu fenomenele nu se schimbă dacă ne plasăm în fața sistemului observat, cu o alegere bine definită a dreptului și stânga, adică dacă ne plasăm în spatele sistemului sau îl rotim cu 180 °, inversând astfel stânga și dreapta. Fenomenele macroscopice sunt invariante în ceea ce privește schimbul dreapta-stânga, adică în ceea ce privește reflexia.

Congruență și dilatare

În geometrie, se spune că două sisteme S și S 'sunt congruente atunci când fiecare punct al lui S se mapează la un punct al lui S' menținând în același timp distanța dintre două puncte A și B ale lui S și punctele corespunzătoare A 'și B' ale lui S '. neschimbat. Prin urmare, congruența este un anumit tip de hartă în care se păstrează distanțele și unghiurile.

Aceasta, de fapt, are loc între o figură geometrică și imaginea acesteia obținută prin translație, rotație și reflexie speculară, dar discursul poate fi extins la orice sistem, definind în mod adecvat distanța dintre punctele sale. Acest lucru se întâmplă imediat în sistemele care pot fi reprezentate în spațiul euclidian, deoarece în acest caz distanța dintre două puncte este ușor definită.

Având în vedere trei puncte nealiniate ABC în sistemul considerat (de exemplu vârfurile unui triunghi) și A 'B' C 'corespunzătoare în imaginea sa, în traducere și rotație, secvența A' B 'C' este urmată în aceeași ordine - în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic - în care se urmează tripletul corespunzător AB C. Se spune că congruența este directă. Cu toate acestea, în reflecție, triada A 'B' C 'rulează în sens invers acelor de ceasornic dacă ABC sunt aranjate în sensul acelor de ceasornic și invers. Se spune apoi că congruența este inversă. În acest caz, sistemul și imaginea sa congruentă sunt chirale. Cu toate acestea, congruențele nu includ toate invarianțele posibile. O simetrie importantă în fizică și geometrie este legată de transformarea expansiunii . În ea, punctele unei figuri aliniate cu un punct, numit centrul de dilatație, sunt mapate la puncte mai apropiate sau mai îndepărtate decât un anumit factor de dilatație. Prin dilatare, de exemplu, se construiesc triunghiuri similare, invariante în ceea ce privește forma, dar nu în ceea ce privește mărimea. În relativitate, dilatațiile de timp și de lungime ale conducătorilor sunt de interes.

Centrul de simetrie

Simetriile de rotație și reflexie sunt legate între ele și, prin urmare, de chiralitate. Figurile cu simetrie de rotație de ordin impar au întotdeauna părți chirale, dar nu este sigur că simetriile de rotație de ordin par implică întotdeauna prezența unor hemisisteme necirale. Ceea ce confirmă faptul că reflectarea nu este un caz particular de rotație.

Grupul de simetrie euclidian E (2)

Este un grup tridimensional, deoarece este generat de trei simetrii diferite, fiecare cu elementul său de simetrie. Acestea sunt:

  1. traduceri în direcția axei x, element de simetrie a0
  2. traduceri în direcția axei y, element de simetrie b0
  3. rotații pe planul (x, y), element de simetrie: ∞

Clasa de simetrie a acestui spațiu este deci (a0: b0): ∞.

Simetrie în trei dimensiuni

În trei dimensiuni, nu sunt introduse elemente noi de simetrie, pe lângă cele deja văzute, dar este important să le sporim posibilitățile de compoziție, ceea ce ne permite să descriem situații foarte relevante din punct de vedere fizic.

Există două grupuri deosebit de importante de obiecte tridimensionale: grilaje și solide geometrice. Primul duce, în special, la descrierea rețelelor de cristal și la stereochimie . Clasele de simetrie ale solidelor sunt în schimb importante pentru descrierea diferitelor fenomene fizice, inclusiv câmpuri gravitaționale, electrice și magnetice.

Grile tridimensionale

Rețelele spațiale sunt sisteme discontinue, extensie a sistemelor analogice una și bidimensională. Prin urmare, există în ele trei axe de translație, perpendiculare între ele a: b: c sau înclinată, a: b / c, a / b / c etc. și, ca întotdeauna, simetria de traducere este perfectă doar pentru rețele infinite și pauze lângă marginile rețelelor finite, unde, prin urmare, ne putem aștepta la modificări bruște ale proprietăților fizice.

Chiar și în situația tridimensională există o clasă limitativă de traduceri continue, cu un pas infinit de mic (a0: b0: c0), care asigură faptul că spațiul este omogen, nu numai în direcția axelor principale, ci și în toate direcții definite de deplasări oricare dintre acestea. Prin urmare, spațiul este omogen, așa cum sa observat deja în ceea ce privește o linie dreaptă, și, de asemenea, izotrop, deoarece proprietățile sale nu se modifică cu direcția. Traducerile continue sunt apoi suprapuse grupurilor de rotație și reflexie care afectează izotropia spațiului. Continuitățile tridimensionale sunt importante pentru descrierea proprietăților câmpurilor, gravitaționale, electrice etc. și, de asemenea, situații macroscopice în care spațiul este aproximativ continuu, adică atunci când sunt implicate dimensiuni spațiale mult mai mari decât cele ale unei celule a rețelei în sine. În acest caz, omogenitatea și izotropia sunt aproximative. Reflecțiile sunt realizări ale aceluiași grup m.

Bare prismatice și cilindrice

Barele sunt corespondentul tridimensional al benzilor plane. Acestea sunt benzi pe una sau două fețe, de lungime infinită și caracterizate prin două elemente singulare, axa de translație și un plan (care conține axa) pe care glisează banda când se traduce. Barele, pe de altă parte, sunt obiecte tridimensionale de diferite secțiuni, dar întotdeauna de lungime infinită, caracterizate printr-un singur element singular: axa de translație.

Să luăm în considerare o bară cu o secțiune triunghiulară echilaterală. Aceasta are o axă de traducere singulară, pe care o trecem în mod arbitrar prin centrul triunghiului și este un element limitativ (a0), deoarece permite deplasări infinitesimale. Această axă coincide cu o axă de rotație ternară pe care se intersectează trei planuri de reflecție m 3. Există apoi planuri de reflecție infinite precum cel în albastru din figură, unul pentru fiecare dintre infinitele posibile translații și perpendiculare pe cele trei corespunzătoare rotațiilor. Clasa de simetrie este deci (a0) m · 3: m.

Într-o prismă triunghiulară axa de translație continuă dispare și, prin urmare, a planurilor de reflexie infinită perpendiculare pe axa de rotație, rămâne doar cea de pe linia centrală. Clasa de simetrie este apoi redusă la m · 3: m. O bară de secțiune pătrată și o prismă au mai degrabă o axă de rotație cuaternară decât ternară. Clasele respective sunt deci (a0) · m · 3: mem · 4: m. Acestea sunt reduse la (a0) · m · 2: mem · 2: m respectiv pentru bare și prisme cu secțiune dreptunghiulară, cu o axă de rotație binară și două planuri de reflecție longitudinale. În general, prin urmare, clasa de simetrie a barelor prismatice este (a0) m n: m aceea a prismelor finite respective m n: m, unde n este numărul de rotații de 360 ​​° / n care duc la acoperire în cursul o rotație totală de 360 ​​°. Pentru o bară cu secțiune circulară, unde n este infinit, clasa de simetrie devine clasa limită (a0) · m · ∞: m.

Rețineți că centrul secțiunii de intersecție a planurilor de reflecție transversale cu cilindrul este un centru de simetrie pentru bara cilindrică și pentru cei cu secțiuni regulate cu un număr par de planuri de reflecție. De fapt, fiecare punct P al barei pe o parte a centrului corespunde unui P 'la o distanță egală pe cealaltă parte. De asemenea, trebuie luat în considerare faptul că, până în acest moment, barele și solidele finite au fost considerate staționare. Introducerea unei mișcări de translație sau rotație îi schimbă simetria. De fapt, axa de translație devine polară, deoarece urmărirea ei într-una sau alta direcție înseamnă a merge în direcția mișcării sau în direcția opusă. Și, de asemenea, rotațiile cilindrului pot fi în direcția mișcării sale de rotație sau în cea opusă.

În primul caz, planurile de reflecție transversală lipsesc, deoarece ar reflecta mișcarea longitudinală în direcția greșită. Clasele de simetrie ale barelor și solidelor de lungime finită sunt, prin urmare, reduse la (a0) · n · mn · m. În al doilea caz, pe de altă parte, din motive similare, planurile de reflexie longitudinală și clasele de simetrie devin (a0) · n: m și n: m.

Teorema lui Noether

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: teorema lui Noether .

Il teorema di Noether sancisce un legame tra l'invarianza di una certa quantità rispetto a trasformazioni di uno o più campi e la legge di conservazione di una corrente , detta appunto corrente di Noether . Fu dimostrato dalla matematica Emmy Noether nel 1915 e pubblicato nel 1918 . [1]

Il teorema di Noether vale solo per leggi di conservazione locali , altrimenti non vi sarebbe una corrente associata. Ad oggi, tutte le leggi di conservazione conosciute sono locali.

Enunciato

Il teorema di Noether afferma con precisione che

Ad ogni simmetria differenziabile generata da azioni locali corrisponde una corrente conservata

Enunciato alternativo

Se un sistema lagrangiano ammette un gruppo di trasformazioni delle coordinate ad un parametro

tale che la lagrangiana sia invariante rispetto a tale trasformazione

allora il gruppo è di simmetria e il sistema ha un integrale primo dato da

Note

  1. ^ E. Noether, Invariante Variationsprobleme . Göttingen 1918, pp. 235-257. Traduzione di MA Tavel in Transport Theory and Statistical Mechanics (1971), pp. 183-207

Bibliografia

  • Marie Curie , Pierre Curie , Éditions Dënoel, Parigi , 1955; traduzione italiana CUEN , Napoli , 1998. L'edizione originale è del 1925.
  • Pierre Curie , Sur la symétrie dans les phénomenes physiques, symétrie d'un champ eléctrique et d'un champ magnétique , Journal de Physique 3 me serie 3, 393-415.
  • Ernst Haeckel , Kunstformen der Natur , Lipsia , Verlag des Bibliographischen Institut, 1899-1904; in linea si trova sul sito https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
  • István Hargittai, Magdolna Hargittai, Symmetry Through the Eyes of a Chemist , 2ª edizione, New York , Kluwer, 1995.
  • István Hargittai, Magdolna Hargittai, In Our Own Image , New York , Kluwer, 2000.
  • Ismael Jenann, Essays on Symmetry , New York, Garland, 2001.
  • Alan Holden, Shapes, Space and Symmetry , New York, Columbia University Press, 1971.
  • Mouchet, A. "Reflections on the four facets of symmetry: how physics exemplifies rational thinking". European Physical Journal H 38 (2013) 661 hal.archives-ouvertes.fr:hal-00637572
  • Joe Rosen, Symmetry Discovered , Londra, Cambridge University Press, 1975.
  • Joe Rosen, A Symmetry Primer for Scientists , New York, John Wiley & Sons , 1983.
  • Alexei Vasil'evich Shubnikov, Vladimir Alexandrovich Koptsik, Symmetry in Science and Art , New York, Plenum Press, 1974.
  • Hermann Weyl , Symmetry , Princeton University Press, 1952, ISBN 0-691-02374-3 .

Voci correlate

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 53732 · LCCN ( EN ) sh85131443 · BNF ( FR ) cb11941327s (data)
Fisica Portale Fisica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica